Notas de Aulas - Probabilidade e Estatistica-2019 1_20190204-2047

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NOTAS DE AULA 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
 
 
Professora: Flávia Ferreira Batista 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VILA VELHA 
 
115 
 
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 
 
 
O Engenheiro e o Pensamento Estatístico 
 
 
Um engenheiro é alguém que resolve problemas de interesse da sociedade pela aplicação eficiente 
dos princípios científicos. Devido a vários aspectos da prática da engenharia envolver o trabalho com os 
dados, obviamente, algum conhecimento de estatísticas é importante para qualquer engenheiro. Pois, o 
campo da estatística lida com a coleta, apresentação, análise e utilização dos dados para tomar decisões, 
resolver problemas, e produtos e processos de design. 
 
As etapas utilizadas na engenharia para formular e resolver problemas são: 
 
1. Desenvolver uma descrição clara e concisa do problema. 
2. Identificar, os fatores importantes que afetam esse problema ou que possam desempenham um papel 
na sua solução. 
3. Propor um modelo para o problema, utilizando conhecimentos científicos ou de engenharia do 
fenômeno a ser estudado. Estabelecer limitações ou suposições do modelo. 
4. Realizar experiências apropriadas e coletar dados para testar ou validar o modelo proposto. 
5. Limitar o modelo com base nos dados observados. 
6. manipular o modelo para auxiliar no desenvolvimento de uma solução para o problema. 
7. Realizar um experimento apropriado para confirmar que a solução proposta para o problema é ao 
mesmo tempo eficaz e eficiente. 
8. Tirar conclusões ou fazer recomendações com base na solução do problema. 
 
Consequentemente, os engenheiros devem saber como planejar de forma eficiente experimentos, coletar 
dados, analisar e interpretar os dados e entender como os dados observados estão relacionados ao método 
que propuseram para o problema em estudo. Especificamente, técnicas estatísticas podem ser uma 
poderosa ajuda na concepção de novos produtos e sistemas, melhorando a projetos existentes e projetar, 
desenvolver e melhorar os processos de produção. 
Como exemplos da estatística aplicada à engenharia, podemos citar as seguintes ações: 
• Planejamento de novas estratégias de produção, vendas; 
• Controle de Processos e Manufatura, analisando distribuições e lotes para padrões de qualidade nos 
produtos. 
• Análise de ensaios tanto destrutivos como não destrutivos, verificando a porcentagem de peças ou 
probabilidade de vida de equipamentos ou peças. 
• Acompanhamento da estabilidade dos processos que é analisada por cartas de acompanhamento 
conhecidas como cartas de controle estatístico de processo. 
 
 
 
 
 
 
116 
 
UNIDADE I - INTRODUÇÃO 
 
1.1 O QUE É ESTATÍSTICA? 
É uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, 
análise e interpretação de dados e para utilização dos mesmos na tomada de decisões. 
Os métodos estatísticos são usados para nos ajudar a descrever e compreender a variabilidade. Por 
variabilidade, queremos dizer que as observações sucessivas de um sistema ou fenômeno não produzem 
exatamente o mesmo resultado. Todos nós encontrar variabilidade na nossa vida quotidiana, e pensamento 
estatístico, podem dá-nos uma maneira útil para incorporar essa variabilidade em nossos processos de 
tomada de decisão. 
 
1.2 DIVISÃO DA ESTATÍSTICA 
No sentido de melhor esclarecer o significado da análise e interpretação dos dados, deve-se 
estabelecer uma distinção entre: Estatística Descritiva, teoria da probabilidade e Estatística Inferencial. 
Estatística Descritiva: É o ramo da estatística que envolve a organização, o resumo e a representação dos 
dados, em geral, a simplificação de informações. 
Estatística Inferencial: é o ramo da estatística que envolve a análise e interpretação de dados amostrais. A 
idéia básica é efetuar determinada mensuração sobre uma parcela pequena, mas típica, de determinada 
“população” e utilizar essa informação para chegar a conclusões sobre a população toda. 
Ex: Não preciso comer um bolo inteiro para saber se é bom. 
 
1.3 – CONCEITOS IMPORTANTES 
 
a) População: é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que têm, pelo menos, uma variável 
(característica) comum e observável. 
Ex: População dos alunos do primeiro período de uma faculdade; 
 População de peças fabricadas numa linha de produção. 
 
b) Amostra: é uma parcela representativa da população que é examinada com o propósito de 
tirarmos conclusões sobre ela. 
 
117 
 
As vantagens de amostrar são: Economiza mão-de-obra, tempo e dinheiro. Possibilita rapidez na obtenção 
dos resultados. Coleta de dados mais precisos. É a única opção quando o estudo resulta em destruição ou 
contaminação dos elementos pesquisados. 
 
c) Parâmetro: é a descrição numérica de uma característica populacional. Exemplo: Média (µ), 
variância (σ²), coeficiente de correlação (ρ). 
d) Estimador: também denominado Estatística. É a descrição numérica de uma característica 
amostral. Exemplo: Média amostral (�̅�), variância amostral (s²), coeficiente de correlação amostral 
(r). 
e) Estimativa: é o valor numérico obtido para o estimador numa certa amostra. 
 
 
1.4 – VARIÁVEIS 
 
 Em Estatística, variável é cada característica que pode ser observada (ou medida) em cada elemento 
da população, sob as mesmas condições. 
Dados estatísticos são observações da realidade que nos cerca, podem ser fatos ou números. A característica 
de interesse de estudo (variável) pode ser dividida em duas categorias: qualitativas e quantitativas. 
 
1.4.1 – Variáveis Qualitativas: são aqueles nos quais as características de um elemento são fornecidas por 
um nome ou por um rótulo. São classificadas como: 
Qualitativas Nominais: os dados que podem ser separados em categorias não mensuráveis. 
 Ex.: Estado civil, sexo, cor da pele, grupo sanguíneo, tipo de transporte. 
Qualitativas Ordinais: envolvem dados que podem ser dispostos em alguma ordem. O nível ordinal dá 
informação sobre comparações relativas, mas os graus de diferença não servem para cálculos. 
Ex.: Grau de instrução (Nível fundamental, Nível médio, Nível superior). 
 Aparência (Péssima, ruim, regular, boa e ótima) 
 Classe social (Baixa, média baixa, média e alta) 
 
1.4.2 - Variáveis Quantitativas: são aquelas nos quais as características do elemento observado é uma 
quantidade. São classificadas como: 
Quantitativas Discretas: Assumem valores inteiros. Os dados discretos são resultados da contagem de um 
número de itens. 
118 
 
Ex.: idade em anos completos, nº de carros que circulam em Vila Velha, nº de pessoas atendidas 
em um caixa de banco. 
 
Quantitativas Contínuas: Assumem qualquer valor num intervalo de valores. São dados resultantes de 
medições. Resultam em um número infinito de valores possíveis. 
Ex.: Temperatura da cidade de Vila Velha, Quantidade de água gasta por dia na cidade de Vitória, 
peso dos alunos da turma de estatística. 
RESUMO DOS TIPOS DE VARIÁVEIS 
 
 
EXERCÍCIOS (resolvidos na aula) 
 
1. Determine se o conjunto de dados é uma população ou uma amostra. Explique. 
 
a) A idade de cada governador de Estado. 
 
b) A velocidade de cada quinto carro que passa por um medidor de velocidade da polícia. 
 
c) Um levantamento de 500 estudantes e uma universidade que tenha 2000 estudantes. 
 
d) Os salários anuais de advogados em um escritório. 
 
 
2. Determine se o valor numérico descreve um parâmetro populacional ou uma estatística amostral. 
Explique. 
 
a) Uma pesquisa com 1.000 adultos nos Estados Unidos descobriu que 12% preferem tirar férias nos 
meses de inverno. 
 
b) Os salários iniciais para os 667 MBAs graduados na Escola de Negócios da Universidade de Chicago 
aumentaram 8,5% em comparação ao ano anterior. 
119 
 
 
c) Em janeiro de 2007, 44% dos governadores dos 50 estados norte-americanos eram republicanos. 
 
 
3. Classifique o tipo de variável paraos itens abaixo. 
 
a) Grau de satisfação com um produto alimentício; 
b) Marca de antitérmico preferida; 
c) Peso de grãos exportados; 
d) Grau de escolaridade; 
e) Número de acessos em um site por minuto; 
f) Proporção de clientes satisfeitos; 
g) A velocidade em km/h de um avião à jato; 
 
 
1.5 - FORMAS DE ORGANIZAÇÃO E APRESENTAÇÃO DE DADOS: TABELAS E GRÁFICOS 
 
Os requisitos de uma boa apresentação de dados são: 
• Clareza (até os leigos compreendem o que está sendo apresentado) 
• Objetividade (atinge o fim que se quer atingir) 
• Concisão (é resumido, mas é também preciso, exato) 
Os dados podem ser apresentação das seguintes formas: Brutos, Rol, Tabelas e gráficos. 
 
DADOS BRUTOS: quando os dados originais (coletados) ainda não se encontram prontos para análise, por 
não estarem numericamente organizados. 
 
Ex.: Foi coletada uma amostra de Idades dos alunos do último período do curso de Engenharia Civil da UVV, 
no ano de 2013. 
24 23 23 27 26 23 28 26 24 23 
25 27 24 28 25 25 23 26 24 25 
 
ROL: é uma lista em que os valores estão dispostos em uma determinada ordem, crescente ou decrescente. 
Ex.: Utilizando os mesmos dados anteriores (idade dos alunos). 
23 23 23 23 23 24 24 24 24 25 
25 25 25 26 26 26 27 27 28 28 
 
120 
 
Como pode-se observar a simples organização dos dados em um Rol, aumenta muito a capacidade 
de informação destes. Ela torna possível visualizar, de forma bem ampla, as variações dos dados, uma vez 
que os valores extremos são percebidos de imediato. Mas a análise com este tipo de disposição começa a se 
complicar quando o número de observações tende a crescer. 
Ao estudarmos grandes conjuntos de dados, é conveniente organizá-los e resumi-los de forma clara 
e objetiva. 
Os dados qualitativos ou quantitativos discretos podem ser apresentados ou organizados das seguintes 
maneiras: 
 Tabela de Frequências 
 Gráfico de Barras/Colunas 
 Gráfico de Setores 
 
Os dados quantitativos contínuos ou amostra grande de dados discretos podem ser apresentados ou 
organizados das seguintes maneiras: 
 Tabela de Frequências em classes (agrupada) 
 Histogramas 
 Polígono de frequências e Curvas de frequências 
 
 
1.5.1 - Tabela de Frequências (Distribuição de frequências) 
 
São representações nas quais os valores se apresentam em correspondência com suas repetições, evitando-
se, assim, que eles apareçam mais de uma vez na tabela, como ocorre com o rol. 
Este tipo de tabela não é aconselhável quando estamos trabalhando com amostragens grandes, pois pode 
ficar muito extensa, dificultando, além de sua elaboração, as análises e conclusões dos dados pesquisados. 
Contudo, neste tipo de tabela não há perda de informação. 
 
Uma tabela de frequências pode representar e caracterizar um dos seguintes tipos de frequências: 
 
 Frequência absoluta 
 Frequência relativa 
 Frequência Percentual 
 Frequência acumulada (absoluta, relativa e percentual) 
 
Frequência Simples Absoluta (fi ou fai): é o número de repetições de um valor individual ou de uma classe 
de valores da variável. 
Frequência Relativa (fr ou fri): é a relação entre a frequência de uma classe e a frequência total (soma das 
frequências de todas as classes). 
N
f
f
f
f i
k
i
i
i
ri 

1
 


k
i
rif
1
00,1 
Frequência Percentual (fr(%) ou pi): é a frequência relativa de uma classe multiplicada por 100. 
 
