2 Integral Dupla

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Curso de Cálculo Diferencial e Integral III Profª Mara Freire 
 
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INTEGRAIS DUPLAS 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Considere uma função f : D  R2  R, onde D é um conjunto fechado e limitado (também 
conhecido como conjunto compacto). Como D é limitado, então existe um retângulo R = [a, b] × 
[c, d], tal que D  R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOMA DE RIEMANN 
 
 Para obter a soma temos que dividir o retângulo R em subretângulos Rij da seguinte maneira: 
dividimos os intervalos [a, b] e [c, d] em n subintervalos de mesmo comprimento ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
 e 
∆𝑦 =
𝑑−𝑐
𝑛
, respectivamente, traçamos retas horizontais e verticais pelas extremidades desses 
subintervalos. Escolhemos (𝑥𝑖
∗, 𝑦𝑖
∗)  Rij, para formar a soma 
 
𝑆𝑛 = ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖
∗, 𝑦𝑗
∗). ∆𝑥. ∆𝑦 = ∑ 𝑓(𝑥𝑖
∗, 𝑦𝑗
∗). ∆𝐴
𝑛
𝑖,𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑗=1
 
 
onde f (𝑥𝑖
∗, 𝑦𝑖
∗) = 0 se (𝑥𝑖
∗, 𝑦𝑖
∗)  D. 
 
 Se existir o lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = L, dizemos que f é integrável e que o número L é dito integral de f sobre 
D e é indicado por ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
 ou ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
 ou ∬ 𝑓 𝑑𝐴
𝐷
. Assim, 
 
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∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
= lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖
∗, 𝑦𝑗
∗). ∆𝑥. ∆𝑦
𝑛
𝑖,𝑗=1
 
 
 
 Se f (x, y) ≥ 0 é contínua em D, então o gráfico de f (Gf) está acima do plano xy. Então o 
volume do sólido W que está abaixo de Gf e acima de D é dado por 
 
V(W) = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
 
 
 
Propriedades: 
 
i) ∬ (𝑓 + 𝑔)𝑑𝐴 = 
𝐷
∬ 𝑓 𝑑𝐴 + ∬ 𝑔 𝑑𝐴 
𝐷
 = 
𝐷
 
ii) ∬ 𝑘 𝑓 𝑑𝐴 = 𝑘 ∬ 𝑓 𝑑𝐴
𝐷
 
𝐷
 
iii) D = D1  D2  ∬ 𝑓 𝑑𝐴𝐷 = ∬ 𝑓 𝑑𝐴𝐷1
+ ∬ 𝑓 𝑑𝐴
𝐷2
 
 
Teorema de Fubini: Se f (x, y) é contínua no retângulo D = [a, b] × [c, d], então 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
= ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
] 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
] 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
ou 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
essas integrais são chamadas iteradas ou repetidas. 
 
Exemplo: Calcule ∬ 𝑥𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
, sendo D = [0, 1] × [-1, 0]. 
 
 
 
 
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INTEGRAIS DUPLAS DE REGIÕES MAIS GERAIS 
 
 Suponhamos agora, que D seja diferente do retângulo [a, b] × [c, d]. Então vamos definir dois 
tipos de região. 
 
Definição 1: Dizemos que D é uma região do tipo I ou uma região simples vertical se D for limitada 
à esquerda pela reta vertical x = a, à direita pela reta vertical x = b, inferiormente pela curva de 
equação y = g1(x) e superiormente pela curva y = g2(x), onde g1 e g2 são contínuas. 
 
 
 
Logo, para D = {(x, y)  R2/a ≤ x ≤ b e g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}. Prova-se que 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑔2(𝑥)
𝑔1(𝑥)
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
Definição 2: Dizemos que D é uma região do tipo II ou uma região simples horizontal se D for 
limitada inferiormente e superiormente pelas retas horizontais y = c e y = d, respectivamente, à 
esquerda pela curva x = h1(y) e à direita pela curva x = h2(y), onde h1 e h2 são contínuas. 
 
