Controle 1 - Aula12

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AULA 12 - REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS POR VARIÁVEIS DE ESTADO 
- 1 - 
Aula 12 Representação de Sistemas por Variáveis de Estado 
 
12.1 Introdução 
 
 Sistema Físico 
Leis e Equações 
Constitutivas 
Eq. Dif. Lineares com 
Parâmetros Invariantes 
Funções de 
Transferência 
Equações de 
Estado 
� MIMO 
� Espaço Vetorial 
� Autovalores / Autovetores 
� SISO 
� Plano Complexo 
� Pólos / Zeros 
Controle Clássico Controle Moderno (1960) 
Eq. Dif. (Não) Lineares com 
Parâmetros (In)variantes 
 
 
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- 2 - 
Para a análise e projeto de sistemas de controle há duas abordagens: no domínio da freqüência 
ou no espaço de estados. 
A técnica clássica, ou no domínio da freqüência, é baseada na transformação de uma equação 
diferencial em uma função de transferência, gerando assim um modelo matemático que 
relaciona algebricamente a saída com a entrada de um sistema. 
A substituição de uma equação diferencial por uma equação algébrica não somente simplifica a 
representação de subsistemas individuais, mas também simplifica a modelagem de subsistemas 
interconectados. 
A principal desvantagem desta abordagem é sua aplicabilidade limitada: só pode ser usada em 
sistemas lineares e invariantes no tempo ou em sistemas que possam ser aproximados como tal. 
A maior vantagem é que ela fornece rapidamente informações sobre a estabilidade e sobre a 
resposta transitória. 
A abordagem no espaço de estados, também conhecida como controle moderno ou domínio do 
tempo, constitui um método unificado de modelagem, análise e projeto para uma grande classe 
de sistemas. 
Ela pode ser usada para representar sistemas não-lineares, dotados de condições iniciais não-
nulas, variantes no tempo e com múltiplas entradas/múltiplas saídas. 
Esta abordagem, no entanto, não é tão intuitiva quanto a abordagem clássica. 
 
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- 3 - 
12.2 Representação no Espaço de Estados 
 
Definições: 
 
� Variável de sistema: qualquer variável que responda a uma entrada ou a condições iniciais 
de um sistema. 
 
� Variáveis de estados: o menor conjunto de variáveis linearmente independentes de 
sistema tal que o conhecimento de seus valores no instante t0, juntamente com as funções 
forçantes, determinam completamente o valor de todas as variáveis do sistema para todo 
t ≥ t0. 
 
� Vetor de estado: vetor cujos elementos são as variáveis de estado. 
 
� Espaço de estados: o espaço n-dimensional cujos eixos são as variáveis de estado. 
 
� Equações de estado: conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas, 
com n variáveis, onde as n variáveis são as variáveis de estado. 
 
� Equação de saída: equação algébrica que exprime as variáveis de saída de um sistema 
como combinações lineares das variáveis de estado e das entradas. 
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Um sistema é representado no espaço de estados pelas seguintes equações: 
 
x Ax Bu= +� (equação de estado) 
y Cx Du= + (equação de saída) 
 
para t≥ t0 e o vetor de condições iniciais x(t0), onde 
 
x = vetor de estado 
x� = derivada do vetor de estado em relação ao tempo 
y = vetor de resposta 
u = vetor de entrada ou de controle 
A = matriz de sistema 
B = matriz de entrada 
C = matriz de saída 
D = matriz de ação direta 
 
O vetor de estado x contém as variáveis de estado. 
 
 
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- 5 - 
O primeiro passo para representar um sistema na forma de espaço de estados consiste em 
selecionar o vetor de estado, que deve ser escolhido de acordo com as seguintes considerações: 
 
a) Deve-se selecionar um número mínimo de variáveis de estado como componentes do 
vetor de estado. O número mínimo de variáveis de estado é suficiente para descrever 
completamente o estado do sistema. Variáveis relacionadas por derivada são linearmente 
independentes. 
b) Os componentes do vetor de estado devem ser linearmente independentes. 
 
Geralmente, o número mínimo de variáveis de estado é igual à ordem da equação diferencial 
que descreve o sistema. 
 
Uma outra forma de determinar o número de variáveis de estado é contar o número de 
elementos armazenadores de energia independentes existentes no sistema. 
 
