CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Prova

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Aluno(a): FRANCISCO WEBERTH FERNANDES 
SOARES 
201502143755 
Acertos: 8,0 de 10,0 13/04/2020 
 
 
 
1 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
A integral definida da função vetorial r(t) = (3t² - 1)i + (2t +2)j + 
(t³)k para t [0,2] é: 
 
 
 
〈2,2/3,6 〉 
 〈6,8,4 〉 
 
〈 2/3,6,4 〉 
 
〈4,6,5 〉 
 
〈 4/3,4,5 〉 
Respondido em 13/04/2020 15:19:12 
 
 
2 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x 
pertencente a [2, 8]. 
 
 
 
3 
 
2 
 6 
 
5 
 
4 
Respondido em 13/04/2020 15:20:22 
 
 
3 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_avaliacao_parcial_resultado.asp?cod_hist_prova=186189583&cod_prova=3712508637&f_cod_disc=
1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(tP(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao 
vetor v(t)v(t) = x'(tx′(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. . 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
xx =x(tx(t0) + t.x'(t0)y= = y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
 1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) 
(F) 5) (V) 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) 
(F) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) 
(V) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) 
(F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) 
(F) 5) (F) 
Respondido em 13/04/2020 15:23:16 
 
 
4 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique 
a única resposta correta. 
 
 
 (1−cost,sent,0)(1-cost,sent,0) 
 
(1−sent,sent,0)(1-sent,sent,0) 
 
(1−cost,sent,1)(1-cost,sent,1) 
 
(1 +cost,sent,0)(1 +cost,sent,0) 
 
(1−cost,0,0)(1-cost,0,0) 
Respondido em 13/04/2020 15:28:15 
 
 
5 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma 
equação polar equivalente. 
 
 
 
9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400 
 
16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0 
Respondido em 13/04/2020 15:34:35 
 
 
6 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Calcule a integral: 
A=12∫π0r²drA=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta. 
 
 
 
2π2π 
 
−π-π 
 
0 
 π³6π³6 
 
π²3π²3 
Respondido em 13/04/2020 17:06:12 
 
 
7 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única resposta 
correta se r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1. 
 
 
 r'(t) = v(t) = 12i - j 
 
r'(t) = v(t) = 15i - 3j 
 
r'(t) = v(t) = 32i - j 
 
r'(t) = v(t) = 14i + j 
 
r'(t) = v(t) = 13i - 2j 
Respondido em 13/04/2020 16:54:49 
 
 
8 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3−1) k]limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3-
1) k] 
 
 
 
e3i+j+5ke3i+j+5k 
 
3i+5k3i+5k 
 e3 i + 5ke3 i + 5k 
 
3i+j+5k3i+j+5k 
 
e3 i+je3 i+j 
Respondido em 13/04/2020 16:58:26 
 
 
9 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Qual das soluções a seguir apresenta a equação da reta tangente a 
curva 3x+2sen(3(y-1))=9 no ponto P(3,1)? 
 
 
 
x+y-9=0 
 
3x+2y+2=0 
 
3x+2y-2=0 
 x+2y-5=0 
 
NDA 
Respondido em 13/04/2020 17:01:01 
 
 
10 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = 
t e y (t) = 3t ? 
 
 -46 - 81t2 
 -46t - 81t2 
 
-46t - 81 
 
-46t - 27t2 
 
-23t - 81t2 
 
Se r(t)== 2 cost i + sent j + 2t k,, então: ∫r(t)dt∫r(t)dt é: 
 
 
 2sent 2sent i - cost j + t2 k + C 
 
−cost-cost j + t2 k + C 
 
πsentπsenti - cost j + t2 k + C 
 
sent sent i - t2 k + C 
 
2sent2senti + cost j - t2 k + C 
Respondido em 27/04/2020 22:30:58 
 
 
2 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 
2t)i + (sen 2t)j 
 
 
 
