4 - Estruturas Algébricas - História da Álgebra e a esutura anel

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Estruturas 
Algébricas
Material Teórico
História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Ana Paula Teles de Oliveira
Revisão Textual:
Profa. Ms. Luciene Oliveira da Costa Santos
• História da Álgebra Abstrata
• Anel
• Exemplos
 · Nesta Unidade, estudaremos alguns aspectos da História da Álgebra 
Abstrata e a estrutura de anel. No estudo histórico, iniciaremos 
falando sobre a álgebra clássica, seguindo para a álgebra abstrata, 
terminando com os primeiros trabalhos sobre o conceito de anel. Ao 
estudarmos sobre o anel, discorreremos sobre os diversos exemplos 
dessa estrutura. Ao término deste estudo, esperamos que você 
consiga distinguir anéis.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Para um bom aproveitamento da aula, realize a leitura integral do conteúdo 
teórico, refazendo os exemplos resolvidos. Quando aparecer alguma dúvida, 
entre em contato, com seu(sua) tutor(a) por meio da ferramenta Mensagens 
ou do Fórum de Dúvidas.
ORIENTAÇÕES
História da Álgebra
Abstrata e a Estrutura Anel
UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel
Contextualização
A História do Anel
O conceito de anel aparece nos trabalhos de Richard Dedekind e Leopold 
Kroneker sobre a teoria dos números algébricos, utilizando a palavra ordem. Um 
número complexo é algébrico se este número for raiz de uma equação da forma:
anX
n + an−1X
n−1 + · · · + a1X + a0 = 0
Em que a0, a1, . . . , an−1, an ∈ Z. No caso, em que o número complexo é raiz 
da equação:
Xn + an−1X
n−1 + · · · + a1X + a0 = 0
Onde a0, a1, . . . , an−1 ∈ Z é denominado inteiro algébrico. Neste contexto, 
prova-se que os inteiros algébricos formam um domínio de integridade e os números 
algébricos um corpo. Nesse contexto, Dedekind define anel.
Em 1897, David Hilbert introduz o termo anel, ainda relacionado à teoria dos 
números algébricos.
Abraham A. Fraenke publicou, em 1914, um artigo com a definição abstrata de 
anel. Também expôs diversos exemplos, mostrando a abrangência dessa estrutura.
Neste artigo, a definição de anel é feita a partir de um sistema com duas 
operações, denominadas adição e multiplicação. Em relação à adição, indica que 
o sistema é um grupo, discorrendo os axiomas que são satisfeitos. Em relação à 
multiplicação, fala sobre associatividade, e a distributiva em relação à adição, e 
insere a unidade. A comutatividade da adição é resultado de demonstração dos 
axiomas da definição. Nessa definição, existem dois outros axiomas relacionados a 
elementos regulares, que não encontramos nas definições atuais. 
Ao olharmos a definição que é atualmente utilizada, observamos que não é 
necessário o anel ter elemento unidade. Quando isto ocorre, dizemos que esse 
é um anel com unidade. A comutatividade da adição é um dos axiomas, e não 
resultado dos axiomas. Não há referência sobre os elementos regulares, portanto, 
não existem axiomas.
O objetivo do autor ao elaborar esse artigo era apresentar uma teoria de anéis 
como Ernst Steinitz tinha apresentado sobre a teoria dos corpos. No entanto, não 
conseguiu alcançar o seu objetivo, pois eram necessários mais estudos para essa 
formalização. 
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História da Álgebra Abstrata
Dividimos a História da Álgebra em dois momentos, o da Álgebra Clássica e o da 
Álgebra Abstrata. A Álgebra Clássica era focalizada nas resoluções de equações. Neste 
período, desenvolveu-se uma notação apropriada para a formulação de regras gerais 
para as soluções das equações. As operações utilizadas eram a adição, a subtração, a 
divisão, a multiplicação, a potenciação e a radiciação nos conjuntos numéricos.
Parece que a noção de número positivo e as operações foram formalizando a partir 
da experiência cotidiana e, com o passar do tempo, foram generalizadas. Vemos que os 
egípcios, babilônios e gregos os utilizavam. Mas parece que a formalização do conjunto 
dos números negativos foi mais complexa, pois existe uma obra sobre o número negativo, 
escrita aproximadamente em 628 d. C. pelo indiano Brahmagupta (Figura 1). 