 
 
Logo, para D = {(x, y)  R2/c ≤ y ≤ d e h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}. Prova-se que 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐷
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
ℎ2(𝑦)
ℎ1(𝑦)
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
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Exemplos: 
 
1- Calcule por meio dos dois métodos a integral de f (x, y) = xy sobre a região D limitada pelas 
curvas y = x e y = x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2- Calcule, utilizando integrais duplas, a área da região plana D limitada pelas curvas y = x3 e 
y = √𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Calcule o volume do tetraedro W com faces nos planos coordenados e no plano x + y + z = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1- Calcule as integrais iteradas: 
 
a) ∫ ∫ 𝑦𝑒𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
2
1
2
1
 = 
 
f) ∫ ∫ √
𝑦
𝑥
 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦
𝑦2
4
1
 = 
b) ∫ ∫
𝑥2
𝑦2
 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
1
2
1
 = 
 
g) ∫ ∫ |𝑥 − 𝑦| 𝑑𝑦𝑑𝑥
1
0
1
0
 = 
c) ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦
0
4
0
 = 
 
h) ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛 (4𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
0
𝜋
𝜋 2⁄
= 
d) ∫ ∫ 𝑥𝑦3 𝑑𝑦𝑑𝑥
2𝑥
0
2
1
 = 
 
i) ∫ ∫ 4𝑒𝑥
2
𝑑𝑥𝑑𝑦
2
2𝑦
1
0
 = 
e) ∫ ∫ √9 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦
0
4
0
 = 
 
j) ∫ ∫
𝑦
𝑥.ln 𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑥
5
𝑥
5
1
 = 
 
2- Esboce a região de integração e calcule as integrais: 
 
a) ∬ 𝑥𝑦3 𝑑𝑥 𝑑𝑦,
𝐷
 D = {(x, y)  R2/1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2x} 
 
b) ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦,
𝐷
 D = {(x, y)  R2/x ≤ /2 e 0 ≤ y ≤ cos x}, f (x, y) = y.sen x 
 
3- Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em: 
 
a) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦
0
1
0
 = 
 
c) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
√1−𝑥2
−√1−𝑥2
1
−1
 = 
b) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
√𝑦
𝑦
1
0
 = 
 
d) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
3𝑥
𝑥
1
0
 = 
 
4- Use a integral dupla para calcular a área da região D limitada pelas curvas y = 4x – x2 e y = x. 
 
5- Encontre o volume do sólido W limitado pelos planos y = 0, z = 0, y = 4 e pelo cilindro parabólico 
z = 4 – x2. 
 
6- Encontre o volume do sólido W limitado pelas superfícies z = 1 – y2, z ≥ 0, x = 0, z = 0 e x–y= 2. 
 
7- Ache o volume do sólido limitado pela superfície f (x, y) = 4 −
𝑥2
9
−
𝑦2
16
 pelos planos x = 3, y = 2 
e pelos três planos coordenados. 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) (e4/2) – (3e2/2) + e; b) 5/6; d) 42; e) 98/3; f) 49/5; g) 1/3; h) 1/3; i) e4 – 1; j) 12. 2- a) 42; b) 0. 4- 9/2 u.v. 5- 128/3 
u.v. 6- 8/3 u.v. 7- 21,5 u. v. 
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MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL DUPLA 
 
Uma mudança de variáveis em um subconjunto do R2 é dada por uma transformação 
 
  :Duv  R2  R2 
(u, v)  (x, y) =  (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) 
 
de classe C1 e injetora no interior de Duv. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Suponhamos que o jacobiano de , J(u, v) seja diferente de 0, isto é, 
 
J = J(u, v) = 
𝜕(𝑥,𝑦)
𝜕(𝑢,𝑣)
= |
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
| ≠ 0. 
 
Prova-se que dxdy = Jdudv. 
 
