004 - Primeira Ordem Separáveis

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais de 
Primeira Ordem Separáveis
Mateus Nascimento
SOLUÇÃO GERAL
A solução de uma equação diferencial de primeira ordem
separável
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0
é
න𝐴(𝑥)𝑑𝑥 + න𝐵(𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶
onde 𝐶 representa uma constante arbitrária.
SOLUÇÕES DO PROBLEMA DE VALOR INICIAL
A solução para o problema de valor inicial
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0; 𝑦(𝑥0) = 𝑦0
pode ser obtida, usualmente, primeiro utilizando a Equação acima para
resolver a equação diferencial e depois aplicando a condição inicial
diretamente para determinar 𝐶.
REDUÇÃO DE EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 
A equação diferencial homogênea
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦
possuindo a propriedade de que 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , pode ser
transformada em uma equação separável por meio da conveniente
substituição 𝑦 = 𝑥𝑣 juntamente com sua derivada correspondente
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑣 + 𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 . 
REDUÇÃO DE EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 
Alternativamente, a solução pode ser obtida reescrevendo-se a equação diferencial
como
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑓(𝑥, 𝑦)
e então substituindo
𝑦 = 𝑣𝑥
e a derivada correspondente
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑢 + 𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑥
.
Após simplificação, obtém-se uma equação diferencial com variáveis (neste caso, 𝑢
e 𝑡) separáveis.
Problemas Resolvidos
4.1 Solucione 𝑥𝑑𝑥 − 𝑦2𝑑𝑦 = 0. Basta integrar
4.2 Solucione 𝑦′ = 𝑦2𝑥3. Basta integrar
4.3 Resolva
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2+2
𝑦
. Basta organizar e integrar
4.4 Resolva 𝑦′ = 5𝑦. Reescrever, organizar e integrar
4.5 Resolva 𝑦′ =
𝑥+1
𝑦4+1
. Reescrever, organizar e integrar
4.6 Resolva 𝑑𝑦 = 2𝑡 𝑦2 + 9 𝑑𝑡. Separável, basta organizar
4.7 Resolva
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥2 − 2𝑥 + 2. Separável, basta organizar
Problemas Resolvidos
4.8 Resolva 𝑒𝑥𝑑𝑥 − 𝑦𝑑𝑦 = 0; 𝑦 0 = 1. Problema de valor inicial
4.9 Utilize a equação ׬𝑥0
𝑥
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + ׬𝑦0
𝑦
𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0 para resolver o
problema anterior.
4.10 Resolva 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 + 1 − 6𝑦5 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 𝜋 = 0.
4.11 Resolver 𝑦′ =
𝑦+𝑥
𝑥
. Não é separável, mas é homogênea, faça 𝑦 = 𝑥𝑣
4.12 Resolva 𝑦′ =
2𝑦4+𝑥4
𝑥𝑦3
.
4.13 Resolva 4.12 aplicando 𝑦 = 𝑥𝑣 e sua derivada correspondente
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑣 + 𝑥𝑓 𝑥, 𝑦 .
Problemas Resolvidos
4.14 Resolva 𝑦′ =
2𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2
. Não é separável, mas𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦)
4.15 Resolva 𝑦′ =
𝑥2+𝑦2
𝑥𝑦
. Homogênea
4.16 Resolva 𝑦′ =
𝑥2+𝑦2
𝑥𝑦
; 𝑦 1 = 0. Resolvido acima, basta aplicar a
condição inicial
4.17 Resolva 𝑦′ =
2𝑥𝑦𝑒 𝑥/𝑦
2
𝑦2+𝑦2𝑒 𝑥/𝑦
2
+2𝑥2𝑒 𝑥/𝑦
2 . Faça 𝑢 = (𝑥/𝑦)
Problemas Resolvidos
4.18 Prove que ׬𝐴(𝑥)𝑑𝑥 + ׬𝐵(𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶 satisfaz 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 +
𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0. Reescreva 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0 ↔ 𝐴 𝑥 +
𝐵 𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
4.19 Prove que toda solução do sistema 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 =
0; 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 é solução de ׬𝑥0
𝑥
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + ׬𝑦0
𝑦
𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0.