121 
 
Exemplo: Suponha que foi realizado uma pesquisa com os funcionários da empresa X e verificado o grau de 
satisfação em relação ao salário. 
Satisfeito Muito Satisfeito Insatisfeito Satisfeito Satisfeito 
Satisfeito Satisfeito Satisfeito Satisfeito Satisfeito 
Muito Satisfeito Insatisfeito Insatisfeito Insatisfeito Satisfeito 
Satisfeito Muito Satisfeito Satisfeito Muito Satisfeito Satisfeito 
 
A tabela de distribuição de frequências ficará assim: 
Grau de 
satisfação 
Frequência 
absoluta 
Frequência 
Percentual (%) 
Insatisfeito 4 20,0 
Satisfeito 12 60,0 
Muito satisfeito 4 20,0 
Total 20 100,0 
 
Frequência Acumulada: Contabiliza as observações até o valor considerado. Pode ser calculada apenas para 
variáveis numéricas. Pode ser: frequência acumulada (Fi), frequência relativa acumulada (Fri), ou frequência 
acumulada percentual (Pi). 
Exemplo: Tabela de distribuição de frequências utilizando os dados de Idades dos alunos do último período 
do curso de Engenharia Civil. 
23 23 23 23 23 24 24 24 24 25 
25 25 25 26 26 26 27 27 28 28 
 
No caso as frequências acumuladas são as seguintes: 
Idade 
Frequência 
absoluta 
Cálculo 
Frequência 
acumulada 
23 5 5 5 
24 4 5 + 4 9 
25 4 9 + 4 13 
26 3 13 + 3 16 
27 2 16 + 2 18 
28 2 18 + 2 20 
Total 20 - - 
 
Frequência relativa acumulada (Fri): Fornece a relação entre a frequência acumulada e o nº total de 
observações realizadas. 
Idade 
Frequência 
absoluta 
Frequência 
acumulada 
Frequência 
relativa 
Cálculo 
Frequência 
relativa 
acumulada 
23 5 5 0,25 5/20 0,25 
24 4 9 0,20 9/20 0,45 
25 4 13 0,20 13/20 0,65 
26 3 16 0,15 16/20 0,80 
27 2 18 0,10 18/20 0,90 
122 
 
28 2 20 0,10 20/20 1,00 
Total 20 - 1,00 - - 
 
 
1.5.2 – Gráfico de Colunas/Barras 
 
No eixo horizontal deve ser colocada a variável sob estudo 
No eixo vertical a frequência (absoluta, acumulada ou relativa) 
É traçada, para cada valor (atributo) da variável, uma barra com comprimento proporcional à frequência. 
O eixo vertical e horizontal pode ser invertido, ou seja, a variável pode ser colocada no eixo vertical e a 
frequência no eixo horizontal (gráfico de barras). 
 
Figura 1 . Título da figura 
 
1.5.3 – Gráfico de Setores (Pizza) 
 
 Consta de um círculo dividido em setores, cada setor relacionado a um valor da variável a 
ser representada. 
 A abertura angular de cada setor é proporcional à frequência observada para cada valor. 
 
Exemplo: 
 
Figura 2. Título da figura 
0
2
4
6
8
10
12
14
Insatisfeito Satisfeito Muito satisfeito
Fr
eq
u
ên
ci
a
Grau de satisfação
20%
60%
20%
Insatisfeito
Satisfeito
Muito satisfeito
123 
 
 
 
1.5.4 Tabela de Frequências para dados agrupados em classes 
 
É constituída da mesma forma que para os dados não agrupados, com a diferença de que agora os valores 
da variável a ser organizados por classes. 
Ao agrupar-se os valores das variáveis em classes, se ganha em simplicidade, mas se perde em detalhes 
(informações). Neste tipo de tabela se destaca o que há de essencial nos dados. 
Normalmente sugere-se o uso de 5 a 15 classes com a mesma amplitude. Menos que cinco classes pode 
ocultar detalhes importantes dos dados, e mais que quinze torna a apresentação demasiado detalhada. 
 
Exemplo de dados agrupados em classes para os salários dos 36 empregados da seção de orçamento da 
Companhia XX por faixa de salários. 
 
Classe de salários Frequência (fi) Porcentagem (%) 
4,0 |-- 8,0 10 27,78 
8,0 |-- 12,0 12 33,33 
12,0 |-- 16,0 8 22,22 
16,0 |-- 20,0 5 13,89 
20,0 |-- 24,0 1 2,78 
Total 36 100,00 
 
Dada a sequência: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Podem-se representar intervalos das seguintes formas: 
 
• Intervalo aberto: 1 --- 6 => 2, 3, 4, 5 
• Intervalo fechado: 1|---|6 => 1, 2, 3, 4, 5, 6 
• Intervalo fechado à esquerda: 1|--- 6 => 1, 2, 3, 4, 5 
• Intervalo fechado à direita: 1 ---|6 => 2, 3, 4, 5, 6 
 
Os principais estágios na construção de uma distribuição de frequência para dados agrupados em classes 
são: 
 
1. Organizar os dados brutos em um rol de ordem crescente ou decrescente. 
2. Determinar a amplitude total dos dados que é a diferença entre o maior e menor dos dados. 
 
𝑨𝑻 = 𝒙𝒎𝒂𝒙 − 𝒙𝒎𝒊𝒏 
 
3. Determinar quanto ao número de classes a usar (k). 
 
𝒌 = √𝒏 
 𝒐𝒖 
𝒌 = 𝟏 + 𝟑, 𝟑𝐥𝐨𝐠 (𝒏) 
 
4. Determinar a amplitude de cada classe (c). 
𝒄 = 
𝑨𝑻
𝒌
 
 
Em que: c é amplitude de classe; AT é a amplitude total; k é o número de classes. 
124OBS: Se necessário o valor encontrado deve ser aproximado para cima com o mesmo número ou mais 
casas decimais que os valores das variáveis. 
 
5. Estabelecer os intervalos das classes começando com um inteiro logo abaixo do menor valor 
observado ou com o menor valor observado e somando a amplitude das classes. Os intervalos de 
classe devem ser escritos, de acordo com a Resolução 866/66 do IBGE em termos de “desta 
quantidade até menos aquela”, empregando, para isso, o símbolo |-- (inclusão por limite inferior e 
exclusão do limite superior). 
 
6. Relacionar os intervalos e fazer a contagem dos pontos por classe. A contagem total deve ser igual a 
n. 
 
7. Construir uma tabela de frequência ou um gráfico de frequência. 
 
 
Exemplo: Num determinado processo de fabricação foram feitas 50 observações de uma característica de 
qualidade de um tipo de peça, resultando nas seguintes medidas de diâmetro em milímetros. 
 
 
 
 
1. Determinar a amplitude total: 𝑨𝑻 = 𝒙𝒎𝒂𝒙 − 𝒙𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟐𝟒 − 𝟔𝟎 = 𝟔𝟒 
2. Determinar o número de classes: 𝒌 = √𝒏 = √𝟓𝟎 = 𝟕, 𝟎𝟕 ≅ 𝟕 
3. Determinar a amplitude de cada classe: 𝒄 = 
𝑨𝑻
𝒌
= 
𝟔𝟒
𝟕
= 9,14 ≅ 𝟏𝟎 
 OBS.: A amplitude da classe foi arredondada para cima, pois o número de classes já havia sido arredondado 
para baixo. 
 
 
Para se formar as classes tomam-se o menor valor do conjunto de dados, 60, e soma à ele amplitude, 10, 
obtendo assim o limite superior da classe (ls), 70, os outros limites são obtidos sempre somando-se a 
amplitude, 10, até formar 7 classes. 
A frequência absoluta (observada) é obtida contando-se a quantidade de elementos no intervalo, ou seja, de 
60 a 70 (não incluindo esse extremo) existem 5 valores, e assim sucessivamente. As outras frequências são 
obtidas da mesma forma que para dados não agrupados em classes. 
 
 
 
125 
 
 Diâmetro (mm) 
Frequência 
absoluta (fi) 
Frequência 
relativa (fr) 
Frequência 
absoluta 
acumulada (Fi) 
Frequência 
relativa 
acumulada (Fr) 
60 |--- 70 5 5/50 = 0,10 5 0,10 
70 |--- 80 6 6/50 = 0,12 11 0,22 
80 |--- 90 8 8/50 = 0,16 19 0,38 
 90 |--- 100 13 13/50 = 0,26 32 0,64 
 100 |--- 110 10 10/50 = 0,20 42 0,84 
110 |--- 120 6 6/50 = 0,12 48 0,96 
 120 |--- 130 2 2/50 = 0,04 50 1,00 
 50 1,00 - - 
 
 
 
 
1.5.5 Histograma 
 
• Cada classe é representada por um retângulo. 
• A base do retângulo é o intervalo de classe. 
• A altura do retângulo é proporcional à frequência da classe. 
• A área do histograma é proporcional à soma das frequências, se usarmos a frequência relativa a 
área sob a curva vale 1. 
 
Exemplos de histogramas: 
 
 
 
 
1.5.6 Polígono de frequências 
 
Neste gráfico as classes são representadas pelos seus pontos médios. 
O Polígono é formado pela união, por retas, dos pontos médios das partes superiores de cada 
retângulo do histograma. 
 
As figuras abaixo mostram exemplos de polígonos de frequências. 
0
2
4
6
8
10
12
14
4 8 12 16 20 24
Fr
eq
u
ên
ci
as
Nº de Salários
10,0%
12,0%
16,0%
26,0%
20,0%
12,0%
4,0%
0,0%
5,0%
10,0%
15,0%
20,0%
25,0%
30,0%
60 70 80 90 100 110 120 130
Fr
eq
u
ên
ci
as
 P
er
ce
n
tu
al
 
Diâmetro (mm)
126 
 
 
 
 
 
 
1.5.7 Ogiva de Galton ou Polígono de frequências Acumuladas 
 
Neste gráfico as classes são representadas pelos seus limites superiores, utilizando a frequência acumulada. 
A Ogiva de Galton é formada pela união, por retas, dos pontos que interceptam os limites superiores de 
cada classe da tabela e a frequência acumulada. O ponto inicial é o limite inferior da 1ª classe. 
 
 
 
EXERCÍCIOS (resolvidos na aula) 
1. O corpo administrativo de uma indústria estudou o tempo de espera dos produtos que chegavam no 
setor de despache com uma solicitação de emergência. Os seguintes dados foram coletados no 
período de um mês (os tempos de espera estão em minutos): 
 
2 5 10 12 4 4 5 17 11 8 9 8 12
 21 6 8 7 13 18 3. 
(a) Montar uma distribuição de frequência em uma tabela em classes, 
(b) Que proporção destes produtos enfrentam um tempo de espera de 9 minutos ou mais no setor? 
0,0%
5,0%
10,0%
15,0%
20,0%
25,0%
30,0%
60 70 80 90 100 110 120 130
Fr
eq
u
ên
ci
as
 P
er
ce
n
tu
al
 
Diâmetro (mm)
0
2
4
6
8
10
12
14
4 8 12 16 20 24
Fr
eq
u
ên
ci
as
Nº de Salários
127 
 
(c) Construa um histograma. 
(d) Construa um polígono de frequências. 
 
2. Complete a distribuição de frequências. 
 
Notas Número de 
alunos 
Freq. relativa Freq. Absoluta 
acumulada 
0 1 0,05 
1 0,15 
2 4 
3 0,25 13 
4 3 0,15 
5 18 
6 19 
7 
TOTAL ∑ = 1,00 
 
(a) Montar o gráfico apropriado para esses dados. 
(b) Que proporção tiram pelo menos 4 pontos? 
(c) Podemos dizer que 50% dos alunos conseguiram no máximo que nota? 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 01 
 
 
1. Classifique as seguintes variáveis em: Quantitativas (Discretas ou Contínuas) ou Qualitativas 
(Nominais ou Ordinais). 
 
a) A cor da pele de pessoas (ex.: branca, negra, amarela). 
Variável do tipo _______________________ 
 
b) O número de acessos diários em um blog. 
 Variável do tipo _______________________ 
 
c) Número de horas de estudo para uma prova de estatística. 
Variável do tipo _______________________ 
 
d) O tipo de droga que os participantes de certo estudo tomaram, registrados como: Droga A, Droga B 
e placebo. 
Variável do tipo _______________________ 
 
e) Níveis de calorias consumidos diariamente, registrados como: Alto, moderado e baixo. 
Variável do tipo _______________________ 
 
2. Uma indústria multinacional faz um levantamento das seguintes variáveis com seus gerentes: hobby; 
quantas vezes praticam esporte por semana; categoria de hotel em que se hospedam quando em 
viajem e tempo gasto (por semana) na leitura de jornais e revistas. 
 
a) Identifique e classifique cada uma das variáveis consideradas? 
b) Os resultados do tempo de leitura, em horas, para 25 funcionários foi: 
128 
 
1.7 1.3 3.6 1.3 1.5 1.6 1.2 2.0 2.1 2.5 2.3 2.5 2.2 2.9 
11.2 1.3 4.3 5.5 4.7 4.8 4.8 4.5 5.7 10.7 3.6 
i) Organize os dados em rol. 
ii) Construa uma tabela de frequência com k = 5 classes. 
iii) Construa um histograma. 
 