Se for selecionado um número pequeno de variáveis de estado, pode ser impossível escrever 
equações de saída particulares, uma vez que algumas variáveis de sistema não poderão ser 
escritas como combinação linear de um número reduzido de variáveis de estado. Muitas vezes, 
a inclusão de variáveis de estado adicionais torna mais simples escrever as equações de estado. 
 
A representação de um sistema no espaço de estados não é única. 
 
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Exemplo: Representação de sistema mecânico em translação 
 
 
Figura 12.1 – Sistema mecânico em translação 
 
Equações de movimento: 
 
2
1 1
1 1 22
d x dx
M D Kx Kx 0
dt dt
+ + − = 
2
2
1 2 22
d x
Kx M Kx f ( t )
dt
− + + = 
 
Escolhendo-se x1, v1, x2 e v2 como variáveis de estado, tal que v1 = dx1/dt e v2 = dx2/dt, tem-se: 
 
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1
1
dx
v
dt
= 
1
1 1 2
1 1 1
dv K D K
x v x
dt M M M
= − − + 
2
2
dx
v
dt
= 
2
1 2
2 2 2
dv K K 1
x x f ( t )
dt M M M
= − + 
 
Na forma matricial, 
 
1 1
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2
x 0 1 0 0 x 0
v K / M D / M K / M 0 v 0
f ( t )
x 0 0 0 1 x 0
v K / M 0 K / M 0 v 1 / M
       
       − −       = +
       
       
−       
�
�
�
�
 
 
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- 8 - 
12.3 Convertendo uma Função de Transferência para Espaço de Estados 
 
Uma vantagem da representação no espaço de estados é que ela pode ser usada para simular 
sistemas físicos em computador. Por isso o interesse em converter a representação por função 
de transferência em representação no espaço de estados. Em geral, uma equação diferencial de 
ordem n pode ser decomposta em n equações diferenciais de primeira ordem. 
Considere a equação diferencial 
 
n n 1
1 n 1 nn n 1
d y d y dy
a ... a a y bu
dt dt dt
−
−−
+ + + + = 
 
Uma forma conveniente de selecionar variáveis de estado é escolher a saída y(t) e suas (n-1) 
derivadas como variáveis de estado. Esta opção é chamada de escolha de variáveis de fase. 
 
1x y= 
2
dy
x
dt
= 
2
3 2
d y
x
dt
= 
... 
n 1
n n 1
d y
x
dt
−
−
= 
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- 9 - 
 
Determinam-se as equações de estado como 
 
1 2x x=� 
2 3x x=� 
... 
n 1 nx x− =� 
n n 1 n 1 2 1 nx a x a x ... a x bu−= − − − − −� 
 
Na forma matricial 
 
1 1
2 2
33
n 1n 1
n n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 1 nn
x 0 1 0 0 0 0 ... 0 x 0
x 0 0 1 0 0 0 ... 0 x 0
0 0 0 1 0 0 ... 0 xx 0
... ...... ...
0 0 0 0 0 0 ... 1 xx 0
a a a a a a ... a x bx
−−
− − − − −
       
       
       
       
= +       
       
       
       
− − − − − − −          
�
�
�
�
�
u 
 
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Como a solução da equação diferencial é y(t), ou x1, a equação de saída é 
 
[ ]
1
2
3
n 1
n
x
x
x
y 1 0 0 ... 0 0
...
x
x
−
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
 
 
Não se deve confundir variáveis de estado com variáveis de saída de um sistema. Uma saída de 
um sistema é uma variável que pode ser medida, mas as variáveis de estado nem sempre 
satisfazem este requisito. Em geral, uma variável de saída pode ser expressa como uma 
combinação linear das variáveis de estado. 
 
12.3.1 Conversão de uma função de transferência com termo constante no numerador 
 
Exemplo: Obter a representação no espaço de estados sob a forma de variáveis de fase da 
seguinte função de transferência: 
 
3 2
Y( s ) 24
U( s ) s 9s 26s 24
=
+ + +
 
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- 11 - 
A equação diferencial correspondente é dada por: 
 
3 2Y( s ) s 9s 26s 24 24U( s )
y( t ) 9 y( t ) 26 y( t ) 24 y( t ) 24u( t )
 + + + = 
+ + + =��� �� �
 
