Lista de Exercícios de Estruturas Algébricas

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AUTARQUIA BELEMITA DE CULTURA, DESPORTOS E EDUCACA˜O –
ABCDE
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO VALE DO SA˜O FRANCISCO - CESVASF
Professor: Robson Franklin de Aguiar Couto
Nome:
”A EDUCAC¸A˜O TEM RAI´ZES AMARGAS, MAS OS SEUS FRUTOS SA˜O DOCES. ”
ARISTO´TELES
Lista de exerc´ıcios de Estruturas Alge´bricas
Observac¸a˜o: as questo˜es devem estar com seus ca´lculos e/ou justificativas para serem conside-
radas.
1. Represente cada um dos produtos cartesianos abaixo:
a) [0, 1]× [0, 1] = {(x; y);x, y ∈ R e 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1};
b) [1, 3[ × ]− 1, 2].
2. Sendo A = {1, 2, 3} e B = {–1, 0, 4, 5}, e a relac¸a˜o
R = {(x, y) ∈ A×B;x + y e´ um nu´mero primo}.
Descreva os elementos de R, determine o domı´nio e a imagem, e obtenha a sua inversa.
3. Quais propriedades as relac¸o˜es abaixo apresentam?
a) R = {(x, y) ∈ Z× Z;x–y e´ um numero par };
b) R = {(x, y) ∈ Z× Z;x < y};
c) R = {(x, y) ∈ Z× Z;x–y e´ um numero ı´mpar }
4. Quais propriedades a relac¸a˜o R sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4} abaixo apresenta?
5. Sendo B = {1, 2, 3} e a relac¸a˜o:
T = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (1; 2), (1; 3), (2; 3), (3; 2)}.
Que propriedades T apresenta?
6. (UFPE-76) Considere o conjunto dos automo´veis da cidade do Recife.
Dizemos que o automo´vel A sera´ relacionado com o automo´vel B, isto e´, ARB, se o u´ltimo
algarismo de suas respectivas placas forem iguais.
Assinale a alternativa certa:
a) R e´ uma relac¸a˜o de ordem.
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b) R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
d) R e´ uma relac¸a˜o sime´trica mas na˜o transitiva.
c) R e´ uma relac¸a˜o reflexiva mas na˜o sime´trica.
e) R e´ uma relac¸a˜o transitiva mas na˜o reflexiva.
7. Sejam E = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} e R = {(x, y) ∈ E×E;x+ |x| = y+ |y|}. Mostre que R e´ uma
relac¸a˜o de equivaleˆncia e descreva E/R.
8. Seja a relac¸a˜o de equivaleˆncia R = {(x, y) ∈ Z×Z;x–y e´ um numero par }, determine a classe
de equivaleˆncia do elemento 7.
9. Seja R uma ordem parcial sobre A e seja X ⊆ Y . Mostre que S = R ∩X ×X e´ uma relac¸a˜o
de ordem parcial.
10. Seja a relac¸a˜o de divisibilidade | definida sobre os inteiros positivos da seguinte forma: para
quaisquer x, y inteiros positivos, xRy se, e somente se, x divide y.
a) Desenhe o diagrama de Hasse de {1, 2, 3, 4, 6, 12} com respeito a` relac¸a˜o parcial | e determine
os elementos nota´veis do subconjunto A = {1, 2, 3}.
11. Seja o conjunto E = {3, 4, 5, 15, 20, 40, 60, 120} ordenado pela relac¸a˜o x|y (x divide y). Fac¸a
o diagrama de Hasse. Liste os pares ordenados que pertencem a` relac¸a˜o. Encontre todos os
elementos nota´veis do subconjunto A = {5, 15}.
12. Dados o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ordenado segundo o diagrama abaixo, e os seguintes
subconjuntos de A: E = {4, 5, 7}, F = {2, 3, 6} e G = {1, 2, 4, 7}. Determine os elementos
nota´veis dos subconjuntos E, F e G.
13. Determine o diagrama de Hasse da relac¸a˜o R sobre o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} cuja matriz e´:
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
Bons Estudos!!!
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