 
3. A tabela seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe. 
 
157 178 148 176 169 154 170 158 
164 164 159 175 155 163 171 172 
163 157 166 162 157 165 156 166 
160 154 163 165 164 177 150 168 
166 169 152 164 172 165 162 170 
a) Calcular a amplitude total. 
b) Admitindo-se 6 classes, qual a amplitude do intervalo de classe? 
c) Construir uma tabela de frequências simples absoluta e relativa das alturas dos alunos admitindo que 
o limite inferior da 1a classe seja 148 cm. 
d) Determinar os pontos médios das classes. 
e) Construir um polígono de frequências. 
4. O gráfico abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de 
ônibus: 
 
Determine: 
a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente. 
b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes. 
c) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes. 
d) A porcentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes. 
e) Monte a tabela apropriada. 
 
 
5. A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes de terra; utilize-a 
para responder as questões. 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0 1 2 3 4 5 6 7
N
º 
d
e 
m
o
to
ri
st
as
Nº de acidentes
129 
 
Áreas (m²) Nº de lotes 
300 |-- 400 14 
400 |-- 500 46 
500 |-- 600 58 
600 |-- 700 76 
700 |-- 800 68 
800 |-- 900 62 
900 |-- 1000 48 
1000 |-- 1100 22 
1100 |-- 1200 6 
Total 400 
Com referência essa tabela, determine: 
a) A amplitude total dos dados 
b) O limite superior da quinta classe 
c) O limite inferior da oitava classe 
d) O ponto médio da sétima classe. Como você interpretaeste valor? 
e) A amplitude do intervalo da segunda classe 
f) Monte uma tabela com todas as frequências. 
g) A frequência relativa simples da quarta classe 
h) A frequência absoluta simples da oitava classe. Como você interpreta este valor? 
i) A frequência absoluta acumulada da quinta classe. Como você interpreta este valor? 
j) O número de lotes cuja área não atinge 700m² 
k) O número de lotes com área igual ou superior a 800m² 
l) A percentagem de lotes cuja área não atinge 600m² 
m) A percentagem de lotes cuja área seja maior ou igual a 900m² 
n) A percentagem dos lotes cuja área é de 500m², no mínimo, mas inferior a 1000m² 
o) A classe do 72º lote. 
p) Até que classe estão incluídos 60% dos lotes? 
 
6. Complete os dados que faltam na distribuição de frequências: 
 
Classes xi fi Fi fri 
0 |-- 2 1 4 0,04 
2 |-- 4 8 
4 |-- 6 5 30 0,18 
 |-- 27 
8 |-- 10 72 
10 |-- 12 83 
 |-- 13 10 0,10 
 14|-- 16 0,07 
 ∑ = ∑ = 
 
130 
 
UNIDADE II – MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Na análise descritiva de dados as medidas estatísticas são instrumentos de avaliação e tomada de 
decisões. 
Entre essas medidas estão as Medidas de Resumo, também conhecidas como Medidas de Posição. 
 O objetivo dessas medidas é de resumir um conjunto de dados ou uma distribuição de frequência 
através de uma medida central, em torno da qual os dados tendem a se concentrar; por isso, também são 
conhecidas como Medidas de Tendência Central. 
As medidas de tendência central são: Média, mediana, moda. 
 
2.1 - MÉDIA 
Definimos a média aritmética simples (ou média, apenas) de uma população de tamanho N como sendo 
o quociente da soma de todos os dados da população pelo tamanho da mesma. 
Seja o seguinte conjunto de dados de uma variável X: 
 
𝑿 = { 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒, … , 𝒙𝒏} = {𝒙𝒊}, 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 
 
Estes dados podem ser provenientes de uma amostra ou de uma população (normalmente o tamanho da 
amostra é simbolizado por “n” – minúsculo -, e o tamanho da população por N – maiúsculo). 
 
Média de uma amostra Média de uma população 
 
 
 
2.1.1 Média para dados não agrupados (Média Simples) 
 
Quando desejamos conhecer a média dos dados não agrupados, determinamos a média aritmética 
simples. Calculada por �̅� = 
∑ 𝒙𝒊
𝒏
. 
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 
16, 18, 12 litros, temos, para produção mediada semana: 
 
�̅� = 
∑ 𝒙𝒊
𝒏
= 
𝟏𝟎 + 𝟏𝟒 + 𝟏𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟏𝟔 + 𝟏𝟖 + 𝟏𝟐
𝟕
= 
𝟗𝟖
𝟕
= 𝟏𝟒 
Logo, 
 �̅� = 14 litros 
 
 
 
131 
 
2.1.2 Média para dados agrupados (Média Ponderada) 
 
Quando desejamos conhecer a média dos dados agrupados numa distribuição de frequências, 
determinamos a média ponderada. 
A fórmula para calcular a média ponderada de uma amostra é: �̅� = 
∑ 𝒙𝒊.𝒇𝒊
𝒏
 ou �̅� = ∑ 𝒙𝒊. 𝒇𝒓 
Quando os dados estiverem em uma distribuição de frequência em classes, as observações são estimadas 
pelos pontos médios xi, obtidos da seguinte maneira: 
 
𝑥𝑖 = 
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑛𝑓 + 𝐿𝑖𝑚𝑠𝑢𝑝
2
 
Onde: Liminf é o limite inferior do intervalo 
 Limsup é o limite superior do intervalo 
 
Exemplo (sem intervalo de classe) 
Considere a variável X como o número de faltas de 25 funcionários de uma empresa computadas em um 
período qualquer e apresentada na distribuição de frequência abaixo: 
Nº de faltas (xi) fi fr 
0 8 0,32 
1 10 0,40 
2 4 0,16 
3 3 0,12 
Total 25 1,00 
 
O número médio de faltas por funcionários pode ser obtido por 
�̅� =
∑ 𝒙𝒊.𝒇𝒊 
𝒏
= 
𝟎∗𝟖 +𝟏∗𝟏𝟎+ 𝟐∗𝟒+𝟑∗𝟑 
𝟐𝟓
= 𝟏, 𝟎𝟖 
ou 
�̅� = ∑ 𝒙𝒊. 𝒇𝒓 = ( 𝟎 ∗ 
𝟖
𝟐𝟓
) + ( 𝟏 ∗ 
𝟏𝟎
𝟐𝟓
) + (𝟐 ∗
𝟒
𝟐𝟓
) + ( 𝟑 ∗ 
𝟑
𝟐𝟓
) = 𝟏, 𝟎𝟖 
 
Exemplo (com intervalo de classe) 
Consideremos a tabela de distribuição da estatura(cm) de uma amostra de funcionários, a média de 
estatura é calculada da seguinte maneira: 
 
Estatura (cm) Nº de funcionários (fi) xi 
150 |-- 154 4 152 
154 |-- 158 9 156 
158 |-- 162 11 160 
162 |-- 166 8 164 
166 |-- 170 5 168 
170 |-- 158 3 172 
Soma 40 -- 
 
132 
 
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe 
coincidem com o seu ponto médio, onde no cálculo o xi é o ponto médio. 
 
�̅� = 
∑ 𝒙𝒊 𝒇𝒊
𝒏
= 
𝟏𝟓𝟐 ∗ 𝟒 + 𝟏𝟓𝟔 ∗ 𝟗 + 𝟏𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟏 + 𝟏𝟔𝟒 ∗ 𝟖 + 𝟏𝟔𝟖 ∗ 𝟓 + 𝟏𝟕𝟐 ∗ 𝟑
𝟒𝟎
= 𝟏𝟔𝟏 𝒄𝒎 
 
A altura média dos funcionários é de 161cm. 
 
 
2.2 - MEDIANA (Md) 
 
É uma medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de 
números, estando estes dispostos seguindo uma ordem. É o valor situado de tal forma no conjunto que o 
separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 
É frequentemente usada para a renda anual e para dados de valores de bens, porque algumas rendas 
ou valores de bens extremamente elevados podem inflacionar a média, nesses casos a mediana é melhor 
medida de posição. 
 
2.2.1 - Mediana para dados não agrupados 
• Com “n” impar 
Para um número impar de observações a mediana será o termo de ordem: 
𝑛 + 1 
2
 
• Com “n” par 
Para um número impar de observações a mediana será a média aritmética dos termos de ordem: 
 
𝑛
2
 𝑒 
𝑛
2
+ 1 
Após a ordenação dos valores, do menor para o maior, a mediana dividirá a série de observações em 2 partes 
iguais, ou seja, 50% menores valores se encontram abaixo da mediana e 50% maiores valores se encontram 
acima da mediana. 
 
Exemplos: 
 Dadas a série de valores: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, a mediana será: 
 
n= 9 (impar) 
Valores ordenados: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 
 
𝑀𝑑 = 𝑥
(
𝑛+1
2
)
= 𝑥
(
10
2
)
= 𝑥5 = 10, 𝑴𝒅 = 𝟏𝟎 
 
Conclusão: 50% menores valores se encontram abaixo de 10. 
 
 Dadas a série de valores: 12, 18, 7, 10, 2, 13, 6, 21 
 
n= 8 (par) 
133 
 
Valores ordenados: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21. 
 
𝑀𝑑 = 
𝑥
(
𝑛
2
)
 + 𝑥
(
𝑛
2
+1)
2
= 
𝑥4+ 𝑥5
2
= 
10+12
2
= 11 𝑴𝒅 =11 
 
Conclusão: 50% menores valores se encontram abaixo de 11. 
 
 
 
2.2.2 - Mediana para dados agrupados em intervalos de classe 
 
Para calcularmos a mediana numa distribuição de dados agrupados devemos seguir alguns passos 
até chegarmos ao valor que representa a mediana. 
 
Passo 1- Na distribuição de frequência, devemos localizar a classe que contém o valor estimado da 
mediana. Para isso devemos localizar a classe que contém o termo de ordem 
𝒏
𝟐
 , ou seja, a classe que 
contém a observação 𝒙
(
𝒏
𝟐
)
 é a mesma classe que contém a mediana. 
 
Passo 2 – Localizada a classe da mediana, utiliza-se a formula: 
 
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊 + 
(
∑ 𝒇𝒊
𝟐 − 𝑭(𝒂𝒏𝒕)) . 𝒄
𝒇𝒊
 
 
Onde: li = limite inferior da classe 
F(ant.) = frequência acumulada anterior a da classe mediana 
c = amplitude da classe da mediana 
fi = frequência absoluta simples da classe mediana 
 
EXEMPLO: 
Calcular o salário mediano a partir da distribuição de frequência dos 40 funcionários de uma empresa. 
Salários (xi) Nº de Funcionários (fi) Fi 
400 |-- 600 2 2 
600 |-- 800 8 10 
800 |-- 1000 16 26 
1000 | -- 1200 10 36 
1200 |-- 1400 4 40 
Total 40 - 
 
𝑛
2
= 20º , a classe de Md é a classe que contém x20, está na 3ª classe (800 |- -1000). 
 