Escolha das variáveis de estado: 
1
2
3
x y
x y
x y
=
=
=
�
��
 
 
Derivando ambos os membros da equação anterior para obter 1x� e 2x� , e utilizando a equação 
diferencial para obter 3x� : 
1 1 1 2
2 2 2 3
3 3 3 3 1 2 3
1
x y x y x x
x y x y x x
x y x y x 24 y 26 y 9 y 24r x 24x 26 x 9x 24u
y x
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = − − − + ⇒ = − − − +
=
� � �
� � �� �
�� � ��� � � �� �
 
 
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- 12 - 
Na forma matricial, 
[ ]
1 1
2 2
3 3
1
2
3
x x0 1 0 0
x 0 0 1 x 0 u
24 26 9 24x x
x
y 1 0 0 x
x
      
      = +      
      − − −      
 
 
=  
  
�
�
�
 
 
12.3.2 Conversão de uma função de transferência com polinômio no numerador 
 
Método 1 
 
Se a função de transferência possuir um polinômio em s no numerador de grau inferior ao do 
polinômio do denominador, o numerador e o denominador poderão ser manipulados 
separadamente. 
 
Como exemplo, dada a seguinte função de transferência: 
 
2
2 1 0
3 2
3 2 1 0
b s b s bY( s )
U( s ) a s a s a s a
+ +
=
+ + +
 
 
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- 13 - 
Pode-se separar a função de transferência em duas, associadas em cascata, onde a primeira é o 
denominador e a segunda o próprio numerador: 
 
 
U(s) Y(s) 
3 2
3 2 1 0
1
a s a s a s a+ + +
2
2 1 0b s b s b+ +
X1(s) 
 
Figura 12.2 - Decomposição da função de transferência 
 
A primeira função de transferência, com apenas o denominador, é convertida na representação 
por variáveis de fase no espaço de estados. A segunda função de transferência, com apenas o 
numerador, conduz a 
 
( )22 1 0 1Y( s ) b s b s b X ( s )= + + 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace, 
 
2
1 1
2 1 0 12
d x dx
y( t ) b b b x 0
dt dt
= + + = 
 
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- 14 - 
Reescrevendo utilizando as definições na forma de variáveis de fase, forma-se a equação de 
saída: 
0 1 1 2 2 3
y( t ) b x b x b x= + + 
 
Portanto, o denominador da função de transferência conduz às equações de estado enquanto o 
numerador fornece a equação de saída. 
 
Exemplo: Obter a representação no espaço de estados da seguinte função de transferência: 
 
2
3 2
Y( s ) s 7s 2
U( s ) s 9s 26s 24
+ +
=
+ + +
 
 
Separando o sistema em dois blocos em cascata: 
 
 
U(s) Y(s) 
3 2
1
s 9s 26s 24+ + +
2s 7 s 2+ +
X1(s) 
 
 
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- 15 - 
Equações de estado para o bloco contendo o denominador: 
 
1 1
2 2
3 3
x x0 1 0 0
x 0 0 1 x 0 u
24 26 9 1x x
      
      = +      
      − − −      
�
�
�
 
 
Função de transferência do segundo bloco: 
 
2
1
Y( s ) ( s 7s 2 )X ( s )= + + 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace: 
 
1 1 1
y x 7x 2x= + +�� � 
Lembrando que 
1 1
1 2
1 3
x x
x x
x x
=
=
=
�
��
 
 
Pode-se reescrever a equação de saída como 
 
3 2 1
y x 7x 2x= + + 
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- 16 - 
Na forma matricial 
[ ]
1
2
3
x
y 2 7 1 x
x
 
 =  
  
 
 
Método 2 
 
Considere o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de entrada, como: 
 
n n 1 n n 1
1 n 1 n 0 1 n 1 nn n 1 n n 1
d y d y dy d u d u du
a ... a a y b b ... b b u
dt dt dt dt dt dt
− −
− −− −
+ + + + = + + + + 
 
As variáveis de estado devem ser tais que eliminem as derivadas de u na equação de estado. 
 
