##Slides - Sinais Periódicos

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19/03/2020
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O que significa ser periódico?
1. Ter ciclos repetidos.
2. Acontecer ou aparecer em intervalos regulares.
3. Ser recorrente ou reaparecer de tempos em 
tempos.
Sinais Periódicos
Sinais Periódicos
Um sinal f(t) é periódico se ele é 
definido para todo t real e se 
existe algum número positivo T
tal que:
f(t + T) = f(t)
������� �������
Onda é qualquer trecho da curva 
representativa de um sinal periódico 
compreendendo um período. 
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Exemplo:
f(-4) = 1.5
f(-4 + 4) = f(0) = 1.5
4
f(-2) = -1.5 f(6) = -1.5
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f(x)
f(x + T)
periódico
O período fundamental é o menor número que satisfaz a 
relação de definição. 
Período fundamental é 4.
Questão: Quais os valores de f(99) e de f(−98)?
f(x) tem período fundamental 4, fazendo 99/4 = 24 � 99 = 24×4 + 3
Isto nos diz que a função se repete 24 vezes e “termina” em 3.
Logo, f(99) = f(99 − 24×4) = f(3) = 0
f(−98) = f(−2) = −1,5
−24−2
4−98 4
O período do sinal é 7.
O período do sinal é 2.
O período do sinal é 3.
a.Qual é o período do sinal g(x)?
b.Qual o valor de g(53)?
T = 7
g(53) = g(7×7 + 4)
g(53) = g(4) = 2
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Como se define, analiticamente, um 
sinal periódico?
Um sinal periódico f(t) é definido a 
partir da definição de qualquer onda 
acompanhada pela relação: 
f(t + T) = f(t)
)4()(,
21,2
11,1
12,2
)( +=
�
�
�
�
�
≤≤+−
≤≤−
−≤≤−+
= tftf
tt
t
tt
tf
)4()(,
43,1
32,2
21,2
10,1
)( +=
�
�
�
�
�
�
�
≤≤
≤≤−
≤≤+−
≤≤
= tftf
t
tt
tt
t
tf
ou
Existem infinitas 
possibilidades de 
definição.
)4()(,
43,1
32,2
21,2
10,1
)( +=
�
�
�
�
�
�
�
≤≤
≤≤−
≤≤+−
≤≤
= tftf
t
tt
tt
t
tf
)2()(,
10,1
01,1
)( +=
�
�
�
≤≤+−
≤≤−+
= tftf
tt
tt
tf
)2()(,
10,1
01,1
)( +=
�
�
�
≤≤+−
≤≤−+
= tftf
tt
tt
tf
)2()(,
10,1
01,1
)( +=
�
�
�
≤≤+−
≤≤−+
= tftf
tt
tt
tf
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)2()(,
10,1
01,1
)( +=
�
�
�
≤≤+−
≤≤−+
= tftf
tt
tt
tf
Propriedades dos Sinais Periódicos
Se ƒ(t) tem período T, então:
• f(t) = f(t + nT) para n = ±1, ±2, …
• os sinais: k + f(t); k×f(t); f(t + k); f ′(t) são também 
periódicos de período T (onde k é uma constante)
• os sinais: f(kt) e f(kt + a) são também periódicos de 
período T/k (onde k é uma constante)
• ��
++
=
Tb
b
Ta
a
dttfdttf )()(
Propriedades dos Sinais Periódicos
• A soma (ou subtração) de dois ou mais sinais 
periódicos gera outro sinal periódico cujo período é 
igual ao mínimo múltiplo comum dos períodos dos 
sinais que foram somados (ou subtraídos) 
– Esta propriedade não se aplica à multiplicação ou à 
divisão de sinais periódicos.