Figura 1: Brahmagupta
Fonte: Wikimedia Common
Nessa obra, o número negativo tem a noção de dívida. O interessante é que, 
apesar desse documento ser datado em 628 d. C, vemos que, em 1543, o 
matemático alemão Stifel os denominava como números absurdos, e o matemático 
Cardano (Figura 2), de soluções falsas de uma equação.
Figura 2: Cardano
Fonte:https://sonhosacordados.files.wordpress.com
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UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel
Da mesma forma, parece que aconteceu a formalização dos números irracionais. 
Apesar de os pitagóricos, por volta do século IV a. C., já saberem da existência de 
medidas de seguimentos, cujas medidas não eram números racionais. Em 1707, um 
trabalho publicado por Newton considerava esses números como representações 
geométricas sem existência independente.
Assim, o desenvolvimento da Álgebra ocorreu a partir de duas necessidades 
marcantes: o aperfeiçoamento das notações com o objetivo de facilitar o trabalho 
de operações e soluções de equações e a formulação de novos conjuntos numéricos. 
 Até o início do século XIX, a matemática era definida como a ciência da 
quantidade ou extensão, referida, desse modo, à aritmética ou à geometria.
Entre os séculos XVII e XVIII, houve uma disputa entre Newton e Leibinz 
sobre o desenvolvimento do cálculo. Dessa disputa, originaram-se dois grupos de 
matemáticos distintos: os ingleses que apoiaram o Newton e os outros europeus do 
continente que respaldaram o Leibinz. Cada grupo tomando uma direção.
O cálculo de Leibinz tinha uma notação mais adequada, fazendo com que 
os matemáticos do continente fizessem um grande avanço em cálculo. Os 
matemáticos ingleses isolaram-se dos outros matemáticos do continente, e 
desenvolveram o cálculo de forma mais lenta, influenciados pela notação de 
Newton. O cálculo era apresentado de modo que a compreensão era difícil 
para os alunos. 
Mas uma mudança na essência da Álgebra ocorreu na Inglaterra, quando 
vários matemáticos da Universidade de Cambridge, em 1815, formam uma 
sociedade com o objetivo de reformular o cálculo, em que utilizariam a notação 
do continente. 
Um dos matemáticos desta sociedade, chamado de George Peacock (1791-
1858) (Figura 3), em 1830, publica Treatise on Algebra. Nesse trabalho, a álgebra 
é apresentada como o desenvolvimento abstrato de alguns postulados.
Figura 3: Matemático George Peacock
Fonte:Wikimedia Commons
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Está digitalizado o Treatise on Algebra. Não se esqueça de olhar o material complementar!
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 Até o ano de 1845, essa obra foi ampliada em dois volumes, dando o verdadeiro 
início do pensamento axiomático da álgebra.
Nesse período, Augusto de Morgan (1806-1871) (Figura 4) também publicou um 
trabalho denominado Trigonometry and Double Algebra, com o mesmo ponto de 
vista de Peacock em relação à álgebra.
Figura 4: Augusto de Morgan
Fonte: gowebpr.com
Está digitalizado o Trigonometry and Double Algebra.
Não se esqueça de olhar o material complementar!Ex
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Esses trabalhos foram importantes para a álgebra abstrata, mas apresentava limitação, 
os axiomas eram baseados na aritmética, pois, até o momento, não observaram que a 
álgebra poderia ser independente da aritmética. Essa etapa foi inspirada pelos trabalhos 
do matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865).
Apesar de ter uma nomenclatura diferente, o conceito de anel é encontrado em 
trabalhos de Richard Dedekind e Leopold Kroneker (1823 - 1891). O termo anel foi 
introduzido somente em 1897 por David Hilbert (1862 - 1943). Mas a definição abstrata 
foi dada em 1914 pelo alemão Abraham A. Fraenkel (1891 - 1965) (Figura 5).
Figura 5: Abraham A. Fraenkel (1891 - 1965)
Fonte: Wikimedia Commons
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UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel
Para aprofundar o conhecimento sobre a História da Álgebra Abstrata acesse o artigo de 
Milies disponível em: http://www.bienasbm.ufba.br/M18.pdfEx
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O próximo passo é estudarmos mais uma nova estrutura, denominada anel. Um 
exemplomuito familiar é o conjunto dos números inteiros. 
