Equação de Onda Transversal em Uma Dimensão

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Capítulo 8 – Equações Diferenciais Parciais 
Equação de Onda Transversal em Uma Dimensão 
Seja uma onda se propagando em 1 dimensão na direção . A deflexão dessa 
onda é descrita por uma função de 2 variáveis . Por exemplo, para uma 
corda de densidade constante e tensão , pode-se demonstrar que essa 
função satisfaz à equação de onda 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 
 
 é a velocidade de propagação da onda na corda. A solução geral 
de (1) pode ser escrita 
 
onde são funções de 1 variável, , respectivamente. 
É fácil verificar que, por exemplo, é solução de (1). Chamando 
 , temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O mesmo raciocínio se aplica a . 
O problema é que, muitas vezes, a forma (2) é de pouca utilidade perante as 
condições de contorno ou fronteira típicas para uma corda de comprimento , 
com suas 2 extremidades presas a paredes 
 
E a condições iniciais arbitrárias 
 
 
 
 
 
 
2 
 
O Método da Separação das Variáveis 
Como as condições de contorno envolvem apenas espaço e as condições 
iniciais envolvem apenas tempo, podemos pensar em separar variáveis, isto é, 
 
Então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em (1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividindo os 2 membros da expressão acima por , temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde , já que o 1º.membro (2º.membro) só depende de ( ). De 
(5), temos 
 
 
 
Cujas soluções são 
 
 
 
 
 
As equações (7a) e (7c) são incompatíveis com as condições de contorno (3a). 
De (7b), temos 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
Observe que , pois e (se , recaindo no 
caso (7c) 
 
 
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Essas soluções discretas são chamadas de autovalores 
 
 
 
 
E os seus autovetores correspondentes 
 
 
 
 
Que satisfazem a equação de autovalores e autovetores 
 
 
 
De (5) teremos, 
 
 
 
 
Com solução, 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, como a equação diferencial é linear, vale a superposição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde renomeamos e . De (12) vemos imediatamente que 
as condições de contorno: estão satisfeitas. 
A condição inicial , fica 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando os 2 membros da expressão acima por 
 
 
 , e integrando, 
temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a condição inicial 
 
 
 , temos que derivar parcialmente em 
relação a a equação (12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que em fica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando ambos os membros por 
 
 
 e integrando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Equação de Laplace 
Um cilindro oco e muito longo de metal com raio é cortado ao meio formando 
2 metades isoladas uma das outras. As metades são mantidas nos potenciais 
 e – . Deseja-se calcular o campo elétrico no interior do cilindro. 
Como não há cargas no interior, vale a equação de Laplace (em coordenadas 
cilíndricas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Supondo o cilindro infinito não poderá haver dependência de com , ou seja, 
 
A separação de variáveis conduz às equações diferenciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As condições de contorno são: 
 
 
 
 
Como a solução é periódica e deve ser combinação de 
senos e cossenos, ou 
 
Como 
Como . Logo, 
 
( , é excluído, pois é incompatível com as condições de contorno (17)). 
A equação radial fica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cujas soluções Frobenius para são e . Essa 2ª solução, , não 
é aceitável, pois introduz uma singularidade (inexistente) na origem . 
Portanto, 
 
 
 
 
 
Multiplicando a equação acima por , no círculo , temos 
para o 1º. membro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 2º. membro fica 
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Como, 
 
 
 
 
 
 
 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que se quiséssemos agora, o exterior ( ), teríamos que incorporar a 
solução radial . 
A Equação de Difusão e A Equação de Condução de Calor 
Dada a função temperatura , a equação de condução de calor é 
dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dada a função densidade , a equação de difusão é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um cano muito longo e de secção transversal está cheio de água. 
No instante , introduzimos gramas de sal num certo ponto . 
Queremos obter a concentração de sal num instante qualquer posterior. 
 
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A concentração de sal, , obedece à equação de difusão 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condição inicial: 
 
 
 
 
Note que é uma única condição inicial, pois (21) é de 1ª. ordem no tempo. 
Condição de contorno: 
 
 
 
Conservação da massa: 
 
 
 
 
A condição (23) garante a existência de Transformada de Fourier. 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a Transformadade Fourier em (21), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (27) e (28) em (26), temos 
 
 
 
Integrando (29) temos 
 
 
Mas, 
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Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a Transformada de Fourier inversa, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do capítulo 7, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Membrana 
Considere uma membrana retangular com lados e com seus 4 lados fixos. 
Determine . 
A membrana obedece à equação de onda 2-dimensional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições iniciais: 
 
 
 
 
Condições de contorno: 
 
 
Separando as variáveis 
 
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Substituindo em (33), teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da aplicação das condições de contorno (35a), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da aplicação das condições de contorno (35b), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os resultados em (37c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 
 
 
 
 
 
 
A solução de (40) conduz a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando as condições iniciais (34 a) e (34 b), obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E