Localizada a classe mediana, devemos utilizar a fórmula seguinte para o cálculo do valor mediano: 
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊 + 
(
∑ 𝒇𝒊
𝟐 − 𝑭(𝒂𝒏𝒕)) . 𝒄
𝒇𝒊
= 𝟖𝟎𝟎 + 
(
𝟒𝟎
𝟐 − 𝟏𝟎) . 𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟔
= 𝟖𝟎𝟎 + 𝟏𝟐𝟓 = 𝟗𝟐𝟓 
 
O que significa que 50% dos funcionários recebem até 925,00. 
 
134 
 
Emprego da média e da mediana: 
De uma maneira geral, prefere-se empregar a média aritmética quando a distribuição dos dados é simétrica, 
ou nos casos em que se faz necessário o cálculo de outras estatísticas. Por outro lado, a mediana é preferidaquando se deseja o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais ou nos casos em que na distribuição 
dos dados existam valores muito distanciados dos demais, comumente chamados de valores extremos. 
 
2.3 - MODA (Mo) 
 
Denominamos moda (Mo) ao valor que mais se repete num conjunto de dados simples ou isolado, 
ou o valor de maior frequência num conjunto de dados agrupados numa tabela de frequência. 
Quanto ao valor que se destaca num conjunto de dados podemos ter várias definições. 
 
Distribuição Unimodal: Quando somente um valor se destaca no conjunto de dados 
Distribuição Bimodal: Quando dois valores se destacam no conjunto de dados 
Distribuição Trimodal: Quando três valores se destacam no conjunto de dados 
Distribuição Multimodal: Quando mais três valores se destacam no conjunto de dados 
Distribuição Amodal: Quando nenhum valor se destaca no conjunto de dados 
 
2.3.1 - Moda para dados brutos ou não agrupados em classes 
Quando lidamos com dados brutos ou agrupados a moda é o valor de maior frequência (maior 
número de repetições). 
EXEMPLO: Indique a moda para cada conjunto de dados. 
a) 8; 10;13; 17; 25; 10 -> Moda = 10 
b) 1; 3; 6; 7; 20; 12; 5 -> Amodal 
c) 2; 1; 9; 7; 15; 2; 9; 4 -> Moda = 2 e 9 
d) e) 
Nº de faltas/Serviço 
(xi) 
Nº de 
Funcionários (fi) 
 Nº de faltas/Serviço 
(xi) 
Nº de 
Funcionários (fi) 
 1 2 1 2 
2 15 2 15 
3 3 3 3 
4 2 4 15 
5 2 5 2 
6 3 6 3 
 Moda = 2 Moda1 = 2 , Moda2 = 4 
 
2.3.2 - Moda para dados agrupados em intervalos de classe 
Para o cálculo da moda nas distribuições de frequência com intervalo de classe, precisamos primeiro 
identificar a classe modal (classe com maior frequência) para depois calcular o valor da moda. 
Fórmula para cálculo da moda: 
𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + 
∆1
∆1 + ∆2
. 𝑐 
Onde: 
135 
 
 li = limite inferior da classe modal 
∆1 = diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior. 
∆2 = diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior. 
c = amplitude ou tamanho da classe modal 
 
EXEMPLO: 
Calcular o salário modal a partir da distribuição de frequência dos 40 funcionários de uma empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O intervalo de salários de 800 a 1000 reais é considerado a classe modal, pois é o intervalo que tem a maior 
frequência de funcionários com estes salários. 
 
Utilizando a fórmula para cálculo da moda temos: 
 
𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + 
∆1
∆1 + ∆2
. 𝑐 = 800 + 
12
12 + 11
 . 200 = 904,35 → 𝑀𝑜 = 904,35 
 
O salário que mais se repete entre os funcionários é de R$904,35. 
 
 
Exercícios (Resolvidos em sala) 
1 - Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição: 
 
 
 
 Responda: 
a) Os dados são amostrais ou populacionais? 
b) A nota média 
c) A nota mediana 
d) A nota modal 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
2 3 4 5 6 7 8 9 10
N
º 
d
e 
al
u
n
o
s
Notas
Salários (xi) Nº de Funcionários (fi) 
400 |-- 600 3 
600 |-- 800 8 
800 |-- 1000 20 
1000 | -- 1200 9 
Total 40 
136 
 
2 - Dada a seguinte distribuição de frequência calcule a média aritmética, mediana e moda. 
 
Notas 0 |-- 2 2|-- 4 4 |-- 6 6|-- 8 8|--10 Total 
Nº de alunos 6 11 8 12 5 45 
 
 
 
3 - Num determinado processo de fabricação foram feitas 50 observações de uma característica de 
qualidade de um tipo de peça, resultando nas seguintes medidas de diâmetro em milímetros. 
 
Calcule o diâmetro médio e o mediano das peças. 
 
 
2.4 – Medidas Separatrizes 
As medidas de separatrizes têm o objetivo de auxiliar na interpretação dos dados tornando possível 
a interpretação de uma distribuição de frequência de forma fracionada. 
São as medidas que separam o rol ou a distribuição de frequências em partes iguais. Vimos que a mediana 
divide a distribuição em duas partes iguais quanto ao número de elementos de cada parte. 
Agora vamos estudar outras medidas que dividem a distribuição em partes iguais, de forma fracionada, que 
serão as chamadas separatrizes. São elas: 
 
2.4.1 Quartis (Qi) 
 
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim: 
 
 
Q1: 1º quartil. Deixa 25% dos elementos antes do seu valor 
Q2: 2º quartil. Deixa 50% dos elementos antes do seu valor. Coincide com a mediana 
Q3: 3º quartil. Deixa 75% dos elementos antes do seu valor. 
 
Genericamente, para determinar a ordem ou posição do quartil a ser calculado, usaremos a seguinte 
expressão: 
137 
 
 
𝑖. 𝑛
4
 
 
onde: i = número do quartil a ser calculado 
 n = número de observações. 
 
Para dados agrupados em classes, encontraremos os quartis de maneira semelhante à usada para o cálculo 
da mediana: 
𝑸𝒊 = 𝒍𝒊 + 
(
𝒊. 𝒏
𝟒
− 𝑭(𝒂𝒏𝒕)) . 𝒄
𝒇𝒊
 
Onde: 
li = limite inferior da classe que contém o quartil desejado 
c = amplitude do intervalo de classe 
F(ant) = frequência acumulada até a classe anterior à classe quartílica. 
fi = frequência absoluta simples da classe quartílica. 
 
 
2.4.1.1 Diagrama de Caixa ou BOX-PLOT 
 
 
O boxplot (gráfico de caixa) é um gráfico utilizado para avaliar a distribuição empírica do dados. O 
boxplot é formado pelo primeiro e terceiro quartil e pela mediana. As hastes inferiores e superiores se 
estendem, respectivamente, do quartil inferior até o menor valor não inferior ao limite inferior e do quartil 
superior até o maior valor não superior ao limite superior. 
Para este caso, os pontos fora destes limites são considerados valores discrepantes (outliers) e são denotados 
por asterisco (*). 
 
 
 
http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/23-outras-estatisticas-descritivas#quartis
http://www.portalaction.com.br/estatistica-basica/21-medidas-de-posicao#mediana
138 
 
 
 A escala de medida da variável encontra-se na linha horizontal do quadro onde está inserida a 
figura. 
 Observe que 50% da distribuição têm valores dentro da caixa. 
 As linhas horizontais que saem da caixa terminam nos limites inferior (LI) e superior (LS) da 
distribuição. Entre esses limites encontram-se os valores considerados como típicos da distribuição. 
 Esses limites são determinados em função da distância entre os dois quartis (Q3 e Q1), isto é, do 
desvio inter-quartílico: DQ = Q3 – Q1. 
 
 
 
2.4.2 Centil ou Percentil(Ci): 
 
São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. Assim: 
 
 
 
O elemento que definirá a ordem do centil será encontrado pelo emprego da expressão: 
 
𝑖. 𝑛
100
 
 
onde: 
i = número identificador do centil 
n = número total de observações 
 
Para dados agrupados em classes, encontraremos os centis de maneira semelhante à utilizada para cálculo 
da mediana, dos quartis. 
 
𝑪𝒊 = 𝒍𝒊 + 
(
𝒊. 𝒏
𝟏𝟎𝟎 − 𝑭(𝒂𝒏𝒕)) . 𝒄
𝒇𝒊
 
 
Onde: li = limite inferior da classe que contém o centil desejado 
c = amplitude do intervalo de classe 
F(ant) = frequência acumulada até a classe anterior à classe centílica. 
fi = frequência absoluta simples da classe centílica. 
 
Exemplo: A tabela abaixo refere-se a quantidade de negócios efetuados diariamente por uma instituição 
financeira. Calcular o 3º quartil. 
 
Quantidade de neg/dia fi Fi 
11 2 2 
12 5 7 
13 6 13 
14 8 21 
15 3 24 
16 2 26 
 
139 
 
Calculando o terceiro quartil do exemplo acima: 
 
Passo 1) Identificar a posição do terceiro quartil 
𝑖 ∗ 𝑛
4
= 
3 ∗ 26
4
= 19,5 ≅ 20 
 
Portanto, a posição do quartil de ordem 3 é = 20. 
Passo 2) Encontrando o valor do quartil 
𝑄3 = 𝑋3∗26
4
 = 𝑋19,5 ≅ 𝑋20 = 14 
 
O valor 14 está na posição 20 da tabela de distribuição de frequência. 
 
Interpretação: Em 75% dos dias foram realizadas até 14 negociações diariamente. 
 
 
 
Exemplo: Com base na tabela de distribuição do consumo médio de eletricidade (kw/hora) entre usuários 
em uma cidade X. Encontre o: 
 
a) Terceiro quartil; 
b) vigésimo quinto centil; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
a) Q3 
Encontrar a posição doterceiro quartil: 
3∗80
4
= 60 
 
O Q3 está localizado na 60ª posição, logo encontra-se na 5ª classe. Com base nesses dados, calcularemos Q3 
da seguinte forma: 
 
𝑸𝟑 = 𝒍𝒊 + 
(
𝒊. 𝒏
𝟒 − 𝑭(𝒂𝒏𝒕)) . 𝒄
𝒇𝒊
= 𝟖𝟓 + 
(
3 ∗ 80
4 − 50) ∗ 20
𝟏𝟒
 = 𝟖𝟓 + 𝟏𝟒, 𝟐𝟗 = 𝟗𝟗, 𝟐𝟗 
 
Consumo (Kwh) Nº de usuários (fi) Fi 
5 |-- 25 6 6 
25 |-- 45 4 10 
45 |-- 65 14 24 
65 |-- 85 26 50 
85 |-- 105 14 64 
105 |-- 125 7 71 
125 |-- 145 6 77 
145 |-- 165 3 80 
140 
 
Interpretação: 75% dos usuários consomem até 99,29 kwh. De maneira análoga, 25% dos usuários 
consomem mais de 99,29 kwh. 
 
 
b) C25 
 
Encontrar a posição do centil 25: 
25∗80
100
= 20 
 
O C25 está localizado na 20ª posição, logo se encontra na 3ª classe. Com base nesses dados, calcularemos 
C25 da seguinte forma: 
 
𝑪𝟐𝟓 = 𝒍𝒊 + 
(
𝒊. 𝒏
𝟏𝟎𝟎
− 𝑭(𝒂𝒏𝒕)) . 𝒄
𝒇𝒊
= 𝟒𝟓 + 
(
𝟐𝟓 ∗ 𝟖𝟎
𝟏𝟎𝟎
− 𝟏𝟎) ∗ 𝟐𝟎
𝟏𝟒
= 𝟒𝟓 + 𝟏𝟒, 𝟐𝟗 = 𝟓𝟗, 𝟐𝟗. 
 
Interpretação: 25% dos usuários consomem até 59,29 kwh. De maneira análoga, 75% dos usuários 
consomem mais de 59,29 kwh. 
 