Anel
Seja A um conjunto não vazio com duas operações denominadas adição e 
multiplicação, denotado por + e . , respectivamente, tais que:
+ : A x A → A e . : A x A → A
A será um anel se as seguintes condições são satisfeitas:
i) A operação adição é associativa, ou seja, para quaisquer que sejam a, b, c ∈ 
A têm-se (a + b) + c = a + (b + c).
ii) A operação adição é comutativa, ou seja, para quaisquer que sejam a, b ∈ A 
têm-se a + b = b + a.
iii) O conjunto A possui elemento neutro aditivo, ou seja, existe 0 ∈ A tal que 0 
+ a = a para todo a ∈ A.
iv) Todo elemento de A possui elemento inverso aditivo em A, ou seja, para todo 
a ∈ A existe -a ∈ A tal que a + (-a) = 0.
v) A operação multiplicação é associativa, ou seja, para quaisquer que sejam a, 
b, c ∈ A têm-se (a . b) . c = a . (b . c).
vi) A operação multiplicação é distributiva em relação à adição, ou seja, para 
quaisquer que sejam a, b, c ∈ A têm-se: 
a . ( b + c) = a . b + a. c
(b+c). a = b.a + c.a
 
Lembra-se de que consideramos um conjunto como uma coleção de elementos? Dessa 
forma, ao referirmos ao anel A, não estamos limitando aos conjuntos numéricos. Por isso 
a operação adição e multiplicação não será necessariamente a usual. Relembre os diversos 
conjuntos que estudamos anteriormente. Nesses conjuntos, existem operações que 
satisfaçam às condições i) a iv)?
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Você reparou as condições para um conjunto A ser um anel? Ao relembrarmos 
o que estudamos na unidade II, observamos que A, em relação à operação adição, 
é um grupo abeliano. Isso concluímos pelas condições i) a iv) do anel.
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Como A é um grupo aditivo, dos resultados que estudamos, sabemos que o 
elemento neutro aditivo, representado por 0, é único. 
Não se esqueça de que 0 é a representação do elemento neutro em relação a operação 
adição! Esse elemento é chamado de zero do anel. Outra forma de representá-lo é a 
notação 0A que indica o zero do anel A.
Outra propriedade que é consequência de A ser um grupo aditivo é a unicidade 
do elemento inverso aditivo –a de um elemento a.
Importante!
Fique atento que –a é a representação do elemento inverso aditivo de a ∈ A. Também é 
utilizado elemento oposto para indicar o elemento inverso aditivo.
Importante!
Vejamos outras condições relacionadas ao anel A. A condição v) nos afirma que 
A é associativo em relação à multiplicação. E a condição vi) faz a ligação entre as 
duas operações (a adição e a multiplicação).
Uma representação utilizada para o Anel A é (A, +, .). Quando estiverem claras 
as operações utilizadas, podemos somente indicar por A. 
Vejamos alguns exemplos de anéis:
• O anel dos números inteiros: (Z, +, .). Z é o conjunto dos números inteiros, 
com as operações + e . usuais. 
• O anel dos números racionais: (Q, +, .). Q é o conjunto dos números racionais, 
com as operações + e . usuais. 
• O anel dos números reais: (R, +, .). R é o conjunto dos números reais, com 
as operações + e . usuais. 
• O anel dos números complexos: (C, +, .). C é o conjunto dos números 
complexos, com as operações + e . usuais.
Como falamos, as operações do conjunto podem ser diferentes das operações 
adição e multiplicação usuais. Para exemplificar isso, consideramos o conjunto dos 
números racionais Q, munidos com as seguintes operações:
a*b = a + b – 1
a Δ b = a + b - ab
Vamos mostrar que (Q, *, Δ) é um anel. É importante destacar que as operações 
* e Δ são fechadas em Q. 
Por que as operações * e ∆ são fechadas em Q?
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UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel
Observamos que a notação (Q, *, Δ) indica que a operação * é a adição da 
definição de anel. Dessa maneira, precisamos verificar se * satisfaz as condições 
i) a iv). 
i) Provemos a propriedade associativa. Para tanto, sejam a, b, c ∈ Q, temos:
(a*b)*c = (a + b – 1) * c =
= (a+b-1)+c -1=
= a+b +(-1+c-1)=
= a + b + (c-1 -1)=
= a + (b + c -1) -1=
= a + ( b*c) -1=
 = a * (b*c).