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- 17 - 
Uma maneira de obter a equação de estado e a equação de saída é definir as seguintes n 
variáveis como um de n variáveis de estado: 
 
1
2 1 1 1
3 0 1 2 2 2
( 1) ( 1) ( 2)
0 1 2 1 1 1...
o
o
n n n
n n n n n
x y u
x y u u x u
x y u u u x u
x y u u u u x u
β
β β β
β β β β
β β β β β
− − −
− − − −
= −
= − − = −
= − − − = −
= − − − − − = −
� � �
�� �� � �
�
� �
 
 
onde β0, β1, ..., βn são determinadas de 
0
1 1 1
2 2 1 1 2
3 3 1 2 2 1 3
1 1 1 1...
o
o
o
o
n n n n n o
b
b a
b a a
b a a a
b a a a
β
β β
β β β
β β β β
β β β β− −
=
= −
= − −
= − − −
= − − − −
�
 
 
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- 18 - 
Com essa escolha, obtém-se: 
 
1 2 1
2 3 2
1 1
1 1 2 1...
n n n
n n n n n
x x u
x x u
x x u
x a x a x a x u
β
β
β
β
− −
−
= +
= +
= +
= − − − − +
�
�
�
�
�
 
 
Forma matricial: 
 
1 1 1
2 2 2
3 33
n 1 n 1n 1
n n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 1 n nn
x 0 1 0 0 0 0 ... 0 x
x 0 0 1 0 0 0 ... 0 x
0 0 0 1 0 0 ... 0 xx
... ... ......
0 0 0 0 0 0 ... 1 xx
a a a a a a ... a xx
β
β
β
β
β
− −−
− − − − −
       
      
      
      
= +      
      
      
      
− − − − − − −           
�
�
�
�
�
u








 
[ ]
1
2
0
n
x
x
y 1 0 ... 0 u
...
x
β
 
 
 = +
 
 
 
 
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- 19 - 
Exemplo: Obter a representação no espaço de estados da seguinte função de transferência: 
 
2
3 2
Y( s ) s 7s 2
U( s ) s 9s 26s 24
+ +
=
+ + +
 
 
Equação diferencial do sistema: 
 
y 9 y 26 y 24 y u 7u 2u+ + + = + +��� �� � �� � 
Comparando com a forma padronizada: 
 
1 2 3 0 1 2 3y a y a y a y b u b u b u b u+ + + = + + +��� �� � ��� �� � 
 
Segue que: a1 = 9, a2 = 26, a3 = 24, b0 = 0, b1 = 1, b2 = 7, b3 = 2. 
 
Logo, 
0
1 1 1
2 2 1 1 2
3 3 1 2 2 1 3
0
1
2
6
o
o
o
o
b
b a
b a a
b a a a
β
β β
β β β
β β β β
= =
= − =
= − − = −
= − − − = −
 
 
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- 20 - 
Definição das variáveis de estado: 
 
1
2 1 1 1
3 2 2 2 2
ox y u y
x x u x u
x x u x u
β
β
β
= − =
= − = −
= − = +
� �
� �
 
 
Equação de estado: 
 
1 2 1 2
2 3 2 3
3 3 1 2 2 1 3 3 1 2 3
2
24 26 9 6
x x u x u
x x u x u
x a x a x a x u x x x u
β
β
β
= + = +
= + = −
= − − − + = − − − −
�
�
�
 
 
Forma matricial: 
 
[ ]
1 1
2 2
3 3
1
2
3
0 1 0 1
0 0 1 2
24 26 9 6
1 0 0
x x
x x u
x x
x
y x
x
       
       = + −       
       − − − −       
 
 =  
  
�
�
�
 
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- 21 - 
12.4 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência 
 
Dadas as equações de estado e de saída 
 
x Ax Bu
y Cx Du
= +
= +
�
 
 
Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas: 
 
sX( s ) AX ( s ) BU( s )
Y( s ) CX ( s ) DU( s )
= +
= +
 
 
A transformada de Laplace de um vetor é obtida aplicando-se a transformada de Laplace a cada 
componente. 
Explicitando X(s): 
( sI A )X ( s ) BU( s )− = 
Ou, 
1X( s ) ( sI A ) BU( s )−= − 
 
onde I é a matriz identidade. 
 
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- 22 - 
1
1
1
Y( s ) C( sI A ) BU( s ) DU( s )
Y( s ) [ C( sI A ) B( s ) D ]U( s )
Y( s )
C( sI A ) B( s ) D
U( s )
−
−
−
= − +
= − +
= − +
 
 
Chama-se a matriz 1[ C( sI A ) B( s ) D ]−− + de matriz função de transferência, mesmo quando Y(s) 
e U(s) forem escalares. 
 
