2 PROVA DE CALCULO NUMERICO

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2 PROVA DE CALCULO NUMERICO. GABARITO
	Disciplina:
	Cálculo Numérico (MAT28)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:XXX183) ( peso.:1,50)
	Prova:
	XXXXX285
	Nota da Prova:
	8,00
	
	
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
Parte superior do formulário
	1.
	Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f(0,25)?
	
	 a)
	f(0,25) = 0,75
	 b)
	f(0,25) = 2,75
	 c)
	f(0,25) = 0,5
	 d)
	f(0,25) = 2,5
Anexos:
CN - Regressao Linear2
	2.
	Estudamos cinco métodos iterativos para obter as aproximações das raízes de uma função real qualquer. No entanto, dentre os cincos métodos, cada um apresenta suas vantagens e limitações. Neste caso, é de interesse do pensador escolher qual destes métodos é o mais conveniente, ou seja, vantajoso para aplicar na sua situação problema para a tomada de decisão. Sobre esses métodos, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Método da bisseção.
II- Método das cordas.
III- Método de Newton.
IV- Método das secantes.
V- Método da iteração linear.
(    ) Para trabalhar com este método, a grande dificuldade está centrada na descoberta da função de iteração apropriada, e sua vantagem é que a convergência é rápida.
(    ) Este método não exige as derivadas da função. Para chegarmos a uma aproximação confiável da raiz são necessárias várias iterações. É utilizado para refinar o intervalo que contém a raiz.
(    ) Este método exige que o pesquisador conheça a derivada da função e a sua forma analítica; no entanto, quando modificado, ele mantém constante o valor da primeira derivada durante todo o processo interativo.
(    ) Método utilizado quando o pesquisador tem a certeza de que o sinal da segunda derivada da função é constante, com a necessidade da realização de uma análise gráfica e possui uma convergência lenta.
(    ) A ordem de convergência está situada entre a convergência linear da iteração linear e a convergência quadrática do método de Newton. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	IV - V - II - I - III.
	 b)
	IV - V - I - II - III.
	 c)
	V - I - III - II - IV.
	 d)
	V - II - I - III - IV.
	3.
	No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e aplicabilidade. Da teoria à prática, os logaritmos são trabalhados em diversas áreas do conhecimento. O trabalho com uma função logarítmica tem como objetivo facilitar os cálculos, bem como ampliar os conhecimentos em assuntos específicos, como: a) na Química, quando o trabalho envolve radioatividade, para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa é utilizada a fórmula: Q=qo.e^(-r-t). Nesta fórmula, Q representa a massa da substância, qº a massa inicial, r a taxa de redução da radioatividade e a variável t o tempo. Equações com essa tipologia podem ser resolvidas com o auxílio da teoria dos logaritmos; b) no ano de 1935, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram uma escala para quantificar o nível de energia liberada por um sismo. A escala Richter, que também é conhecida por escala de magnitude local, é uma função logarítmica. Assim, é possível quantificar em Joules a quantidade de energia liberada por um movimento tectônico; c) na Medicina, quando é ministrado um tratamento, o paciente recebe o medicamento, que entra na corrente sanguínea, que passa por órgãos como fígado e rins. Neste caso, é possível obter o tempo necessário para que a quantidade desse medicamento presente no corpo do paciente seja menor ou maior que uma determinada quantidade, e para isso é necessário trabalhar com uma equação logarítmica. Neste contexto, trabalhando com uma margem de erro menor ou igual a (0,1), calcule o valor aproximado da função: f(x) = x.log(x+1) - 2, sabendo que a função tem apenas uma raiz real, que está contida no intervalo.
	
	 a)
	A função tem sua raiz real em 3,2.
	 b)
	A função tem sua raiz real em 3,5.
	 c)
	A função tem sua raiz real em 3,3.
	 d)
	A função tem sua raiz real em 3,25.
	4.
	Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da solução de um sistema linear. Quando não se tem mais um sistema linear, e sim um sistema não linear, devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o sistema, sendo dois deles o método da interação linear e o método de Newton. O método da interação linear, em geral, é mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de Newton. com base no exposto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas iterações (k = 2) e o ponto inicial (0,5; 0,1) usando o método da iteração linear:
	
	 a)
	x = 0,505 e y = 0,125.
	 b)
	x = 0,495 e y = 0,125.
	 c)
	x = 0,5 e y = 0,1.
	 d)
	x = 0,492 e y = 0,123.
	5.
	Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f(1,25)?
	
	 a)
	f(1,25) = 5,5
	 b)
	f(1,25) = 6,25
	 c)
	f(1,25) = 6,5
	 d)
	f(1,25) = 5,75
Anexos:
CN - Regressao Linear2
CN - Regressao Linear2
	6.
	Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio 
p(x) = x³ + 2x² + x + 2
Determine o valor de a sabendo que x = - 1 e x = a - i são raízes do polinômio.
	 a)
	a = 2
	 b)
	a = - 2
	 c)
	a = - 1
	 d)
	a = 0
	7.
	As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e constantes, relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome de polinômios. Dado o polinômio P (x) = 0,5x² + 2x + 1, determine o seu valor para x igual a 0,5.
	 a)
	O valor do polinômio é 1,125.
	 b)
	O valor do polinômio é 2,75.
	 c)
	O valor do polinômio é 2,125.
	 d)
	O valor do polinômio é 2,5.
	8.
	O método de Lagrange é um dos métodos de interpolação linear que estudamos. Neste sentido, e com base na tabela a seguir, determine para a função f(x) = ln x o valor de:
	
	 a)
	0,5x² - 2,5x + 3
	 b)
	- x² + 4x - 3
	 c)
	0,5x² - 1,5x + 1
	 d)
	- x² + 2x - 5
Anexos:
CN - Interpolacao de Lagrange2
	9.
	Interpolação linear é uma ramificação da matemática que se caracteriza por uma função linear (polinômio de primeiro grau), a qual representa em resultados aproximados uma função f(x). Considerando a tabela a seguir e utilizando a interpolação linear, qual o valor estimado de f (1,8)?
	
	 a)
	f(1,8) = 7,4
	 b)
	f(1,8) = 6,8
	 c)
	f(1,8) = 7,2
	 d)
	f(1,8) = 7,8
Anexos:
CN - Regressao Linear2
CN - Regressao Linear2
CN - Regressao Linear2
	10.
	Para destacar a importância de trabalhar com sistemas de equações não lineares, vamos levantar a situação em que existe a necessidade de realizar a análise do comportamento de um regime permanente do circuito não linear, quando os valores de tensão através dos resistores podem ser obtidos através da resolução de um sistema de equações não lineares, e o problema se reduz a encontrar uma raiz para o sistema de equações. Uma segunda situaçãopermite mencionar que, no sistema aéreo, os controladores de voo trabalham com radares e, quando dois destes radares estão localizados em posições conhecidas, eles podem determinar a distância de suas localizações até uma aeronave que está se aproximando dentro do espaço aéreo. Neste caso, também temos um sistema de equações não lineares, e a solução está em calcular o valor das raízes das equações. Assim, efetue os seguintes cálculos:
Dado o sistema de equações não lineares:
	
	 a)
	No sistema, as variáveis x e y assumem o mesmo valor.
	 b)
	As duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade.
	 c)
	As derivadas parciais das duas funções que compõem o sistema apresentam ponto de descontinuidade.
	 d)
	O Método de Newton é apropriado para calcular o erro relativo das variáveis com referência às raízes de ambas as funções.
Prova finalizada com 8 acertos e 2 questões erradas.
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