Logo (a*b)*c = a*(b*c).
ii) Agora mostraremos a propriedade comutativa. Sejam a, b ∈ Q, temos:
a*b = a + b – 1=
= b + a -1=
= b*a.
Portanto a*b = b*a.
iii) Vamos encontrar o zero do anel, representado por 0Q: Para todo 
b ∈ Q, temos:
0Q * b = 0Q + b -1
Como 0Q é o zero do anel, temos 0Q * b = b, então:
0Q + b -1 = b
(0Q + b-1) + (-b +1) 
= b + (-b+1)
0Q + ((b-1) + 
(-b+1))= (b + (-b)) +1
 0Q = 1
Logo, 0Q = 1. 
Vale ressaltar que o zero do anel 0Q é somente um representante, pois, nesse 
caso particular, vimos que o zero deste anel é 1.
iv) Provemos que todo número inteiro possui o oposto. Seja b ∈ Q e vamos 
supor que o elemento oposto de b é x, então:
x * b = 1
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Porém,
x*b = x +b -1
Assim,
x + b – 1 = 1
x = - b + 2
Portanto, o elemento inverso de b é –b+2.
Logo, todo Q tem elemento inverso em relação a *.
Vejamos a condição v) para a operação Δ:
v) Provemos a propriedade associativa. Para tanto, sejam a, b, c ∈ Q, temos:
(a Δ b) Δ c = (a + b – ab) Δ c =
= (a+b- ab)+c – (a +b – ab)c=
= a+b -ab + c –ac –bc+abc=
= a + b +c – bc – ab –ac +abc =
 = a + (b +c – bc) – a(b +c -bc)=
= aΔ(b + c - bc)=
= a Δ(bΔc)
Logo, (aΔb)Δc = aΔ(bΔc).
vi) Mostraremos que vale a distributiva:
a Δ ( b * c) = aΔ( b+c-1)=
= a +(b+c-1) – a(b+c-1)=
= a +b+c-1 –ab-ac+a=
= (a + b –ab) + (a+c – ac) -1=
= a Δ b + a Δ c -1=
=a Δ b * a Δ c
Logo, a Δ ( b * c) = a Δ b * a Δ c.
Analogamente, podemos mostrar que (b*c)Δa = bΔa*cΔa. Então, não perca 
tempo, mostre!
Portanto, Q com as operações * e Δ é um anel, ou seja, (Q, *, Δ) é um anel.
Atenção: Você percebeu que para mostrarmos (Q, *, Δ) utilizamos diversas vezes as 
propriedades dos números racionais?
Até este momento, apresentamos anéis de conjuntos numéricos. Agora, veremos 
anéis de funções:
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Consideramos F = { f | f: R → R}. Sejam f, g ∈ F, definimos a adição f+ g por: 
(f+g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ R
E a operação multiplicação f. g por:
(f.g) (x) = f(x).g(x), para todo x ∈ R
Mostraremos que F é um anel. Temos: 
i) A operação adição é associativa: Sejam f, g, h ∈ F, para qualquer x ∈ R temos:
((f + g) + h)(x) = (f+g)(x) + h(x)=
= (f(x) + g(x)) + h(x) =
 = f(x) + (g(x) + h(x))=
= f(x) + (g+h)(x)=
= (f + (g+h))(x)
Logo, (f+g)+h = f+(g+h).
ii) A operação adição é comutativa: Sejam f, g ∈ F, para qualquer x ∈ R, temos:
(f+g)x = f(x) + g(x) =
= g(x) + f(x) =
= (g+f)(x)
Portanto, f+g = g+f.
iii) O zero do anel F é a função constantemente nula 0A. Seja f ∈ F, para qualquer 
x ∈ R, temos:
(f + 0A ) (x) = f(x) + 0A(x) = 
= f(x) + 0 =
= f(x)
Portanto, o zero do anel é a função constantemente nula.
iv) Cada elemento f ∈ F, possui elemento oposto -f ∈ F. Temos para quaisquer 
x ∈ R:
(- f + f)(x) = - f(x) + f(x) = 0 = 0A(x)
 Portanto, –f é o elemento oposto de f ∈ F.
