DINAMICA DAS ESTRUTURAS UMA APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES

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DINÂMICA DAS ESTRUTURAS UMA APLICAÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES
Para a devida compreensão dos osciladores acoplados massa-mola é imprescindível que outros sistemas mais simples estejam bem assimilados. Um bom exemplo como ponto de partida é o oscilador simples e o oscilador amortecido, ambos constituídos por uma massa presa a uma mola suposta ideal, no primeiro caso desprezando-se a resistência do ar e no outro não. 
Oscilador Simples Não Amortecido
Pode-se considerar para esse exemplo um sistema massa-mola disposto horizontalmente, onde uma mola é presa em uma de suas extremidades a uma parede e a outra num corpo de massa m. O estado relaxado da mola (nem alongada nem comprimida) é descrito com a localização da extremidade ligada à massa na posição x = 0, como ilustrado acima. Como as forças de resistência são desprezadas nesse caso, tem-se que:
FR = m.a 
FR Força resultante 2ª. Lei de Newton
Mas FR = FE 
FE = -k.x Força elástica
Análise de vibrações que afetam uma estrutura
Estrutura é o conjunto de elementos que sustentam e dão estabilidade a uma construção. Este conjunto deve formar um todo perfeitamente combinado, de modo que resista a todos os esforços produzidos pelo peso próprio, peso de seus ocupantes, ventos e sobrecargas; pois a ruína de uma só dessas partes pode causar o colapso dessa obra.
Os autovalores estão relacionados aos modos de frequência natural de vibração e os autovetores correspondentes a cada autovalor são os deslocamentos (ou deformação) que a estrutura sofre devido às vibrações. Deseja-se evitar que a estrutura entre em ressonância o que poderia causar a queda da estrutura. Como exemplo tem o caso da ponte de Tacoma. 
No dia 7 de novembro de 1940 em Washington (EUA), mais precisamente no estreito de Takoma e as 11: 10, horário local entrou em colapso a ponte pênsil de aproximadamente 1600 m após oscilar por aproximadamente 10 horas. A Ressonância é o fenômeno no qual sistemas oscilantes passam a ter amplitude máxima para determinadas frequências, denominadas frequências ressonantes, onde até forças oscilantes pequenas podem produzir grandes amplitudes devido ao grande acúmulo de energia nesse estado.
Cálculo dos autovalores e autovetores em dois osciladores acoplados
É possível modelar uma estrutura de dois pavimentos através de dois osciladores acoplados. O sistema oscilante escolhido para o estudo é constituído de duas massas, 1 m e 2 m, acopladas por três molas de constantes de força k1, k2 e k3, dispostas como na figura acima. A oscilação é unidimensional, horizontal e com dois graus de liberdade para vibração. 
Diagrama de forças para o corpo de massa m1:
Diagrama de forças para o corpo de massa m2:
 
 
Estas duas equações formam um sistema de equações diferenciais:
 Na forma matricial 
Vamos supor, para facilitar que k1 = k2 = k3 = k e m1 = m e m2 = 2m, assim as matrizes ficam:
 
Cálculo dos autovalores:
 
Cálculo dos autovetores:
Para 
 normalizando ou 
De forma análoga para 
A figura a seguir mostra os dois modos normais.