Exemplo: Dado o sistema definido pelas equações de estado abaixo, obter a função de 
transferência G(s)=Y(s)/U(s). 
[ ]
3 1 0
u
2 0 1
y 1 0
−   
= +   −   
=
�x x
x
 
 
Calculando ( sI A )− : 
 
1 0 3 1 s 3 1
sI A s
0 1 2 0 2 s
− + −     
− = − =     −     
 
 
 
 
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- 23 - 
Cálculo da matriz adjunta: 
 
s 1
Adj( sI A )
2 s 3
 
− =  − + 
 
 
O determinante desta matriz é então: 
 
2det( sI A ) s 3s 2 ( s 1)( s 2 )− = + + = + +A matriz inversa é dada pela matriz adjunta dividida pelo determinante: 
 
1
s 11
( sI A )
2 s 3( s 1)( s 2 )
s 1
( s 1)( s 2 ) ( s 1)( s 2 )
2 s 3
( s 1)( s 2 ) ( s 1)( s 2 )
−  − =  − ++ +  
 
 + + + +
 =
− + 
 + + + + 
 
 
 
 
 
AULA 12 - REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS POR VARIÁVEIS DE ESTADO 
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Cálculo da função de transferência: 
 
[ ]
[ ]
[ ]
1
s 3 1 0
G( s ) 1 0
2 s 1
s 1
0( s 1)( s 2 ) ( s 1)( s 2 )
1 0
2 s 3 1
( s 1)( s 2 ) ( s 1)( s 2 )
1
( s 1)( s 2 )
1 0
s 3
( s 1)( s 2 )
1
( s 1)( s 2 )
−
+ −   
=    
   
 
 + + + +  
 =  − +   
 + + + + 
 
 + +
 =
+ 
 + + 
=
+ +
 
 
AULA 12 - REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS POR VARIÁVEIS DE ESTADO 
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Leitura: 
 
� OGATA (4a ed.) – cap. 3, p.58-70. 
� NISE – cap. 3, p.90-109. 
 
Problemas resolvidos: 
 
� OGATA (4a ed.) – A.3.7, A.3.8, A.3.9, A.3.11 A.3.12. 
� NISE – exemplos: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6. 
exercícios de avaliação: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4. 
 
Problemas propostos: 
 
� OGATA (4a ed.) – B.3.8, B.3.9, B.3.10, B.3.11, B.3.12, B.3.15. 
� NISE (cap. 3) – 9, 11, 13, 14, 17. 
 
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Problemas complementares: 
 
1) Considere os seguintes conjuntos de equações algébricas lineares: 
 
i) 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
3 1
3 5 2 0
x x x
x x x
x x x
+ − =

− + − =
 − − =
 ii) 
1 2 3
1 2 3
1 2
1
3 1
2 2 0
x x x
x x x
x x
+ − =

− + − =
 − =
 
 
a) Expresse as equações na forma matricial Ax = B. 
b) Encontre a inversa da matriz A. 
 
2) Expresse o seguinte conjunto de equações diferenciais de primeira ordem na forma 
x( t ) Ax( t ) Bu( t )= +� . 
 
1
1 2
2
2 3 1
3
1 2 3 2
dx ( t )
x ( t ) 2x ( t )
dt
dx ( t )
2x ( t ) 3x ( t ) u ( t )
dt
dx ( t )
x ( t ) 3x ( t ) x ( t ) u ( t )
dt
= − +
= − + +
= − − − +
 
 
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3) Obter a representação no espaço de estados do sistema descrito pelas seguintes equações 
diferenciais: 
1 1 1 2 1 1 3 2
2 4 2 5 1 6 1
y k y k y u k u
y k y k y k u
+ + = +
+ + =
�� �
� �
 
 
onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas. Os estados são 1 1x y= , 2 1x y= � e 3 2x y= . 
 
4) Considere um sistema representado por função de transferência com polinômio no 
numerador: 
4 3 2
( ) 5 10
( ) 2 5 10
Y s s
U s s s s s
+
=
+ + + +
 
 
a) Obter a representação no espaço de estados em variáveis de fase fazendo a saída como 
uma combinação linear das variáveis de entrada (Método 1). 
b) Obter a representação no espaço de estados definindo o conjunto de variáveis de estado 
como mostrado no Método 2. 
 
5) A equação diferencial a seguir representa um sistema linear invariante no tempo. Escreva as 
equações dinâmicas (equação de estados e equação de saída) na forma vetorial-matricial: 
3 2
3 3 3 0
( ) ( ) ( )
5 3 ( ) ( ) ( )
td y t d y t dy t
y t y d r t
dt dt dt
τ τ+ + + + =∫