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
v(t)=−2sen(2t)i−2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
v(t)=−2sen(t)i+2cos(t)jv(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)jv(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 v(t)=−2sen(2t)i+2cos(2t)jv(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
Respondido em 13/04/2020 17:13:05 
 
 
3 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t)r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)kx(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(tP(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao 
vetor v(t)v(t) = x'(tx′(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. . 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
xx =x(tx(t0) + t.x'(t0)y= = y(t0) + t.y'(t0)z== z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t)r(t) é: 
TT= v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)kr(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt∣∣dTdt∣∣N=dTdt|dTdt| 
 
 
 
 1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) 
(F) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) 
(F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) 
(F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) 
(V) 5) (V) 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) 
(F) 5) (V) 
Respondido em 13/04/2020 17:13:13 
 
 
4 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
 a 
 
1/a 
 
3a 
 
2a 
 
sqrt (a) 
Respondido em 13/04/2020 17:15:55 
 
 
5 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
 
 4,47 
 
3,47 
 
2,56 
 
2,28 
 
9,31 
Respondido em 13/04/2020 17:17:38 
 
 
6 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma 
equação polar equivalente. 
 
 
 
9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400 
 
16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0 
Respondido em 27/04/2020 22:47:11 
 
 
7 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Um objeto de massa mm que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constanteww tem vetor posição dado 
por r(t)=(bcoswt,bsenwt)r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique a única resposta 
correta que determina a aceleração a(t)a(t) em um tempo t qualquer. 
Observação: bb> 0. 
 
 
 
a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt) 
 a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt)a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt) 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt)a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt) 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt)a(t)=(bw³coswt,bw²senwt) 
Respondido em 27/04/2020 22:53:22 
 
 
8 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por 
r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a aceleração em t =1 segundo. 
 
 
 
6i - 2j 
 6i + 2j 
 
i + j 
 
6i + j 
 
i - 2j 
Respondido em 27/04/2020 22:58:45 
 
 
9 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua 
administração, é dada pela fórmula: y(t) = (10 t)/〖(t+1)〗^2 , t ≥0 
Em qual intervalo essa função é crescente? 
 
 
 
T ≥0 
 
1/2<="" 10<="" td=""> 
 
T > 1 
 0 ≤t < 1 
 
T > 10 
Respondido em 27/04/2020 23:00:34 
 
 
10 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Qual das soluções a seguir apresenta a equação da reta tangente a 
curva 3x+2sen(3(y-1))=9 no ponto P(3,1)? 
 
 
 
3x+2y-2=0 
 x+2y-5=0 
 
3x+2y+2=0 
 
NDA 
 
x+y-9=0 
Respondido em 27/04/2020 23:03:17 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, 
onde sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
 2j 
 2i + j 
 
2i + 2j 
 
i/2 + j/2 
 
2i 
Respondido em 27/04/2020 23:50:03 
 
 
2 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes 
dadas pela funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
 
(b) 
 
(d) 
 
(a) 
 (e) 
 (c) 
Respondido em 27/04/2020 23:50:42 
 
 
3 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as 
derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, 
respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 
 
 
 0 e 0 
 
36 e -60 
 
18 e -30 
 36 e 60 
 
9 e 15 
Respondido em 27/04/2020 23:52:16 
 
 
4 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
 
3a 
 a 
 
2a 
 1/a 
 
sqrt (a) 
Respondido em 27/04/2020 23:52:53 
 
 
5 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y 
+ ∂F/∂z é igual a 
 
 
 
1 
 -1 
 
-2 
 0 
 
2 
Respondido em 27/04/2020 23:53:01 
 
 
6 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada 
cartesiana, obtemos: 
 
 
 
(−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2) 
 
(√ 3 ,0)(3,0) 
 (−4,√ 3 )(−4,3) 
 (−2√ 3 ,−2)(−23,−2) 
 