v) A operação multiplicação é associativa: Sejam f, g, h ∈ F, para todo 
x ∈ R, temos:
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((f.g).h)(x) = (f.g)(x). h(x) = 
= (f(x).g(x)).h(x) =
= f(x).(g(x).h(x)) =
= f(x).((g.h)(x)) =
= (f.(g.h))(x) 
Logo, (f.g).h = f.(g.h)
vi) A operação multiplicação é distributiva em relação à adição. Sejam f, g,
h ∈ F, para todo x ∈ R, temos:
(f.(g+h)) (x) = f(x).(g+h)(x)=
= f(x).(g(x) + h(x)) =
= f(x). g(x) + f(x).h(x) =
= (f.g)(x) + (f.h)(x) =
= ((f.g) +(f.h))(x)
Logo, f.(g+h) = f.g + f.h.
Analogamente mostramos que (g+h). f = g.f + h.f.
Portanto, F é um anel.
Você percebeu que, para mostrarmos que F = { f | f: R → R} é um anel, utilizamos 
diversas vezes as propriedades dos números reais?
Você percebeu que provamos que o F = { f | f: R → R}, com as operações 
adição e multiplicação é um anel. Mas podemos generalizar esse caso colocando o 
domínio e o contradomínio sendo Z, Q, C. 
Outro exemplo é o anel dos polinômios, representado por:
P(R)={a0 + a1x + a2x
2+...+anx
n | a0 , ..., an ∈ R}
Com as operações de adição e multiplicação usuais, que tal mostrar que ele um 
anel? Deixaremos para você estudar. 
Suponhamos que A e A’ são anéis econsideramos o produto cartesiano A x A’. 
Definimos a operação adição e multiplicação:
(a,a’)+(b, b’) = (a+b, a’+b’)
(a,a’).(b, b’) = (a.b, a’.b’)
Para todo a, b ∈ A e a’, b’ ∈ A’. Então, (A x A’, +, . ) é um anel. Onde o zero 
do anel é (0A , 0A’). Verifique!
 
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UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel
Vamos, agora, retornar ao conceito do anel A. Observamos que a (A, +) é um 
grupo abeliano. Porém, não existem diversas condições relacionadas à operação 
multiplicação. Mas isso pode acontecer.
 Por exemplo, suponha que o anel A possua o elemento neutro da multiplicação, 
ou seja, existe b ∈ A tal que b. a = a . b = a para todo a ∈ A. Esse elemento 
é denominado unidade do anel e representado por 1. Quando o anel possui o 
elemento neutro da multiplicação, dizemos que A é um anel com unidade.
Se A é um anel com unidade, uma observação a destacar é a unicidade da 
unidade. Explique o motivo!
Não se esqueça de que 1 é a representação do elemento neutro da multiplicação! 
Esse elemento é chamado de unidade do anel A! Outra forma de representa-lo é a 
notação 1A.
Observamos que os conjuntos numéricos Z, Q, R, C com as operações de adição 
e multiplicação usuais são exemplos de anel com unidade.
Vejamos se o anel (Q, *, Δ) é um anel com unidade. Para tanto, é necessário 
encontrar o elemento x, tal que a Δ x = x Δ a = a para qualquer a ∈ Z.
a Δ x = a + x – ax.
Temos:
a + x – ax = a
x – ax =0
x(1-a) = 0
Como a é qualquer inteiro, temos x=0.
Logo, (Q, *, Δ) é um anel com unidade. Observe que o elemento unidade é o 0!!!
Consideramos o anel F. A função constante 1 é o elemento unidade de F. 
Portanto, F é um anel com unidade.
Se nos basearmos somente nesses exemplos, alguém poderá deduzir que todo 
anel tem unidade. Mas isso não é verdade, como podemos verificar no próximo 
exemplo.
Consideramos o conjunto dos números pares, com as operações de adição e 
multiplicação usuais. 2Z é um anel. Por quê? Mostre que 2Z é um anel! Apesar 
de 2Z é um anel, ele não possui unidade. 
Vimos que 2Z é um anel. Será que 3Z é um anel com as operações de adição e multiplicação 
usuais? Consideramos n ∈ N. Temos nZ com as operações adição e multiplicação usuais 
como anel?
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Continuamos analisando o anel A em relação à operação multiplicação. 
Suponhamos que a operação multiplicação seja comutativa, isto é, para quaisquer 
que sejam a, b ∈ A têm-se a . b = b . a. Dizemos que A é um anel comutativo.