 
 
EXERCÍCIOS (Resolvidos em sala) 
 
1 - Calcular os valores do Q1 e C75 da tabela seguinte: 
Tabela – Números de acidentes /mês no Cruzamento X em Vila Velha - ES 
N° de acidentes / mês 0 1 2 3 4 
fi 4 6 9 5 4 
Fonte: Dados Hipotéticos 
 
2 - Dada as seguinte distribuição de frequência calcule Q3 , C93. 
Salários (R$) fi 
 500  700 18 
 700  900 31 
900  1.100 15 
1.100  1.300 3 
1.300  1.500 1 
1.500  1.700 1 
1.700  1.900 1 
Total  = 70 
 
 
 
 
141 
 
3 – Calcule o número médio de acidentes, o número mediano de acidentes. Obtenha e interprete o 
octogésimo quinto centil dos seguintes dados: 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 02 
 
1- Calcule a média aritmética, mediana e moda para cada uma das distribuições abaixo: 
 
a) Pesos de recém-nascidos (em kg): 2.7; 3.9; 4.1; 4.3; 5.4 
b) Taxas sanguíneas de uréia (mg/dl): 27; 31; 32; 34; 46; 61 
c) Estatura de 140 alunos (em cm): 
 
 
2- Qual o número médio, mediano e o 3º quartil do número de atendimentos em serviço médico por 
funcionários de uma empresa, distribuídos na tabela abaixo: 
 
 
3- O salário-hora de cinco funcionários de uma companhia, são: R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00 
e R$88,00. Determine: 
 
a) a média dos salários-hora; 
b) o salário-hora mediano. 
 
 
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6 7
N
º 
d
e 
m
o
to
ri
st
as
Nº de acidentes
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4
N
º 
d
e 
fu
n
ci
o
n
ár
io
s
Nº de atendimentos
142 
 
 
4- Calcule a média ponderada, mediana, moda e o C80 das distribuições de frequência abaixo: 
a) b) 
 
 
5- Você fez dois trabalhos num semestre e obteve as notas 8,5 e 5,5. Qual deve ser a nota que você 
deve tirar no 3º trabalho para que a média dos três seja 7? 
 
6- Numa empresa, vinte operários têm salário de R$ 4.000,00 mensais; dez operários têm salário de R$ 
3.000,00 mensais e trinta têm salário de R$ 2.000,00 mensais. Qual é o salário médio desses 
operários? 
 
7- Qual a percentagem de valores que se localiza entre o ultimo quartil e o C81? 
 
8- Dados dois grupos de pessoas, o grupo A com 10 elementos e o grupo B com 40 elementos. Se o peso 
médio do grupo A for e 80kg e o grupo B for de 70kg então é verdade que o peso médio dos dois 
grupos considerados em conjunto é de 75kg? Justifique. 
 
9- Para um dado concurso, 60% dos candidatos eram do sexo masculino e obtiveram uma média de 70 
pontos em determinada prova. Sabendo-se que a média geral dos candidatos (independente do 
sexo) foi de 64 pontos, qual foi a média dos candidatos do sexo feminino? 
 
10- Dado o histograma abaixo, calcular a média, moda, mediana e o centil 70. 
 
 
 
 
11- O histograma abaixo representa os salários, em reais (R$) dos 100 empregados de uma empresa: 
 
 
143 
 
 
a) Que percentual de empregados recebem 8 salários ou mais? 
b) Quantos empregados recebem de 4 a 16 salários? 
c) Quantos empregados recebem menos que 4 salários ou mais que 12 salários? 
d) Qual o salário médio dos empregados? 
e) Qual o valor da mediana, e como você interpreta esse valor? 
f) Acima de que valor estão os 15 salários mais altos? 
g) Qual o maior salário entre os 14% mais baixos? 
 
 
 
 
UNIDADE III - MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
3.0 - Medidas de Dispersão 
Podemos definir dispersão (variabilidade) de um conjunto de dados como sendo a maior ou menor 
diversificação em torno de uma medida de tendência central. O objetivo das medidas de dispersão é medir 
quão próximos uns dos outros estão os valores de um grupo (e algumas mensuram a dispersão dos dados 
em torno de uma medida de posição). 
Exemplo 01: 
Em um processo seletivo, três candidatos estão concorrendo a uma vaga. Os candidatos realizaram vários 
testes e as notas obtidas foram registradas, o candidato escolhido será o que apresentar melhor desempenho 
no geral (notas mais homogêneas). Os resultados obtidos em cada um deles foram os seguintes: 
 Média 
A 5 10 7 15 14 12 4 7 10 11 9,5 
B 10 9 12 9 14 8 9 7 8 9 9,5 
C 10 10 9 10 9 9 10 11 7 10 9,5 
 
Qual informação é necessária para decidir qual o melhor candidato? 
Verificamos que a média dos três candidatos nos 10 testes é 9,5, ou seja, os três tem o mesmo rendimento. 
Por outro lado, vemos que existe significativa diferença nas distribuições das notas. Então, para decidir qual 
o melhor candidato analisamos a dispersão ou variabilidade das notas de cada candidato, para verificar qual 
apresenta média mais confiável. 
As medidas de dispersão podem ser absolutas ou relativas. A seguir apresentaremos as que são consideradas 
mais importantes. 
 
3.1 - MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA 
 
3.1.1 - Amplitude Total (intervalo) 
 
É a medida mais simples de dispersão. Consiste em identificar os valores extremos do conjunto (mínimo e 
máximo), podendo ser expresso: 
144 
 
- pela diferença entre o valor máximo e o mínimo; 𝑨𝑻 = 𝒙𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐 − 𝒙𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 
- pela simples identificação dos valores. [𝒙𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐; 𝒙𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐] 
Exemplo 02: Observe o conjunto abaixo, referente às notas de duas turmas de Estatística: 
 
 
Diagrama de Pontos das notas das turmas 
 
 
 
Desvantagem do uso do intervalo: 
Apesar de sua simplicidade o intervalo não dá ideia de como os dados estão agrupados entre os extremos. 
No caso acima ambos os grupos têm o mesmo intervalo (4, [4,8]), mas no primeiro grupo os dados estão bem 
dispersos, enquanto no primeiro estão próximos do valor mínimo. 
 
3.1.2 - Desvio (di) 
Diferença entre o valor observado xi e a média (x) das observações. 
 
Exemplo 03: Dados os conjuntos: X = 4; 6; 4; 6; 5; 5 
 Y = 9; 1; 5; 5; 1; 9 
 Média dos conjuntos �̅� = 5 𝑒 �̅� = 5 
 Desvios em relação a média são: 
𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − �̅� = { -1, 1, -1, 1, 0, 0} 
𝑑𝑖 = 𝑦𝑖 − �̅� = { 4, -4, 0, 0, -4, 4} 
 
Se os desvios tem valores relativamente pequenos (conjunto X), os dados tem pouca dispersão. Se, ao 
contrário, os desvios têm valores relativamente grandes como no caso do conjunto Y, a dispersão é maior. 
O conjunto com menor média dos desvios terá menos dispersão. 
145 
 
OBS: 
 
3.1.3 - Desvio Médio (Dm) 
 
 É a média dos desvios em seus valores absolutos. 
 
 
Exemplo 04: Desvios médios dos conjuntos X e Y. 
di = xi - x = { -1, 1, -1, 1, 0, 0} 
di = yi - y = { 4, -4, 0, 0, -4, 4} 
 
 
 
 
O desvio médio do conjunto X é menor que o desvio médio do conjunto Y. 
 
3.1.4 - Variância (σ² ou s²) 
A variância é uma das medidas de dispersão mais importantes, pois proporciona uma mensuração 
da dispersão dos dados em torno da média. 
Para calcularmos a variância devemos considerar os desvios de cada valor em relação à média. Como 
estamos interessadosnos tamanhos dos desvios e não no fato deles serem positivos e negativos trabalhamos 
com os desvios ao quadrado. Tomamos a média aritmética dos desvios ao quadrado, obtemos a variância. 
 
 População Amostra 
Dados 
Simples 
 
 
𝝈𝟐 = 
∑(𝒙𝒊 − 𝝁)
𝟐 
𝑵
 
Ou 
𝝈𝟐 = 
∑ 𝒙𝒊
𝟐 − 𝒏𝝁²
𝑵
 
𝑺𝟐 = 
∑(𝒙𝒊 − �̅�)
𝟐 
𝒏 − 𝟏
 
Ou 
𝑺𝟐 =
∑ 𝒙𝒊
𝟐 − 𝒏�̅�𝟐
𝒏 − 𝟏
 
146 
 
Tabelas 
𝝈𝟐 =
∑(𝒙𝒊 − 𝝁)
𝟐 ∗ 𝒇𝒊
𝑵
 
Ou 
𝝈𝟐 =
∑ 𝒙𝒊
𝟐𝒇𝒊 − 𝒏𝝁²
𝑵
 
𝑺𝟐 =
∑(𝒙𝒊 − �̅�)
𝟐 ∗ 𝒇𝒊
𝒏 − 𝟏
 
Ou 
𝑺𝟐 = 
∑ 𝒙𝒊
𝟐𝒇𝒊 − 𝒏�̅�
𝟐
𝒏 − 𝟏
 
 
 A unidade de medida da variância equivale à unidade dos dados ao quadrado (e portanto o quadrado da 
unidade da média) causando dificuldades para avaliar a dispersão. Para retornarmos a unidade original dos 
dados tiramos a raiz quadrada da variância obtendo assim o desvio padrão. 
 
3.1.5 - Desvio Padrão (s ou σ) 
 
É a raiz quadrada positiva da variância, apresentando a mesma unidade dos dados e da média, 
permitindo avaliar melhor a dispersão. 
Dados simples: 
𝑺 = √
∑(𝒙𝒊 − �̅�)
𝟐 
𝒏 − 𝟏
 = √
∑ 𝒙𝒊
𝟐 − 𝒏�̅�𝟐
𝒏 − 𝟏
 
Tabelas: 
𝑺 = √
∑(𝒙𝒊 − �̅�)
𝟐 ∗ 𝒇𝒊 
𝒏 − 𝟏
 = √
∑ 𝒙𝒊
𝟐𝒇𝒊 − 𝒏�̅�
𝟐
𝒏 − 𝟏
 
 
OBS: se os dados referem-se a uma POPULAÇÃO usa-se N no denominador da expressão e o símbolo σ. 
 
- Quanto maior o desvio padrão, maior a dispersão dos dados em torno da média. 
 
Exemplo 06: A tabela abaixo refere-se às notas dos candidatos do exemplo 1. 
 Média 
A 5 10 7 15 14 12 4 7 10 11 9,5 
B 10 9 12 9 14 8 9 7 8 9 9,5 
C 10 10 9 10 9 9 10 11 7 10 9,5 
 
Candidato A: 
𝝈𝟐 =
∑(𝒙𝒊 − 𝝁)
𝟐 
𝑵
= 
(𝟓 − 𝟗, 𝟓)𝟐 + (𝟏𝟎 − 𝟗, 𝟓)𝟐 + (𝟕 − 𝟗, 𝟓)𝟐 + ⋯ + (𝟏𝟏 − 𝟗, 𝟓)²
𝟏𝟎
= 𝟏𝟐, 𝟑 
147 
 
𝝈 = √𝝈² = √
∑(𝒙𝒊 − 𝝁)
𝟐 
𝑵
= √𝟏𝟐, 𝟑 = 𝟑, 𝟓 
 
Candidato B: 
𝝈𝟐 =
∑(𝒙𝒊 − 𝝁)
𝟐 
𝑵
= 
(𝟏𝟎 − 𝟗, 𝟓)𝟐 + (𝟗 − 𝟗, 𝟓)𝟐 + (𝟏𝟐 − 𝟗, 𝟓)𝟐 + ⋯ + (𝟗 − 𝟗, 𝟓)²
𝟏𝟎
= 𝟑, 𝟗 
𝝈 = √𝝈² = √
∑(𝒙𝒊 − 𝝁)
𝟐 
𝑵
= √𝟑, 𝟗 = 𝟐, 𝟎 
 
Candidato C: 
𝝈𝟐 =
∑(𝒙𝒊 − 𝝁)
𝟐 
𝑵
= 
(𝟏𝟎 − 𝟗, 𝟓)𝟐 + (𝟏𝟎 − 𝟗, 𝟓)𝟐 + (𝟗 − 𝟗, 𝟓)𝟐 + ⋯ + (𝟏𝟎 − 𝟗, 𝟓)²
𝟏𝟎
= 𝟏, 𝟏 
𝝈 = √𝝈² = √
∑(𝒙𝒊 − 𝝁)
𝟐 
𝑵
= √𝟏, 𝟏 = 𝟏, 𝟎 
 
Quanto maior a dispersão dos dados maior o valor do desvio padrão: 
- O candidato C é o que tem as notas mais homogêneas, pois apresenta o menor desvio padrão, 1,0. 
- O candidato A, apesar de apresentar notas altas, tem o maior desvio padrão (3,5), assim apresenta 
apresenta maior dispersão. 
 