(2√ 3 ,2)(23,2) 
Respondido em 27/04/2020 23:53:23 
 
 
7 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Supondo que r(t)r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma 
curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dtv(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de 
sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
II,III e IV 
 I,III e IV 
 
I,II e III 
 I,II e IV 
 
I,II,III e IV 
Respondido em 27/04/2020 23:54:04 
 
 
8 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 
z=−8x+12y−18z=-8x+12y-18 
 z=8xz=8x - 10y -30 
 
z=8x−12y+18z=8x-12y+18 
 
 z=−8x+10y−10z=-8x+10y-10 
 z=−8x+12y −14z=-8x+12y -14 
Respondido em 27/04/2020 23:53:58 
 
 
9 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Se z=x2y+3xy4z=x2y+3xy4, onde x = sen(2t) e y = cos(t), o valor 
de dzdtdzdt, quando t = 0, equivale a: 
 
 
 
0 
 
2 
 
4 
 
8 
 6 
Respondido em 27/04/2020 23:54:14 
 
 
10 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Determine o gradiente da 
função f(x)=sen(2x)y+yzf(x)=sen(2x)y+yz em P(0,1,2). 
 
 
 
(0,0,0) 
 
(-1,0,2) 
 
NDA 
 (2,2,1) 
 (2,2,2) 
 
 
1a Questão 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para 
a equação polar r=42cosΘ−senΘr=42cosΘ-senΘ 
 
 
 
y = x 
 
y = x + 6 
 
y = x + 1 
 y = 2x - 4 
 y = x - 4 
Respondido em 13/04/2020 16:10:53 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa 
função quando t → 2 é dado por: 
 
 
 〈6,8,12〉 
 
〈2,4,12〉 
 
〈4,8,7〉 
 〈4,0,10〉 
 
〈2,3,11〉 
Respondido em 13/04/2020 16:14:02 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = ⟨1+t,2+5t,−1+6t⟩〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t 
 
x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1z=-1 
 x=1 −tx=1 -t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 
x= tx= t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
 x=1+tx=1+t ; y=2+5ty=2+5t, z=−1+6tz=-1+6t 
Respondido em 13/04/2020 16:14:12 
 
 
Explicação: 
Calculando as equações paramétricas. 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫(costi+3t2j)dt∫(costi+3t2j)dt, qual a única resposta correta? 
 
 
 
(cost)i + 3tj 
 (sent)i + t³j 
 (cost)i - 3tj 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
-(sent)i -3tj 
Respondido em 13/04/2020 16:14:06 
 
 
Explicação: 
Trata-se de uma integração imediata de uma função vetorial. 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde 
sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
 
2i + 2j 
 2i + j 
 
i/2 + j/2 
 2j 
 
2i 
Respondido em 13/04/2020 16:14:14 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas 
polares vamos obter: 
 
 
 ( 2, π/6) 
 
( 4, π/6) 
 ( 6, π/6) 
 
( 6, π/2) 
 
( 2, π/2) 
Respondido em 13/04/2020 16:14:34 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente 
a [2, 8]. 
 
 
 
2 
 
4 
 3 
 6 
 
5 
Respondido em 13/04/2020 16:14:41 
 
 
Explicação: 
Com y=5y=5 traçamos uma reta horizontal paralela ao eixo xx, portanto, 
no intervalo dado o comprimento L=8−2=6 u.c.L=8-2=6 u.c. 
Dica: u.c.u.c. significa unidades de comprimento. 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
A integral definida da função vetorial r(t) = (3t² - 1)i + (2t +2)j + (t³)k 
para t [0,2] é: 
 
 
 〈6,8,4 〉 
 
〈 2/3,6,4 〉 
 〈4,6,5 〉 
 
〈2,2/3,6 〉 
 
〈 4/3,4,5 〉 
Respondido em 13/04/2020 16:14:39 
 
 
Explicação: 
(t³ - t)i + (t² +2t)j + (t4 / 4)k para t [0,2] = (6, 8, 4) 
 
1a Questão 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única 
resposta correta. 
 