 Seja Dxy = (Duv). Então, se f (x, y) é contínua em Dxy, temos: 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷𝑥𝑦
∬ 𝑓(𝑥, (𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢,𝑣))|𝐽|𝑑𝑢𝑑𝑣.
𝐷𝑢𝑣
 
 
Exemplo: Calcule, utilizando uma mudança de variáveis conveniente, a integral ∬
(𝑥+𝑦)6
𝑦−𝑥𝐷𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦, 
sendo Dxy a região limitada pelas retas y + x = 3, y + x = 5, y – x = 1 e y – x = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Mudança de Variáveis com Coordenadas Polares 
 
 
 
 Da figura, vemos que x = r.cos , y = r. sen , portanto x2 + y2 = r2. Então consideremos a 
mudança de variáveis dada por 
 
𝜑: {
𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃
, 
 
onde r ≥ 0 e 0 ≤  ≤ 2, para algum 0  R. 
 
 O jacobiano de  é dado por 
 
J = J = 
𝜕(𝑥,𝑦)
𝜕(𝑟,𝜃)
= |
𝜕𝑥
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝜕𝜃
𝜕𝑦
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝜕𝜃
| = |
𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑟. 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟. cos 𝜃
| = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑟. 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑟. 
Então, 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑟. 𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑟. 𝑠𝑒𝑛 𝜃)𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝐷𝑟𝜃𝐷
. 
 
Obs: 1- O termo dxdy é substituído por rdrd. 
 2- A área de D, em coordenadas polares, é dada por A(D) = ∬ 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝐷𝑟𝜃
 
 
Exemplos: 
 
1- Calcule ∬ 𝑒𝑥
2+𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
, onde D é a região limitada pela curva y = √1 − 𝑥2 e pelo eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2- Calcule I = ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
, onde D é limitado por x2 + y2 = 2y. 
 
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Exercícios 
 
1- Calcule ∬
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
𝑑𝐴
𝐷
, onde D é a região compreendida pelas retas x – y = 0, x – y = 1, x + y = 1 e 
x + y = 3. 
 
2- Use a transformação u = 
𝑦
𝑥
 e v = xy para determinar ∬ 𝑥𝑦3 𝑑𝐴
𝐷
 na região D do primeiro 
quadrante, limitada por y = x, y = 3x, xy = 1 e xy = 4. 
 
3- Calcule a integral dupla ∬ 𝑒−(𝑥
2+𝑦2) 𝑑𝐴
𝐷
, onde D é a região contida na circunferência x2 + y2 
= 1. 
 
4- ∬ √𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
, onde D é o disco centrado fora da origem, dado pela desigualdade 
x2 + y2 ≤ 2y ou x2 + (y – 1)2 ≤ 1. 
 
5- Calcule ∬
𝑦
√𝑥2+𝑦2
𝑑𝐴
𝐷
, onde D é a região no primeiro quadrante fora da circunferência r = 2 e 
dentro do cardioide r = 2.(1 + cos ). 
 
6- Calcule as integrais transformando-as em coordenadas polares: 
 
a) ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)3 2⁄ 𝑑𝑦𝑑𝑥
√1−𝑥2
0
1
−1
 
 
b) ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦2 + 1) 𝑑𝑦𝑑𝑥
√18−𝑥2
𝑥
3
0
 
 
7- Determine o volume do sólido W, limitado pelo paraboloide z = 4 – x2 – y2 e pelo plano xy. 
 
8- Determine o volume do sólido W no interior da esfera x2 + y2 + z2 = 4 e do cilindro x2 + (y – 1)2 
= 1 e acima do plano z = 0. 
 
9- Calcule ∬
cos (𝑥−𝑦)
𝑠𝑒𝑛(𝑥+𝑦)
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
, onde D = {(x, y)  R2/1 ≤ x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0}. 
 
10- ∬ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
, onde D = {(x, y)  R2/x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0}. 
 
11- Ache o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cone z = r e pelo cilindro r = 3.sen, 
 = 0 e  = /2. 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- 
1
4
ln 3. 2- 21. 3- (1 – e-1). 4- 32/9. 5- 8/3. 6- a) /5; b) 
1
8
(cos 1 − cos 19). 7- 8 u.v. 8- 
8
9
(3𝜋 − 4) u. v. 9- 1 u.v. 
10- 
𝜋
2
(1 − cos 1). 11- 6. 12-