Exemplo 07: Amostra da estatura de 40 funcionários em uma empresa (em cm) 
 
 
Média amostral: 
 
 
Variância: 
 
�̅� = 
∑ 𝒙𝒊 ∗ 𝒇𝒊 
𝒏
=
(𝟏𝟓𝟐 ∗ 𝟒) + (𝟏𝟓𝟔 ∗ 𝟗) + ⋯ + (𝟏𝟕𝟐 ∗ 𝟑)
𝟒𝟎
= 
𝟔𝟒𝟒𝟎
𝟒𝟎
= 𝟏𝟔𝟏 𝒄𝒎 
𝑺𝟐 = 
∑(𝒙𝒊 − �̅�)
𝟐 ∗ 𝒇𝒊
𝒏 − 𝟏
=
(𝟏𝟓𝟐 − 𝟏𝟔𝟏)𝟐 ∗ 𝟒 + ⋯ + (𝟏𝟕𝟐 − 𝟏𝟔𝟏)𝟐 ∗ 𝟑
𝟑𝟗
= 
𝟏𝟐𝟒𝟎
𝟑𝟗
= 𝟑𝟏, 𝟕𝟗𝒄𝒎² 
148 
 
 
Desvio padrão: 
 
 
 
PROPRIEDADES DO DESVIO PADRÃO 
1. O desvio-padrão é sempre não negativo 
2. Quanto maior for o desvio-padrão maior será a dispersão dos dados em relação 
à média. 
3. Se o desvio-padrão é igual a zero é porque não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais. 
 
• Propriedade da Soma 
Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se 
altera. 
Média: 𝑋 = { 1, 3, 5, 7, 9}, �̅� = 5 
 
Variância: 𝑆2 = 
∑ (𝑥𝑖−�̅�)²
𝑛
1
𝑛−1
= 
(1−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(9−5)²
4
= 10 
 
Desvio Padrão: 𝑆 = √𝑆² = √10 ≅ 3,2 
 
Se somarmos a constante 2 a cada observação, teremos: 
 
𝑆2 = 
∑ [(𝑥𝑖 + 2) − (�̅� + 2)]²
𝑛
1
𝑛 − 1
=
∑ [(𝑥𝑖 + 2 − �̅� − 2)]²
𝑛
1
𝑛 − 1
=
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)²
𝑛
1
𝑛 − 1
 
S2 =
(1 − 5)2 + (3 − 5)2 + (5 − 5)2 + (7 − 5)2 + (9 − 5)²
4
= 10 
 
Ou seja, a variância não se altera. Portanto, o desvio padrão permanece o mesmo. 
 
• Propriedade da Multiplicação 
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), 
o desvio padrão fica multiplicado ou dividido por este valor. 
Se multiplicarmos as observações por 2, teremos: 
 
𝑆2 = 
∑[(2𝑥𝑖 − 2�̅�)]²
𝑛 − 1
=
∑ 2²[(𝑥𝑖 − �̅�)]²
𝑛 − 1
=
2² ∑[(𝑥𝑖 − �̅�)]²
𝑛 − 1
= 22 ∗ 10 = 40 
 
𝑺 = √𝑺𝟐 = √𝟑𝟏, 𝟕𝟗 = 𝟓, 𝟔𝟑 𝒄𝒎 
149 
 
Ou seja, a variância será multiplicada pelo quadrado da constante que multiplicou os valores da variável. 
Portanto, o desvio será multiplicado pela própria constante: 
 
 𝑆 = √22𝑆² = √4 ∗ 10 ≅ 2 ∗ 3,2 = 6,4 
 
3.2 - MEDIDA DE DISPERSÃO RELATIVA 
 
3.2.1 - Coeficiente de Variação Percentual (c.v. %) 
 
O coeficiente de variação percentual é uma medida de dispersão relativa, pois permite comparar a 
dispersão de diferentes distribuições (com diferentes médias e desvios padrões). 
 
Onde é a média e s é o desvio padrão do conjunto de dados. 
Quanto menor o valor do C.V.% mais os dados estão concentrados em torno da média (conjunto mais 
homogêneo). 
 
Exemplo 07: Usando os dados dos candidatos do exemplo 1, temos: 
Candidato Média Desvio padrão 
A 9,5 3,5 
B 9,5 2,0 
C 9,5 1,0 
 
Qual é o mais homogêneo em termos de notas. 
𝑪. 𝑽 %𝑨 = 
𝟑, 𝟓
𝟗, 𝟓
∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟑𝟔, 𝟖% 
𝑪. 𝑽 %𝑩 = 
𝟐, 𝟎
𝟗, 𝟓
∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟏, 𝟎% 
𝑪. 𝑽 %𝑪 = 
𝟏, 𝟎
𝟗, 𝟓
∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎, 𝟓% 
 
Classificação do Coeficiente de Variação: 
150 
 
 
Ou seja, 
0 % ≤ CV ≤ 20% → Dispersão baixa (média boa como medida de resumo). 
20% < CV ≤ 30% → Dispersão moderada (média razoável como medida de resumo). 
CV > 30% → Dispersão alta (média ruim como medida de resumo). 
 
EXERCÍCIOS (Resolvidos em sala) 
 
Exercício 1 – Um exame físico examinou 6 indivíduos cujos pesos (kg) foram: 68; 70; 86; 55; 75 e 90. No 
mesmo exame, foram também tomadas medidas de altura (cm), com seguintes valores: 170; 160; 164; 164; 
170 e 180. Os indivíduos apresentam maior variabilidade no peso ou altura? 
 
Exercício 2 - Uma variável X tem média igual a 10 e variância igual a 16. Calcule a média e a variância da 
variável dada por Y = (3X + 5) / 2. 
 
Exercício 3 - Dado o polígono de frequências para as profundidades de poços de petróleo (metros), avalie a 
dispersão dos dados em torno da média. 
 
 
 
 
 
 
 
151 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 03 
 
 
1) Um departamento de produção usa um procedimento de amostragem para testar a qualidade de itens 
recém-produzidos. O departamento emprega a seguinte regra de decisão em uma estação de inspeção: se 
uma amostra de 25 itens tem uma variância de mais que 0,15, a linha de produção precisa ser paralisada 
para reparos. Suponha que os seguintes dados tenham sido coletados: 
Dados fi 
3,4 |--3,8 4 
3,8 |--4,2 6 
4,2 |--4,6 10 
4,6 |--5,0 3 
5,0 |--5,4 2 
Total 25 
Pede-se: 
 a) A linha de produção deve ser paralisada? Por quê? 
 b) A média e uma boa medida de resumo para o conjunto de dados? Explique pela dispersão 
relativa(CV) dos dados. 
 c) Estime a menor medida entre as 25% maiores. 
 
2) Duas turmas A e B com nA = 50 e nB = 80 apresentaram médias �̅�𝐴 = 65 e �̅�𝐵 = 70e variâncias 𝑠𝐴
2 =
225 e 𝑠𝐵
2 = 235. Qual é a turma mais homogênea? 
 
3) O tempo de “ignição fria” de um motor de carro está sendo investigado por um fabricante de gasolina. 
Os seguintes tempo (em segundos) foram obtidos em um veículo de teste: 1,75; 1,92; 2,62; 2,35; 3,09; 3,15; 
2,52 e 1,90. O que podemos dizer sobre a qualidade da média levando-se em consideração a dispersão dos 
dados? 
 
4) Dados os histogramas de duas amostras de preços de um produto em regiões distintas, pede-se: 
 
a) Calcular e comparar os preços médios do produto. 
b) Qual região apresenta menor centil 75 (C75). 
c) Qual região é mais heterogênea em relação aos preços do produto? 
 
 
152 
 
5) Uma indústria deseja comprar uma máquina para melhorar o desempenho de sua produção.Como opção, 
o engenheiro responsável deve avaliar duas marcas e decidir qual das duas comprar. As máquinas foram 
então testadas e os tempos de execução são dados abaixo. 
Máquina Z: 25 24 25 22 23 24 23 27 22 26 
Máquina W: 29 23 28 27 26 24 24 28 23 28 
a) Encontre a média amostral e o desvio padrão amostral para o tempo de execução de cada 
máquina. 
b) Suponha que você seja o responsável de dar o parecer. Baseado na dispersão qual das duas 
escolheria? Justifique. 
 
6) Dado o gráfico abaixo, pede-se: 
 
a) Construir uma tabela de distribuição de frequências? 
b) Podemos dizer que 50% dos aumentos estão abaixo de que percentual? 
c) Qual a classe de variação com maior frequência? 
d) Qual o aumento médio durante estes dois anos? 
e) Qual a proporção de aumentos entre 4% e 8,0%? 
f) Avalie a dispersão dos percentuais de aumento do dólar. 
 
7) Os conjuntos de dados abaixo referem-se a observações dos preços de um produto em todos os 
estabelecimentos de seu comércio, em duas grandes cidades: 
Cidade A: Cidade B: 
2,0 2,5 2,8 2,8 2,5 2,6 2,6 2,4 2,4 2,0 
2,3 2,5 2,6 2,4 2,8 2,8 2,5 1,7 1,9 1,8 
1,8 2,2 2,0 2,8 2,5 3,2 2,5 2,1 2,3 2,4 
 
a) Em média, qual cidade apresenta maior preço do produto? 
b) Qual cidade apresenta preços mais homogêneos? 
 
8) Considere os seguintes dados amostrais (conjunto de peças, em gramas): 
 105 – 110 – 102 – 103 – 107 – 105 – 90 – 80 
 
Pede-se: 
153 
 
 a) A média, a mediana, a moda, o desvio médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de 
variação. 
b) Os dados possuem pequena dispersão? Por quê? 
c) Somar 100 de cada observação para obter uma amostra com valores transformados e calcule a 
média, a variância. (Compare essa variância com os dados originais). 
 
 
09) A idade média dos candidatos a um determinado curso de aperfeiçoamento sempre foi baixa, da ordem 
de 22 anos. Como esse curso foi planejado para atender a todas as idades, decidiu-se fazer uma campanha 
de divulgação. Para se verificar se a campanha foi ou não eficiente, fez-se um levantamento (amostra) da 
idade de candidatos à última promoção, e os resultados estão na tabela a seguir. 
Idade 18 |-- 21 21 |-- 24 24 |-- 27 27 |-- 30 30 |-- 33 Total 
Nº de 
candidatos 
18 12 10 8 2 50 
 
a) Baseando-se nesses resultados, você diria que a campanha produziu algum efeito (isto é, aumentou 
a média)? 
 
b) Um outro pesquisador decidiu usar a seguinte regra: se a diferença x̅ − 22 fosse maior que o valor 
2 SX/√n, então a campanha teria surtido efeito. Qual a conclusão dele, baseado nos dados? 
 
c) O que podemos dizer sobre a qualidade da média de idade levando-se em consideração a dispersão 
dos dados? 
 
d) Acima de que valor de idade estão os 5 candidatos mais velhos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
154 
 
UNIDADE IV - PROBABILIDADE 
 
4.0 – INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE 
 
Normalmente é impossível identificar com certeza o resultado de um evento futuro: 
• De qual sexo será o primeiro filho de determinado casal; 
• Qual lado da moeda vai sair; 
• Com quantos anos determinada pessoa vai morrer; 
• Quais os números que serão sorteados na loteria; 
Usando a teoria da probabilidade, é possível quantificar a chance de um evento futuro ocorrer com base em 
informações obtidas de eventos passados. 
 