 
 
(sent,−cost,2t)(sent,-cost,2t) 
 
(sent,−cost,0)(sent,-cost,0) 
 (sent,−cost,1)(sent,-cost,1) 
 (−sent, cost,1)(-sent, cost,1) 
 
(sect,−cost,1)(sect,-cost,1) 
Respondido em 13/04/2020 16:20:35 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
 
3a 
 
2a 
 
1/a 
 a 
 
sqrt (a) 
Respondido em 13/04/2020 16:20:43 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as 
derivadas parciais de fx,y) em função de x e em função de y, 
respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 
 
 
 
9 e 15 
 36 e -60 
 
36 e 60 
 0 e 0 
 
18 e -30 
Respondido em 13/04/2020 16:21:02 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
 
f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
f ' (t) = e^3t 
 f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = 3 j 
Respondido em 13/04/2020 16:21:10 
 
 
 
 
 
 5a QuestãoEncontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + 
tk? 
 
 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
Respondido em 13/04/2020 16:21:17 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor 
posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a 
de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
 
1 
 2 
 3 
 
14 
 
9 
Respondido em 13/04/2020 16:21:14 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). 
 
 
 
y = x³ -5x² -3 
 y = 7 + 2x + 0,25x² 
 
y = 7 + 2x - 0,25x² 
 
y = x² -7x - 1 
 
y = x - 7x² + 5 
Respondido em 13/04/2020 16:21:33 
 
 
Explicação: 
Eliminamos o parâmetro t e resolvemos y como função de x. Começamos 
em x e fazemos t = 0,25x + 2. Em seguida, substituímos t em y = 3 + t² 
e obtemos y = 7 + 2x + 0,25x². 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a 
única resposta correta. 
 
 
 
(1−cost,sent,1)(1-cost,sent,1) 
 
(1−sent,sent,0)(1-sent,sent,0) 
 (1−cost,sent,0)(1-cost,sent,0) 
 (1 +cost,sent,0)(1 +cost,sent,0) 
 
(1−cost,0,0) 
 
1a Questão 
 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 
não existe 
 V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
Respondido em 13/04/2020 16:22:36 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Calcule a integral: 
A=12∫π0r²drA=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta. 
 
 
 
0 
 
−π-π 
 
2π2π 
 π²3π²3 
 π³6π³6 
Respondido em 13/04/2020 16:22:49 
 
 
Explicação: 
Calculando uma área em coordenadas polares 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1x216+y225=1 por uma 
equação polar equivalente. 
 
 
9((rcos(θ))2+r2=4009((rcos(θ))2+r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=4009((rcos(θ))2+16r2=400 
 
9((rcos(θ))2 −16r2=4009((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
16((rcos(θ))2+9r2=40016((rcos(θ))2+9r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=09((rcos(θ))2+16r2=0 
Respondido em 13/04/2020 16:22:44 
 
 
Explicação: 
Use as equações relacionadas que transformam um tipo de coordenada 
em outra, ou seja, de retangular pa polar e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A circunferência x2+y2=9x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por: 
 
 
 
r = 6 
 
r = 7 
 r = 4 
 
r = 5 
 r = 3 
Respondido em 13/04/2020 16:23:04 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Calcule a área, entre α=0α=0 e β=π2β=π2, em coordenadas polares do 
círculo de raio r=1r=1 e marque a única resposta correta. 
 
 
 
ππ 
 
π3π3 
 π4π4 
 1 
 
π2π2 
Respondido em 13/04/2020 16:23:17 
 
 
Explicação: 
Use a fórmula: A=∫βα12r²drA=∫αβ12r²dr 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
 
 
2,56 
 9,31 
 4,47 
 
3,47 
 
2,28 
Respondido em 13/04/2020 16:23:28 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. 
 