Os conjuntos numéricos Z, Q, R, C com as operações adição e multiplicação 
usuais são exemplos de anel comutativo com unidade. Também temos (Q, *, Δ) 
e (F, +, .) como outros exemplos de anel comutativo com unidade. O anel 2Z é 
comutativo, mas não tem unidade. Seja n ∈ N, temos (nZ, +, . ) como exemplos 
de anel comutativo. 
Vejamos um exemplo de um anel que não é comutativo. Seja M2(R) o conjunto 
de todas as matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais. Sejam B, D ∈ M2 
(R), tais que B = , D = . Temos a operação adição:
B + D =
 
+
 
=
 
E a operação multiplicação é:
B.D =
 
=
 
Mostraremos que M2(R) com as operações adição e multiplicação é um anel. 
Para tanto, sejam B, D, E ∈ M2 (R) tais que B = , D = , E = .
i) A operação adição é associativa:
(B + D) + E = ( + ) + =
= + =
= =
= 
= + =
= +( + =
= B +(D + E)
Portanto, (B + D) + E = B + (D+E).
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UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel
ii) A operação adição é comutativa. Temos: 
B + D = + =
= =
= =
= + =
= D + B.
Portanto, B+D = D+B.
iii) O elemento neutro aditivo é a matriz nula, representada por 0. De fato, para 
qualquer B ∈ M2(R), temos:
B + 0 = + =
= =
= = B.
Portanto, B+0 = B, para qualquer B ∈ M2(R).
iv) O oposto de B ∈ M2(R) é a matriz –B. De fato, temos:
B + (-B) = + =
= =
= = 0
Logo, B + (-B) = 0.
v) A operação multiplicação é associativa. De fato:
(B . D) . E = ( . ) . =
= =
= =
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= =
= =
= =
= =
= = B(D.E).
Logo, (B.D). E = B.(D.E).
vi) A operação multiplicação é distributiva em relação à adição, temos:
B . ( D + E) = ( + ) =
= =
= =
= + =
= + = 
= B . D + B. E 
Logo, B.(D+E) = B.D +B.E.
Analogamente, mostramos que (D+E).B = D.B + E.B. 
Portanto, M2(R) é um anel.
A matriz identidade I2 = é a unidade de M2(R). De fato,
B . I2= . = = 
I2 . B = . = = 
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UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel
Logo, I2 é a unidade de M2 (R). Portanto, M2(R) é um anel com unidade.
Mas o M2 (R) não é comutativo. Podemos exemplificar esse fato por meio da 
multiplicação das matrizes abaixo:
 = 
 = 
Portanto, M2(R) é um anel com unidade, porém não é comutativo.
Você percebeu que provamos que o M2(R), com as operações adição e 
multiplicação, é um anel. Por que esse caso particular? Será que outros conjuntos 
de matrizes com a operação adição e multiplicação usuais não podem ser anel?
Em resposta, afirmamos que um conjunto de matrizes depende de algumas 
variáveis. Vejamos algumas:
• As matrizes têm que ser quadradas e não depende da ordem. Veja como são 
definidas as operações de adição e multiplicação usuais no conjunto de matrizes. 
Qual é a diferença entre operar matrizes quadradas e operar matrizes em que 
o número de linhas é diferente do número de colunas, que representaremos 
por Mnxm (K)? Qual é a condição em que Mnxm (K) não satisfaz para ser um anel?
• O conjunto das entradas das matrizes. Ao observarmos o exemplo feito, em que 
as entradas eram números reais, observamos que para provar cada condição 
utilizamos as propriedades dos conjuntos reais. Tente imaginar o conjunto 
de matrizes de ordem 2 com entradas dos naturais, representado por M2(N). 
Quais as características em que o conjunto dos números naturais diferem do 
conjunto dos números reais? Por que M2(N) não é um anel?
Mostramos que M2(R) é um anel de matrizes, por acreditarmos que seria mais 
fácil a compreensão. Mas esse caso pode ser generalizado Mn(R), sendo n > 2. 
Verifique. 
Ou, ainda, podemos variar os conjuntos de entrada (M2(Z),+,.), (M2(Q), +,.), ( 
M2(C), +, .).
