PRINCIPIO INDUÇÃO E EXCLUSÃO

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1-) Numa classe de 30 alunos, 14 falam inglês, 5 falam alemão e 3 falam inglês e alemão. Quantos falam pelo menos uma língua dentre inglês e alemão?
Vamos denotar por A o conjunto dos alunos que falam inglês e por B o conjunto dos que falam alemão. Então queremos contar o número de elementos em A ∪ B.
Como A ∩ B 6= ∅, se simplesmente somarmos 14 com 5, teremos contado duas vezes aqueles que falam inglês e alemão.
Assim, a resposta correta é 14 + 5 − 3 = 16, ou seja, n(A) + n(B) − n(A ∩ B), onde n(A), n(B) e n(A ∩ B) denotam a cardinalidade de A, B e A ∩ B, respectivamente.
Seja x ∈ R. O maior inteiro menor do que ou igual a x é denotado por bxc. Às vezes, bxc é chamado de chão de x. O menor inteiro maior do que ou igual a x é denotado por dxe. O número dxe é chamado de teto de x.
2-) Dentre os números de 1 a 3.600 inclusive, quantos são divisíveis por 3 ou por 7?
Temos que (3.600/3) = (1.200) = 1.200 são divisíveis por 3 e (3.600/7)= (514, 28571) = 514 são divisíveis por 7.
Se somarmos 1.200 e 514, vamos contar duas vezes os números que são divisíveis por 3 e por 7, isto é, aqueles divisíveis por 21.
Temos que (3.600/21) = (171, 42857) = 171. Logo, a resposta é 1.200 + 514 − 171 = 1.543.
3-) Numa classe de 30 alunos, 14 falam inglês, 5 falam alemão e 7 falam francês. Sabendo-se que 3 falam inglês e alemão, 2 falam inglês e francês, 2 falam alemão e francês e que 1 fala as 3 línguas, determinar o número dos que falam pelo menos uma destas três línguas.
Vamos denotar por A o conjunto dos alunos que falam inglês, por B o conjunto dos que falam alemão e por C o conjunto dos que falam francês. Então queremos contar o número de elementos em A ∪ B ∪ C. Temos que n(A) = 14, n(B) = 5, n(C) = 7, n(A ∩ B) = 3, n(A ∩ C) = 2, n(B ∩ C) = 2, n(A ∩ B ∩ C) = 1. Analisando o diagrama abaixo poderemos chegar à resposta:20 alunos falam ao menos uma das três línguas.
 Note que n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) 
 −n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C)
 +n(A ∩ B ∩ C)
 = 14 + 5 + 7 − 3 − 2 − 2 + 1 = 20. 
Na fórmula n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) 
 −n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C)
 +n(A ∩ B ∩ C),
 cada elemento de n(A∪B ∪C) é contado uma, e apenas uma, vez. De fato, vamos considerar os vários casos possíveis e mostrar que em cada um deles cada elemento de n(A ∪ B ∪ C) é contado exatamente uma vez. Casos possíveis: pertencer a um dos três conjuntos; a exatamente dois deles; aos três conjuntos. No caso que um elemento pertença a somente um dos conjuntos ele será contado apenas uma vez na fórmula: em n(A), n(B) ou em n(C).
Caso ele pertença a exatamente 2 conjuntos (A e B, por exemplo), teremos duas contribuições positivas, em n(A) e em n(B), e uma negativa em n(A ∩ B). Assim, será contado 1 + 1 − 1 = 1 vez.
No terceiro caso, teremos contribuições positivas em n(A), n(B) e n(C), negativas em n(A ∩ B), n(A ∩ C) e n(B ∩ C), e mais uma positiva em n(A ∩ B ∩ C). Será contado 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 = 1 vez.
Portanto, em qualquer caso, a fórmula conta um elemento da união de A, B e C exatamente uma vez.
4-) Quantos inteiros entre 1 e 3.600 inclusive, são divisíveis por 3, 5 ou 7?
Vamos denotar por A, B e C os conjuntos dos inteiros divisíveis por 3, 5 e 7, respectivamente. Temos que n(A) = 3.600/3 = 1.200, n(B) = 3.600/5 = 720, n(C) =3600/7= 514, n(A ∩ B) = 3.600/15= 240, (A ∩ C) = 3.600/31= 171, n(B ∩ C) =3.600/35 = 102, n(A ∩ B ∩ C) = 3.600/105= 34.