 
 
cosxy + senxy 
 xy.cosxy + senxy 
 
x.cosxy + senxy 
 xy.cosxy - senxy 
 
y.cosxy + senxy 
Respondido em 13/04/2020 16:23:27 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Transformando a coordenada polar (-4, π6π6) em coordenada cartesiana, 
obtemos: 
 
 
 
(−4,√ 3 )(−4,3) 
 
(2√ 3 ,2)(23,2) 
 (−2√ 3 ,−√ 2 )(−23,−2) 
 
(√ 3 ,0)(3,0) 
 (−2√ 3 ,−2)(−23,−2) 
Respondido em 13/04/2020 16:23:34 
 
 
Explicação: 
Como em coordenadas polares um ponto é designado 
como P(r,θ)P(r,θ) identificamos r=−4r=−4 e θ=π/6θ=π/6, logo: 
x=rcosθ=−4cos(π/6)=−2√ 3 ;y=rsenθ=−4(1/2)=−2 
 
 
1a Questão 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t)=(cost,sent,t²), indicando a única resposta 
correta, em t=π2. 
 
 
 
(0,0,0) 
 
(1,1,0) 
 
(2,−1,0) 
 (π,π,−π) 
 (0,−1,2) 
Respondido em 13/04/2020 16:24:24 
 
 
Explicação: 
A aceleração corresponde à segunda derivada do vetor posição em t=π2 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constantew tem vetor posição dado 
por r(t)=(bcoswt,bsenwt). Indique a única resposta correta que determina a 
aceleração a(t) em um tempo t qualquer. Observação: b> 0. 
 
 
 a(t)=(−bw²coswt,−bw²senwt) 
 
a(t)=(−bw²coswt,bw²senwt) 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²coswt) 
 a(t)=(bw³coswt,bw²senwt) 
 
a(t)=(−bcoswt,−bw²senwt) 
Respondido em 13/04/2020 16:24:44 
 
 
Explicação: 
Deriva-se duas vezes o vetor posição encontra-se a aceleração. 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫42 ∫21 (x² + y²) dydx 
 
 
 
70/15 
 
70/9 
 
70/11 
 70/3 
 
70/13 
Respondido em 13/04/2020 16:24:52 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: 
 
 
 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5. 
 Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro 
em (0, 0). 
 
na reta y = x. 
 
no centro do círculo. 
 
no raio do círculo. 
Respondido em 13/04/2020 16:25:02 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
 
xy2 cos xy + sen xy 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 xy cos xy + sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
6a Questão 
 
 
Determine a equação do plano tangente à esfera x²+y²+z²=50 no 
ponto P(3,4,5)P(3,4,5). 
 
 
 
6x+8y−5z=06x+8y-5z=0 
 
3x−4y+5z=183x-4y+5z=18 
 
 3x+4y+5z=03x+4y+5z=0 
 
 6x+8y+10z=1006x+8y+10z=100 
 
 3x+4y −5z=03x+4y -5z=0 
Respondido em 13/04/2020 16:25:19 
 
 
Explicação: 
Plano tangente da curva z = f(x,y): 
z - z0 = (x - x0).dz(x0,y0)/dx + (y - y0).dz(x0,y0)/dy 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 
z=−8x+12y−18z=-8x+12y-18 
 z=8x - 10y -30 
 
z=8x−12y+18z=8x-12y+18 
 z=−8x+12y −14z=-8x+12y -14 
 
 z=−8x+10y−10z=-8x+10y-10 
Respondido em 13/04/2020 16:25:20 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = 
(t³)i + (t²)j . Calcule a aceleração em t =1 segundo. 
 
 
 
6i + j 
 i + j 
 
6i - 2j 
 
i - 2j 
 6i + 2j 
Respondido em 13/04/2020 16:25:41 
 
 
Explicação: 
A aceleração a(t)=d²r(t)dt²a(t)=d²r(t)dt². Assim, derivando duas vezes o 
vetor posição r(t)r(t), calcula-se a aceleração solicitada. 
 