4.1 - CONCEITOS IMPORTANTES 
 
Experimentos Aleatórios 
 Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições, produzem diferentes resultados (Jogar um 
dado numa superfície plana; Retirar uma carta de baralho; Lançar uma moeda). 
Espaço Amostral 
 O conjunto de resultados possíveis, relacionado a um experimento, é denominado espaço amostral. 
E representamos pela letra grega Ω. 
Exemplos: 
 Lançamento de um dado (existem 6 resultados possíveis) 
 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Retirar uma carta de um baralho (existem 52 resultados possíveis) 
 Ω = {Ás de copas, Ás de ouros,..., Reis de paus, Rei de espada} 
 
Evento 
 Um evento pode ser referido a um único resultado, ou a um subconjunto de resultados, pertencente à 
um espaço amostral; 
Exemplo: 
 Lançamento de um dado: 
 E1= sair face 5 
 E2= sair um valor menor do que 3. 
 Retirar uma carta de um baralho: 
155 
 
 E1= sair um 5 de paus. 
 E2= sair uma carta de espadas; 
 
EXEMPLO 01: Lançam-se dois dados e observa-se as faces superiores. 
Vamos imaginar como seria o espaço amostral neste caso. Ao lançar dois dados, temos então os seguintes 
resultados que podem ocorrer como resultados deste lançamento: 
 
 
Podemos determinar o espaço amostral do experimento através do diagrama de árvore, útil para resolução 
de problemas que serão vistos futuramente: 
 
 
Podemos observar os seguintes eventos: 
A: Saída de faces iguais; 
 A = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. 
156 
 
 
B: Saída de faces cuja soma seja igual a 10; 
 B = { (4, 6), (5, 5), (6, 4)}. 
C: Saída de faces cuja soma seja menor que 2; 
C = Ø 
Isto quer dizer que temos um evento chamado Evento Vazio ou Evento impossível. 
 
D: Saída de faces cuja soma seja menor que 13; 
 D = Ω 
 
E: Saída de faces onde uma face é o dobro da outra. 
 E = { (1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 6), (4, 2), (6, 3)}. 
 
 
4.2 - DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
• Definição clássica: 
 A probabilidade de um evento é a divisão do número de resultados favoráveis pelo número de 
resultados possíveis. 
𝑷(𝑨) =
𝑵º 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒊𝒓𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝑨 𝒑𝒐𝒅𝒆 𝒐𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒓
𝑵º 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔í𝒗𝒆𝒊𝒔 𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
 
 
• Definição frequentista: 
 Se repetir um experimento um grande número de vezes a probabilidade pela frequência relativa de 
um evento tende para probabilidade, está dada por: 
𝑷(𝑨) =
𝒎
𝒏
 
onde m é o número de vezes que é observado A e n é o número de repetições do experimento. 
 
Quando temos um espaço amostral finito em que todos os pontos amostrais têm a mesma probabilidade 
1/n, não é necessário explicitar completamente Ω e A. Nesse caso, são usado os métodos clássicos de 
contagem da análise combinatória. Um princípio fundamental de contagem diz que, se uma tarefa pode ser 
executada em duas etapas, a primeira podendo ser realizada de p maneiras e a segunda de q maneiras, então, 
a tarefa completa pode ser executada de p.q maneiras. Esse é o princípio multiplicativo. 
 
EXEMPLO 02: E: Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas 
 B: Extrair um ás 
157 
 
“Bem misturado” significa que qualquer carta tem a mesma chance de ser extraída. Como há s = 4 ases entre 
as n = 52 cartas, a probabilidade é dada por: 
𝑃(𝐵) = 
𝑛º 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠 à𝑠
𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
= 
𝑠
𝑛
= 
4
52
= 
1
13
 
 
 EXEMPLO 03: Em um estudo para verificar a probabilidade dos indivíduos da cidade X apresentarem Rh- ou 
+, em seus tipos sanguíneos, foram coletadas informações de 820 indivíduos. 
• Os resultados foram: Rh negativo – 83 indivíduos 
 Rh positivo – 737 indivíduos 
Evento A = o indivíduo apresentar Rh – em seu tipo sanguíneo; 
𝑃(𝐴) = 
83
820
= 0,1012 
Evento B = o indivíduo apresentar Rh + em seu tipo sanguíneo; 
𝑃(𝐵) = 
737
820
= 0,8988 
 
EXEMPLO 04: Os registros de uma companhia de aviação mostram que durante certo tempo 468 dentre 600 
de seus jatos da linha Vitória-Rio chegaram no horário, qual a probabilidade de que um avião daquela linha 
chegue no horário? 
Nº de jatos que chegaram no horário: 468 
Nº total de jatos: 600 
𝑃(𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜) = 
𝑁º 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑗𝑎𝑡𝑜𝑠
 
 = 
468
600
= 0,78 = 78% 
Lei dos grandes números:“Se repete-se um experimento um grande número de vezes a probabilidade pela 
frequência relativa de um evento tende para probabilidade teórica”. 
 
Propriedades da Probabilidade: 
• 0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A. 
• P(Ω) = 1 
• Se �̅� é o complemento do evento A, então 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐴) 
• Dois eventos A e B, são mutuamente exclusivos se possuem interseção vazia, a probabilidade deles 
ocorrerem simultaneamente é nula. Isto é 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ 
• Teorema da soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 
 
158 
 
Operações com Eventos 
• A UNIÃO de dois eventos é denotadas por: (𝐴 ∪ 𝐵) 
• A INTERSECÇÃO entre dois eventos é denotadas por: (𝐴 ∩ 𝐵) 
• O COMPLEMENTAR do evento A, denotado por Ac ou �̅� , é o evento que ocorre quando A não ocorre; 
 
ILUSTRAÇÂO DAS PROPRIEDADES 
 
 (𝑨 ∪ 𝑩) (𝑨 ∩ 𝑩) Ac 
 
 
Teorema da soma: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos 
Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que jamais podem ocorrer ao mesmo tempo. 
 
• Exemplo: 
Lançamento de um dado: A = sair 2; B= sair um valor maior do que 4. 
 
 
159 
 
Representação (Eventos Mutuamente Exclusivos) 
 
 
 
 
EXEMPLO 05 – Tipo sanguíneo 
Usando os dados do exemplo 03, os eventos A e B são mutuamente exclusivos, já que um indivíduo não pode 
apresentar Rh- e Rh+, em seu tipo sanguíneo, ao mesmo tempo; 
𝑃(𝐴) = 
83
820
= 0,1012 
𝑃(𝐵) = 
737
820
= 0,8988 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 0,1012 + 0,8988 = 1 
𝐴c = B 
𝐵c = A 
 
EXEMPLO 06: A tabela a seguir apresenta dados relativos à distribuição de sexo e alfabetização em 
habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos. 
 
 
Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso em Sergipe, calculamos as probabilidades das seguintes 
maneiras: 
Ω : conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com idade entre 20 e 24 anos. 
M: jovem sorteado é do sexo masculino; 
F: jovem sorteado é do sexo feminino; 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
160 
 
S: jovem sorteado é alfabetizado; 
N: jovem sorteado não é alfabetizado. 
 
Temos, 
𝑃(𝑀) = 
48.249
101.850
= 0,474 𝑃(𝐹) = 
53.601
101.850
= 0,526 
𝑃(𝑆) = 
85.881
101.850
= 0,843 𝑃(𝑀) = 
15.696
101.850
= 0,157 
 
 𝑀 ∩ 𝑆: 𝑗𝑜𝑣𝑒𝑚 é 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑥𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑐𝑢𝑙𝑖𝑛𝑜 
𝑃(𝑀 ∩ 𝑆) = 
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑀 ∩ 𝑆
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 Ω
= 
39577
101850
= 0,389 
 
 𝑀 ∩ 𝑆: 𝑗𝑜𝑣𝑒𝑚 é 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑢 é 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑥𝑜 𝑚𝑎𝑠𝑐𝑢𝑙𝑖𝑛𝑜 
𝑃(𝑀 ∪ 𝑆) = 
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑀 ∪ 𝑆
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑚 Ω
= 
39577
101850
= 0,389 
 
= 
85881 + 48249 − 39577
101850
= 0,928 
 
 
EXERCÍCIOS (Resolvidos em sala) 
 
Questão 01: Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças, relação ao sexo 
das mesmas, segundo ordem de nascimento. Determinar o espaço amostral e enumerar os seguintes 
eventos: 
a) A ocorrência de dois filhos do sexo masculino; 
b) A ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino; 
c) A ocorrência de no máximo duas crianças do sexo masculino. 
 
Questão 02: Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral “traduza” para a linguagem da teoria 
dos conjuntos, as seguintes situações: 
 
a) Pelo menos um dos eventos ocorre; 
b) O evento A ocorre, mas B não ocorre; 
c) Nenhum deles ocorre; 
161 
 
Questão 03: Em uma universidade,2000 estudantes do curso de medicina, em determinado ano, foram 
classificados de acordo com o tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 260 estudantes, natação 
por 185 estudantes e musculação por 210 estudantes, sendo que alguns praticam mais de um desses 
esportes. Assim, tem-se 42 estudantes que praticam natação e musculação, 12 futebol e musculação, 18 
futebol e natação e 3 praticam as três modalidades. Se um desses estudantes é sorteado ao acaso, qual é a 
probabilidade de: 
a) Praticar somente musculação; 
b) Praticar pelo menos um destes esportes; 
c) Praticar pelo menos dois destes esportes; 
d) Não praticar nenhum destes esportes. 
 
 
Questão 04: Três cavalos A, B, C estão numa corrida. Sabe-se que A é duas vezes mais provável de ganhar 
que B e esse é duas vezes mais do que C. Determinar as probabilidades de ganhar dos cavalos A, B e C. 
 
Questão 05: Supor uma classe onde três alunos são considerados com capacidade de liderança, 16 não tem 
essa capacidade e dois são não-classificáveis. Escolhendo-se um aluno ao acaso, qual será a probabilidade de 
esse aluno ter capacidade de liderança ou ser não-classificável. 
Questão 06: Suponha que em um lote com 20 animais existem 5 doentes. Escolhem-se 4 animais do lote ao 
acaso, isto é, uma amostra de 4 elementos, de modo que a ordem dos elementos seja irrelevante. 
Considerando o evento E: 2 doentes na amostra, calcular P(E). 
Questão 07: O jogo da Megasena consiste em escolher 6 dezenas dentre as 60 dezenas (01, 02,..., 60). Qual 
a probabilidade de um jogador ganhar o prêmio máximo com um único jogo de 6 dezenas? E com um único 
jogo de 15 dezenas? 
 
 
4.3 - PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
É a probabilidade de ocorrência de um evento submetida a ocorrência de um outro evento. 
Muitas vezes existe o interesse em determinar a probabilidade de um evento B, dado que já se conhece o 
resultado de um evento A; 
Exemplo: 
• Num experimento em que um dado é lançado duas vezes, sabe-se que a soma dos dois resultados 
vale 9. Qual a probabilidade de que o primeiro resultado tenha sido 6? 
• a probabilidade de uma pessoa ser hipertensa varia segundo o estado nutricional dela. Os obesos 
têm maior probabilidade de hipertensão comparados com os não obesos. 
 
A notação é: P(A|B) e se lê da seguinte maneira: Probabilidade de ocorrer o evento “A” dado que ocorreu o 
evento “B”. 
Neste caso, a ocorrência do evento “B” é um fato. Não existe incerteza a esse respeito. A incerteza está 
restrita à ocorrência do evento “A”. 
162 
 
Expressão formal da probabilidade condicional: 
 
𝑷(𝑨|𝑩) = 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑩)
 
𝑷(𝑩|𝑨) = 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷(𝑨)
 
 
 
 
Exemplo 07: Os dados abaixo se referem a 200 alunos matriculados em determinado Instituto de 
matemática, de acordo com o sexo e o curso: 
 Masculino Feminino Total 
Matemática Pura 60 50 110 
Estatística 80 10 90 
Total 140 60 200 
 
Sejam os eventos: A = {aluno faz matemática pura} 
 E = {aluno faz estatística} 
 M = {aluno é do sexo masculino} 
 F = {aluno é do sexo feminino} 
 
Qual seria a probabilidade de uma pessoa aleatoriamente escolhida: 
a) Estar matriculada em matemática pura? 
 