Você percebeu a variedade de exemplos de anéis? Conjuntos diversos, com 
operações diversas, entretanto, possuem a mesma estrutura. Também destacamos 
que, para verificarmos que esses exemplos eram anéis, sempre utilizávamos 
as propriedades dos conjuntos numéricos envolvidos. Porém, existem muitas 
propriedades sobre anéis. Esse será um dos assuntos tratados na próxima unidade.
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Exemplos 
1) Mostre que Z com a adição usual e a multiplicação definida por a.b=0, a,b 
∈ Z é um anel.
Resolução: as propriedades de associatividade, comutatividade, elemento 
oposto e elemento neutro são válidas na operação de adição em Z. Então, falta 
verificarmos se são válidas as propriedades verificadas em relação à operação 
multiplicação definida acima. Para tanto, sejam a, b, c ∈ Z, temos:
I) Associatividade:
(a.b).c=0.c= 0= a.0 =a.(b.c)
Logo, (a.b).c = a.(b.c)
II) Distributiva:
a.(b+c) = 0 = 0 + 0 = a.b + a.c.
(b+c).a = 0 = 0 + 0 = b.c + c.a.
Então, a.(b+c) = a.b+a.c e (b+c).a =b.c+c.a.
Portanto, Z com as operações definidas acima é um anel.
2) Seja A um anel e a, b, c ∈ A, mostre que a + b = a + c então b = c. 
Resolução: Sejam a,b, c ∈ A tal que a + b = a +c.
(-a) + (a+b) = (-a) + (a+c)
((-a) + a) +b = (-a+a) +c
0+b= 0+c
b+c
3) Determine a unidade do anel Z x {0} com as operações de adição e 
multiplicações usuais.
Resolução: Seja a unidade (a, 0) do anel Z x {0}. Para todo (z,0) ∈ Z x {0} temos 
(a,0). (z,0) = (z,0). Como (a,0). (z,0) = (az,0) temos (az,0)= (z,0). 
Assim, az = z se, e somente se, a=1. Portanto, (1,0) é a unidade de Z x {0}.
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UNIDADE História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Anel
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
Nesta unidade, estudamos a História da Álgebra Abstrata e a Estrutura Algébrica Anel.
Para que você possa ampliar e aprofundar seus conhecimentos sobre como se desenvolveu 
a álgebra abstrata e o conceitode anel, indicamos algumas leituras.
 Livros
Elementos de álgebra abstrata.
ALENCAR FILHO, Edgard de. 4. ed. São Paulo: Nobel, 1988. 
Álgebra Moderna
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. São Paulo: Atual, 2003. 
Elementos de Álgebra
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de 
Matemática Pura e Aplicada, 2002. 
Introdução à Álgebra
GONÇALVES, A. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura 
e Aplicada, 2003. 
Tópicos de Álgebra
HEIRSTEIN, I, N.São Paulo: Universidade e Polígono, 1970.
Iniciação às estruturas algébricas
MONTEIRO, L. H. Jacy. . 6. ed. São Paulo: Nobel , 1973.
 Leitura
Breve história da Álgebra Abstrata
MILIES, C. P. . In: II Bienal da Sociedade Brasileira da Matemática. Salvador. 2004. 
Acesso em: 11 jun. 2015.
http://www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf
Treatise on Algebra 
PEACOCK, G. Ed. J. & J. J. Deighton. Londres. 1830. Acesso em: 05 ago. 2015.
https://goo.gl/WDGB8b
Trigonometry and Double Algebra
MORGAN, A. Ed. Taylor, Walton and Maberly. 1849. Acesso em: 05 ago. 2015.
https://goo.gl/b1gFuW
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Referências
ALENCAR FILHO, Edgard de. Elementos de Álgebra Abstrata. 3. ed. São Paulo: 
Nobel, 1982.
DOMINGUES, H.H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, 2003. 
GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: Associação 
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2002. 
GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: Associação Instituto 
Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2003. 
HEIRSTEIN, I. N. Tópicos de Álgebra. São Paulo: Editora da Universidade e 
Polígono, 1970.
MONTEIRO, L. H. Jacy. Iniciação às estruturas algébricas. 6. ed. São Paulo: 
Nobel , 1973.
Webgrafi a:
MILIES, C. P. Breve história da Álgebra Abstrata. In: II Bienal da Sociedade 
Brasileira da Matemática. Salvador. 2004.
Disponível em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M18.pdf>
Acesso em: 11 jun. 2015.
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