4.20 Prove que se 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) é homogênea, então a equação
diferencial pode ser reescrita como 𝑦′ = 𝑔(𝑦/𝑥) , onde 𝑔(
)
𝑥/
𝑦 depende apenas do quociente 𝑦/𝑥.
Problemas Resolvidos
4.21 Uma função 𝑔(𝑥, 𝑦) é homogênea de grau 𝑛 se 𝑔 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡𝑛𝑔(𝑥, 𝑦) para todo 𝑡 . Determine se as seguintes funções são
homogêneas e, caso sejam, encontre o seu grau:
(a) 𝑥𝑦 + 𝑦2,
(b) 𝑥 + 𝑦 sin 𝑥/𝑦 2
(c) 𝑥3 + 𝑥𝑦2𝑒𝑥/𝑦
(d) 𝑥 + 𝑥𝑦
Problemas complementares – Avaliativos
Nos problemas 4.23 a 4.45, resolva as equações diferenciais dadas ou 
os problemas de valor inicial. 
4.23 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0
4.24 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦3𝑑𝑦 = 0
4.25 𝑑𝑥 +
1
𝑦4
𝑑𝑦 = 0
4.26 𝑡 + 1 𝑑𝑡 −
1
𝑦2
𝑑𝑦 = 0
4.27 
1
𝑥
𝑑𝑥 −
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0
Problemas complementares – Avaliativos
4.28
1
𝑥
𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0
4.29 𝑥 𝑑𝑥 +
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0
4.30 𝑡2 + 1 𝑑𝑡 + 𝑦2 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0
4.31
4
t
𝑑𝑡 −
𝑦−3
𝑦
𝑑𝑦 = 0
4.32 𝑑𝑥 −
1
1+𝑦2
𝑑𝑦 = 0
4.33 𝑑𝑥 −
1
𝑦2−6𝑦+13
𝑑𝑦 = 0
Problemas complementares – Avaliativos
4.34 y′ +
𝑦
𝑥2
= 0
4.35 y′ =
𝑥𝑒𝑥
2𝑦
4.36
d𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥+1
𝑦
4.37
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2
4.38
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥2𝑡2
4.39
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑥
𝑡
Problemas complementares – Avaliativos
4.40
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3 + 5𝑦
4.41 sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 0 = −2
4.42 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 +
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0; 𝑦 −1 = 1
4.43 𝑥𝑒𝑥
2
𝑑𝑥 + 𝑦5 − 1 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 0 = 0
4.44 𝑦′ =
𝑥2𝑦−𝑦
𝑦+1
; 𝑦 3 = −1
4.45
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 8 − 3𝑥; 𝑥 0 = 4
Problemas complementares – Avaliativos
Nos problemas 4.46 a 4.54, determine se a equação diferencial 
apresentada é homogênea. Se for, resolva-a.
4.46 𝑦′ =
𝑦−𝑥
𝑥
4.47 𝑦′ =
2𝑦+𝑥
𝑥
4.48 𝑦′ =
𝑥2+2𝑦2
𝑥𝑦
4.49 𝑦′ =
2𝑦+𝑥
𝑥
Problemas complementares – Avaliativos
4.50 𝑦′ =
𝑥2+𝑦2
2𝑥𝑦
4.51 𝑦′ =
2𝑥
𝑦2−𝑥2
4.52 𝑦′ =
𝑦
𝑥+ 𝑥𝑦
4.53 𝑦′ =
𝑦2
𝑥𝑦+ 𝑥𝑦2 1/3
4.54 𝑦′ =
𝑥4+3𝑥2𝑦2+𝑦4
𝑥3𝑦
Regras para postagem
• A postagem deverá ser digital via classroom (3vtzap)
• A imagem deve estar legível
• Dê preferência para a postagem em um único pdf
• Em caso de arquivos separados, zipado
• Atividades iguais serão anuladas para todas as partes
• Em caso de dúvidas estou à disposição