𝑷(𝑨) = 
𝑵𝑪𝑭
𝑵𝑪𝑷
= 
𝟏𝟏𝟎
𝟐𝟎𝟎
 
 
 
b) Estar matriculada em matemática pura, dado ser homem? 
𝑷(𝑨|𝑴) = 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑴)
𝑷(𝑴)
= 
 
𝟔𝟎
𝟐𝟎𝟎 
𝟏𝟒𝟎
𝟐𝟎𝟎
= 
𝟔𝟎
𝟏𝟒𝟎
 
 
c) Ser homem? 
 
𝑷(𝑴) = 
𝑵𝑪𝑭
𝑵𝑪𝑷
= 
𝟏𝟒𝟎
𝟐𝟎𝟎
 
 
 
d) Ser homem dado que está matriculado em estatística? 
 
163 
 
𝑷(𝑴|𝑬) = 
𝑷(𝑴 ∩ 𝑬)
𝑷(𝑬)
= 
 
𝟖𝟎
𝟐𝟎𝟎
 
𝟗𝟎
𝟐𝟎𝟎
= 
𝟖𝟎
𝟗𝟎
 
 
e) Estar matriculada em matemática pura, sabendo-se que é mulher? 
 
𝑷(𝑨|𝑭) = 
𝑷(𝑭 ∩ 𝑨)
𝑷(𝑭)
= 
 
𝟓𝟎
𝟐𝟎𝟎
 
𝟔𝟎
𝟐𝟎𝟎
= 
𝟓𝟎
𝟔𝟎
 
 
OBSERVAÇÃO: No caso de probabilidade condicionada, vários postulados da probabilidade são satisfeitos, 
isto é: 
 
1) 𝟎 ≤ 𝑷(𝑩|𝑨) ≤ 𝟏 
2) 𝑷(𝑺|𝑨) = 1 
3) 𝑷[(𝑩𝟏 ∪ 𝑩𝟐|𝑨) = 𝑷(𝑩𝟏|𝑨) + 𝑷(𝑩𝟐|𝑨) − 𝑷(𝑩𝟏 ∩ 𝑩𝟐|𝑨) 
OU 
 𝑷[(𝑩𝟏 ∪ 𝑩𝟐|𝑨) = 𝑷(𝑩𝟏|𝑨) + 𝑷(𝑩𝟐|𝑨) , se 𝑩𝟏 ∩ 𝑩𝟐 = ∅ 
 
 
4.4 - REGRA DO PRODUTO E INDEPENDÊNCIA ENTRE EVENTOS 
 
O produto de probabilidades está relacionado coma a intercessão de eventos. É aprobabilidade de 
ocorrerem os eventos “A” e “B” simultaneamente. 
Sai diretamente da probabilidade condicional: 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ) = 𝑷(𝑩|𝑨). 𝑷(𝑨) 
 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ) = 𝑷(𝑨|𝑩). 𝑷(𝑩) 
 
Essa regra é de grande utilidade na verificação de dependência entre eventos envolvidos. 
Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um não influencia na ocorrência ou 
não ocorrência do outro; 
Logo, se dois eventos, A e B, são INDEPENDENTES tem-se: 
 
P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B); 
 
Ou seja, P(A∩B) = P(A) x P(B) 
 
164 
 
OBS: os termos mutuamente exclusivos e independentes não são sinônimos; basta lembrar que eventos 
mutuamente exclusivos não possuem intersecção. 
 
Exemplo 08: Uma urna contém 2 bolas brancas (B) e 3 vermelhas (V). Suponha que sorteamos duas bolas ao 
acaso sem reposição. 
 a primeira retirada tem as seguintes probabilidades: 
P (B) = 2/5 e P (V) = 3/5 
 a segunda retirada terá probabilidades diferentes, de acordo com o que foi selecionado na primeira, 
portanto, terá as seguintes probabilidades: 
P (B|B) = 1/4 , P (B|V) = 2/ 4 , P (V|B) = 3/4 e P (V|V) = 2/4 
 
Essas probabilidades são representadas no diagrama a seguir. 
Diagrama em árvore para a extração de duas bolas de 
uma urna, sem reposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 As probabilidades conjuntas da primeira e segunda retirada: 
P(B, B) = P (B).P (B|B) = 2/5 × 1/4 = 2/20 
P(B, V) = P (B).P (V|B) = 2/5 × 3/4 = 6/20 
P(V, B) = P (V).P (B|V) = 3/5 × 2/4 = 6/20 
P(V, V) = P (V).P (V|V) = 3/5 × 2/4 = 6/20 
 
Exemplo 09: Uma urna contém 2 bolas brancas (B) e 3 vermelhas (V). Suponha que sorteamos duas bolas ao 
acaso com reposição. Nesse caso, as retiradas são independentes, ou seja, a primeira retirada não influencia 
nas possibilidades de resultados da segunda retirada. 
 a primeira retirada tem as seguintes probabilidades: 
P (B) = 2/5 e P (V) = 3/5 
 a primeira retirada tem as seguintes probabilidades: 
P (B|B) = 2/5 , P (B|V) = 2/5 , P (V|B) = 3/5 e P (V|V) = 3/5 
 
1/4 
B 
 
 
V 
B 
 
V 
B 
 
V 
2/5 
3/5 
3/4 
2/4 
2/4 
165 
 
Essas probabilidades são representadas no diagrama abaixo. 
Diagrama em árvore para a extração de duas bolas de 
uma urna, com reposição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que P(B|∗) = P(B) e P(V|∗) = P(V), Portanto: 
P(B, B) = P(B) P(B|B) = P(B) P(B) = 2/5 × 2/5 = 4/25 
P(B, V) = P(B) P(V|B) = P(B) P(V) = 2/5 × 3/5 = 6/25 
P(V, B) = P(V) P(B|V) = P(V) P(B) = 3/5 × 2/5 = 6/25 
P(V, V) = P(V) P(V|V) = P(V) P(V) = 3/5 × 3/5 = 9/25 
 
 
EXERCÍCIOS (Resolvidos em sala) 
 
Exercício 01: Considere as situações dadas abaixo. Identifique se os eventos são mutuamente exclusivos ou 
independentes. 
a) Evento A: O 1º filho de um casal ser menina; Evento B: O 2º filho de um casal ser menina. 
 
b) Evento A: João ter o tipo sanguíneo A; Evento B: João de determinada população ter o tipo sanguíneo 
O. 
 
c) Considere dois eventos, A e B, dado que P(A)= 0,8, P(B) = 0,5 e P(A ∩B) = 0,4. 
 
Exercício 02: A tabela a seguir mostra a relação entre dois sintomas que costumam aparecer em pessoas com 
uma determinada doença. A amostra está formada por 266 pessoas com a doença. 
 
2/5 
B 
 
 
V 
B 
 
V 
B 
 
V 
2/5 
3/5 
3/5 
2/5 
3/5 
166 
 
a) Qual a probabilidade de um paciente ter o sintoma A? 
 
b) Qual a probabilidade de um paciente, que tem o sintoma B, ter o sintoma A? 
 
Exercício 03: Em um estudo feito com 25 pessoas, foram coletadas informações sobre o estilo de vida de 
cada um (sedentário ou não) e sobre o peso de cada um (obeso ou não). Foi observado 8 pessoas obesas e 
12 sedentárias; dentre as 8 pessoas obesas, 6 foram classificadas como sedentárias. Qual a probabilidade de: 
a) Um indivíduo ser obeso ou sedentário; 
b) Um indivíduo ser sedentário e obeso; 
c) Um indivíduo ser sedentário dado que ele é obeso; 
d) Um indivíduo ser obeso dado que ele é sedentário; 
 
Exercício 04: Sejam A e B eventos com P(A) = ¼ , P(A U B) = 1/3 e P(B) = p. Encontre p nos seguintes casos: 
a) Se A e B são mutuamente exclusivos. 
 
b) Se A e B são independentes. 
 
 
4ª Lista de Exercícios - Probabilidade 
 
1. Em uma escola, as turmas A, B e C têm 40, 50 e 10 % do total de alunos de determinada série, 
respectivamente. Dos alunos de cada turma, 3, 5 e 2%, respectivamente, são reprovados. Escolhido ao 
acaso um aluno dessa série, pede-se: 
a) Qual a probabilidade de o aluno ser reprovado? (R: 0,039) 
b) Seleciona-se ao acaso um aluno dessa escola, sabendo-se que o aluno foi reprovado, qual a 
probabilidade de que ele seja da turma B? (R: 0,641) 
 
 
2. Suponha duas estações metereológicas A e B, em certa região. As observações mostraram que a 
probabilidade de chuva em A é 0,55 e em B é 0,4. A probabilidade de ocorrência de chuva simultânea 
nas duas regiões é 0,25. A partir destas informações, determine a probabilidade de: 
 
(a) Não ocorrer chuva em A; (R: 0,45) 
(b) Ocorrer chuva em pelo menos uma das duas regiões A ou B. (R: 0,70) 
 
3. Sejam P(A)=0,50, P(B)=0,40 e P(AB)=0,70. 
a) A e B são eventos mutuamente exclusivos? Por quê? 
b) A e B são eventos independentes? Por quê? 
c) Calcule P(A|B) e P(B|A). (R: 0,50 e 0,40) 
4. A probabilidade de um aluno A resolver uma questão de prova é de 0,8, enquanto que a do outro B 
resolvê-la é 0,6. Qual a probabilidade da questão ser resolvida se ambos tentam resolvê-la 
independentemente. (R: 0,92) 
 
 
167 
 
5. A firma X apresentou proposta para um projeto de construção. Se o principal concorrente apresentar 
proposta, há 25% de probabilidade da firma X ganhar a concorrência. Se a concorrente não apresentar 
proposta, há 2/3 de chances da firma X ganhar. A chance de a concorrente apresentar proposta é de 
60%. 
a) Qual a probabilidade da firma X ganhar a concorrência? (R: 0,4167) 
b) Se a firma X ganhou, qual a probabilidade de a concorrente ter apresentado proposta? (R: 0,36) 
 
6. De sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3 representantes. Qual a probabilidade de 
você fazer parte da comissão? (R: 1/10) 
 
7. Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comissão, qual a 
probabilidade de que essa comissão seja formada por 2 homens e 1 mulher? (R: 27/56) 
 
8. A probabilidade de fechamento de cada relê do circuito apresentado abaixo é dada por p. Se todos os 
relês funcionarem independentemente qual será a probabilidade de que haja corrente entre os 
terminais L e R? (R: 2p²-p4 ) 
 
9. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou um prato à base 
de carne. Considere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferem a salada, 30% das mulheres 
escolhem carne, 75% dos fregueses são homens e os seguintes eventos: 
H: freguês é homem A: freguês prefere salada 
M: freguês é mulher B: freguês prefere carne. 
Para um freguês sorteado ao acaso desse restaurante, calcule: 
a) P(H), P(A|H), P(B|M); R. 0,75 ; 0,20; 0,30 
b) P(A ∩ H ) R. 0,15; 
c) P(M|A) R. 0,538 
 
10. Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40% do total produzido 
respectivamente. Da produção de cada máquina 5, 4 e 2%, são defeituosos, respectivamente. Retira-se 
um parafuso ao acaso e verifica-se que é defeituoso. Qual o probabilidade que tenha sido produzido por 
A? E por B? e por C? (R: 0,36; 0,41; 0,23) 
 
11. As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa, independentemente, com 
segurança, depois de beber, são: 0,30, 0,25 e 0,20. Se decidirem guiar até em casa, após beberem numa 
festa: 
a) Qual a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem acidentes? (R: 0,42) 
b) Qual a probabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo? (R:0,58) 
 
12. A probabilidade de que um atleta A ultrapasse 17,30 m num único salto triplo é de 0,7. O atleta dá 4 
saltos. Qual a probabilidade de que em pelo menos num dos saltos ultrapasse 17,3m? (R: 0,9919) 
 
13.