 
1a Questão 
 
 
A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua 
administração, é dada pela fórmula: y(t) = (10 t)/〖(t+1)〗^2 , t ≥0 Em 
qual intervalo essa função é crescente? 
 
 
 
1/2<="" 10<="" td=""> 
 T > 10 
 
T ≥0 
 
T > 1 
 0 ≤t < 1 
Respondido em 13/04/2020 16:27:07 
 
 
Explicação: 
Regra de derivação de um quociente Y`(t)= (10.(t+1)^2-
20t.(t+1))/((t+1)^4) = (-10t+10)/((t+1)^3) ->10t + 10 > 0 , isto é 0 
≤t < 1 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Se z=x2y+3xy4z=x2y+3xy4, onde x = sen(2t) e y = cos(t), o valor 
de dzdtdzdt, quando t = 0, equivale a: 
 
 
 
8 
 2 
 
0 
 6 
 
4 
Respondido em 13/04/2020 16:27:28 
 
 
Explicação: 
A questão tem duas soluções, sendo a primeira com o uso da Regra da 
Cadeia. Entretanto a mais rápida se dá substituindo na expressão original 
o x e o y pelas expressões dadas e derivando-se a nova expressão. Assim: 
z(t)=sen²(2t)cos(t)+3sen(2t)cos4(t)z(t)=sen²(2t)cos(t)+3sen(2t)cos4(t) 
Agora, deriva-se a expressão acima e, ao final, substitua t = 0 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
 
 
 
41 
 
22 
 27/2 
 33/19 
 
18/5 
Respondidoem 13/04/2020 16:27:39 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado 
pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 
 
2(u.v.) 
 8(u.v.) 
 
21(u.v.) 
 
15(u.v.) 
 
17(u.v.) 
Respondido em 13/04/2020 16:27:57 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dada a 
função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z)f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) enc
ontre 2∂f∂x+2∂f∂y−∂f∂z2∂f∂x+2∂f∂y-∂f∂z 
 
 
 
cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)−sen(x+2z)cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z) 
 
cos(y+2z)−sen(x+2z)cos(y+2z)-sen(x+2z) 
 (1x+1y+1z)(1x+1y+1z) 
 
1xyz1xyz 
 2(xz+yz−xy)xyz2(xz+yz-xy)xyz 
Respondido em 13/04/2020 16:28:04 
 
 
Explicação: 
Use o conceito de derivação pafcial. 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = t e y 
(t) = - t ? 
 
 
 
18t-1 
 
-18t+1 
 18t+1 
 18t 
 
18t+2 
Respondido em 13/04/2020 16:28:01 
 
 
Explicação: 
dz/dt = dz/dx.dx/dt + dz/dy.dy/dt 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Utilizando a derivada parcial de segunda ordem, qual é o 
resultado fxx da função : f(x,y)=(x3+y3−3xy)f(x,y)=(x3+y3−3xy) ? 
 
 
 
8x 
 
15x 
 
10x 
 12x 
 6x 
Respondido em 13/04/2020 16:28:08 
 
 
Explicação: 
Tem que derivar duas vezes a função dada em relação a x, com y 
constante. 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Qual das soluções a seguir apresenta a equação da reta tangente a curva 
3x+2sen(3(y-1))=9 no ponto P(3,1)? 
 
 
 
3x+2y+2=0 
 
3x+2y-2=0 
 x+2y-5=0 
 x+y-9=0 
 
NDA 
Respondido em 13/04/2020 16:30:13 
 
 
Explicação: 
A derivada direcional é nula na direção da reta tangente, paralela a curva 
de nível a F(x,y) em P(x0,y0). Assim 3(x-x0)+6cos(2(y-1))(y-y0)=0. 
Para P(3,1) temos 3(x-3)+6(y-1)=0 => x+2y-5=0.