UNIVESP - Gabarito da atividade para avaliação - Semana 3_ MÉTODOS NUMÉRICOS - MMN001

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MÉTODOS NUMÉRICOS - MMN001
Sistemas Lineares3
A resposta correta da questão está identificada com a cor Vermelha.
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
(1.43 pontos) Para a função , determine a raiz positiva pelo
método de Newton-Raphson com erro inferior a . Quantas iterações foram
necessárias para encontrar a raiz aproximada por esse método?
JUSTIFICATIVA 
Para a função , sua derivada:
 
Considerando x = 0.0 como valor inicial, obtemos os valores de f(x) e f'(x): 
 
Repetindo o processo repetidas vezes, chega-se aos valores da tabela: 
1.
x = 0.6697,17 iterações.a.
x = 0.5569,8 iterações.b.
x = 0.8669,9 iterações.c.
x = 0.8669,17 iterações.d.
x = 0.9778,10 iterações.e.
0
O valor de raiz aproximada é de x = 0.8669, com 17 iterações.
(1.43 pontos) Determine a menor raiz positiva da função com erro
inferior a usando o método do ponto fixo (método iterativo linear). Quantas
iterações foram necessárias para encontrar a raiz aproximada por esse método? 
Considere os processos iterativos:
Sugestão: faça o gráfico para visualizar as raízes e utilize o método da bissecção para
encontrar o ponto inicial x .
JUSTIFICATIVA 
A construção do gráfico mostra que existem duas raízes positivas para a função 
2.
a.
b.
0
x = 2.0000, 5 iterações.a.
x = 2.5000, 8 iterações.b.
x = 2.0688, 5 iterações.c.
x = 0.6890, 4 iterações.d.
x = 0.499861, 8 iterações.e.
: 
Uma no intervalo [0,1] e outra no intervalo [1,3]. Para o método do ponto fixo, é necessário
construir uma função adequada, pois o método em si pode apresentar problemas de
acordo com a função escolhida. Escrevemos então a função , de forma que: 
 
Note que, se fosse escolhida uma outra função , por exemplo: 
 
Além de escolher um x adequado para não gerar um número negativo, esta função tende a
convergir para a segunda raiz da função inicial, gerando uma resposta indesejada ao
enunciado do problema. Utilizaremos, portanto, a função inicial, que gera os seguintes
valores: 
Para k = 0 e um “chute” inicial x = 0.0: 
 
O procedimento se repete até o critério de convergência de seja atendido, ou seja,
até oitava iteração, como pode ser visto na tabela:
Iteração
1 0.400000
2 0.464000
3 0.486118
0
0
4 0.494524
5 0.497822
6 0.499131
7 0.499653
8 0.499861
Assim, a iteração de convergência ocorre na iteração 8, com a raiz de 0.499861.
(1.43 pontos) Para a função , determine a menor raiz positiva pelo
método de Newton-Raphson usando 4 iterações. 
Sugestão: faça o gráfico para visualizar as raízes e utilize o método da bissecção para
encontrar o ponto inicial x . 
Aponte a alternativa correta: 
JUSTIFICATIVA 
Para a função , tem-se o seguinte gráfico, levando em consideração
a separação da função principal em duas: 
No qual é possível observar que o encontro das duas funções está no intervalo [0,1].
Estimando x a partir do método da bissecção e escrevendo a função com sua derivada,
3.
0
x = 0.90479a.
x = 0.54689b.
x = 4.14488c.
x = 0.70478d.
x = 1.44857e.
0
temos:
 
 
Aplicando o valor de x = 0.5:
Calculando x :
Aplicando o mesmo procedimento repetidas vezes, chega-se ao valor aproximado da raiz de
x = 0.90479.
0
1
(1.43 pontos) Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva da
equação a seguir, com precisão : 
Aponte a alternativa correta:
JUSTIFICATIVA 
O processo mais eficaz para obter um valor inicial é o método gráfico. Com isso em mente,
dividiremos a equação inicial f(x) = 0 em outras duas equações mais simples, y e y . O
rearranjo para obter essas equações deve apenas levar em consideração a igualdade f(x) =
0. Tomando y = 2cos(x) e y = e /2, e plotando as duas funções no mesmo gráfico, tem-se:
4.
x = 2.14694a.
x = 0.54694b.
x = 4.14484c.
x = 0.90479d.
x = 0.70478e.
1 2
1 2 x
Sabe-se que o ponto de interseção das duas curvas é a solução procurada. Assim,
escolhemos um chute inicial x = 1.0, que está na vizinhança da interseção. Da equação
original obtemos:
Efetuando os cálculos com 5 casas decimais:
Calculando x :
Calculando o erro relativo, temos:
Maior do que 10 . Devemos fazer uma nova iteração, chegando aos valores:
e 
x = 0.90479 
Calculando o erro relativo: 
0
1
-4
2
Ainda maior do que o erro estipulado. Repetindo os procedimentos anteriores mais uma vez,
chega-se a x = 0.90479 para a raiz do problema com erro menor que .
(1.43 pontos) Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss
e aponte a alternativa correta: 
JUSTIFICATIVA 
Resolver o sistema pelo método da Eliminação de Gauss. 
Etapa 1: eliminação da variável x 
 
Pivô: 
m = 1/2 
m = 3/2 
m = 2 
L ← L - m L
L ← L - m L
L ← L - m L
5.
x = {1 2 1 0}a. T
x = {0 1 2 1}b. T
x = {1 2 1 1}c. T
x = {1 2 1 2}d. T
x = {2 1 0 3}e. T
1
21
31
41
2 2 21 1
3 3 31 1
4 4 41 1
Etapa 2: eliminação da variável x
Pivô: 
m = 1/2 
m = 1/2 
L ← L - m L
L ← L - m L
Etapa 3: eliminação da variável x
Pivô: 
m = 1/7 
L ← L - m L
Chegada ao vetor solução:
2
32
42
3 3 32 2
4 4 42 2
3
43
4 4 43 3
(1.43 pontos) Dado o sistema linear abaixo:
 
6.
Encontre uma aproximação para a solução do sistema linear utilizando o método iterativo
de Gauss-Jacobi. Faça duas iterações do método a partir do vetor nulo x = {0 0 0 0} como
aproximação inicial. Utilize quatro casas decimais e aponte a alternativa correta:
JUSTIFICATIVA 
Considerando o sistema linear da questão, temos para a primeira iteração: 
Para k = 0 e : 
Repetindo o processo para k = 1 e : 
O vetor solução aproximada de da segunda iteração fica então definido:
(0) T
a.
b.
c.
d.
e.
(1.42 pontos) 7) Use o método de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema até que o
erro relativo percentual caia para abaixo de . Suponha o vetor nulo para iteração
inicial. 
Aponte a alternativa correta:
JUSTIFICATIVA 
1) Para cada uma das equações, isole a variável da diagonal.
Supondo o vetor nulo para iteração inicial, pode-se calcular o valor de x . 
Esse valor, junto com o valor suposto de x = 0, pode ser substituído na equação de x . 
A primeira iteração é completada substituindo-se os valores para x e x na equação de x .
7.
x = {-0.7000, 6.0000, 5.0000}a. T
x = {0.7000, -6.0000, 5.0000}b. T
x = {-0.50000, -8.0000, 6.0000}c. T
x = {0.40000, 5.0000, -6.0000}d. T
x = {0.50000, 8.0000, -6.0000}e. T
1
3 2
1 2 3
Para a segunda iteração, o mesmo processo é repetido para calcular.
Na quarta iteração obtém-se um erro relativo menor que 5%, exigido na questão, com os
valores de x para a solução do problema dado por: