Resumo - Séries Numéricas

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
Séries numéricas 
 
Dizemos que série 
 
 
 
 
 
converge a L se a sequência das somas parciais L. 
 
 
 
... 
 
 
A série diverge se não existe tal limite. 
 
Observações 
Podemos retirar um número finito de termos da série, que 
a convergência/divergência não é alterada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos multiplicar uma série por uma constante c não 
nula, que a convergência/divergência não é alterada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A soma de duas séries convergentes é convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
(convergem) 
 
 
 
 
(converge) 
 
Série Geométrica 
 
 
 
 
 
 
 
A série converge se |q| < 1. Nesse caso, a soma vale 
 
 
 
 
 
p-série (p > 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A série converge se p > 1 e diverge se 0 < p ≤ 1. 
 
 
 
A série harmônica é a 1-série. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste da divergência 
Se , então a série diverge. 
Se , nada se conclui. 
 
Observação 
Se converge, então . 
 
Teste da integral 
Seja uma série de termos positivos e suponha que f é 
uma função contínua e decrescente tal que f(n) = para 
todo n = {1, 2, 3, ...}. Então 
 
 
 
 
 
ambas convergem ou ambas divergem. 
 
Teste da comparação 
Sejam e séries de termos não negativos e 
suponha que 
 , , , ... 
 
Se converge, então converge. 
Se diverge, então diverge. 
 
Teste da comparação no limite 
Sejam e séries de termos positivos e suponha 
que 
 
 
 
 
 
 
Se L  (0, ), então ambas convergem ou ambas divergem. 
 
Teste da razão 
Considere a série de termos positivos e suponha que 
 
 
 
 
 
 
Se L < 1, a série converge. 
Se L = 1, nada se conclui. 
Se L > 1, a série diverge. 
 
 
 
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Teste da raiz 
Considere a série de termos positivos e suponha que 
 
 
 
 
 
Se L < 1, a série converge. 
Se L = 1, nada se conclui. 
Se L > 1, a série diverge. 
 
Convergência absoluta 
Dizemos que série 
 
 converge absolutamente se é 
convergente a série 
 
 
 
 
 
Se 
 
 converge, então 
 
 converge. 
 
Dizemos que 
 
 é condicionalmente convergente se 
 
 
 converge, mas 
 
 diverge. 
 
Teste da razão para convergência absoluta 
Considere a série e suponha que 
 
 
 
 
 
 
 
Se L < 1, a série converge absolutamente. 
Se L = 1, nada se conclui. 
Se L > 1, a série diverge. 
 
Teste da série alternada 
 A série 
 
 converge se 
a) 
b)    ... 
 
Se S é a soma da série alternada convergente e tomarmos 
uma soma parcial , então 
 |S | ≤