Avaliação II - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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1. Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente 
conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um 
entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um 
operador linear de R³ em R³: 
 
T(x,y,z) = (z, x - y, -z) 
 
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem 
deste operador: 
 a) [(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)]. 
 b) [(0,1,0);(1,0,-1)]. 
 c) [(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)]. 
 d) [(0,-1,0);(1,0,-1)]. 
 
2. Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele 
precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não 
chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente 
não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de grandeza 
vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que 
ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u = (-
1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir: 
 
I- R = (-3,0,6). 
II- R = (-1,6,-6). 
III- R = (-1,-6,6). 
IV- R = (3,0,6). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção IV está correta. 
 b) Somente a opção II está correta. 
 c) Somente a opção I está correta. 
 d) Somente a opção III está correta. 
 
 
3. Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um 
espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao 
invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um 
produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao 
resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), classifique V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) u x v = 1. 
( ) u x v = -1. 
( ) u x v = 4. 
( ) u x v = -4. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - F - F. 
 b) F - V - F - F. 
 c) F - F - V - F. 
 d) F - F - F - V. 
 
4. Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto 
escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A 
esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade 
escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do 
paralelepípedo formado pelos três vetores. Sobre o exposto, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 
19. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 
38. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 
15. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 
12. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - F - F - V. 
 b) F - V - F - F. 
 c) F - F - V - F. 
 d) V - F - F - F. 
 
5. As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. 
Combinando estas operações, podemos realizar uma série de outros vetores que 
podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v 
= (3,-3), quanto à opção que apresenta o vetor resultante da operação w = u - 2v, 
classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) w = (4,5). 
( ) w = (-1,-1). 
( ) w = (-5,4). 
( ) w = (2,-1). 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - F - F. 
 b) F - F - V - F. 
 c) V - V - F - V. 
 d) F - V - F - F. 
 
6. Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, 
podemos colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, 
como as frequências naturais de vibração de um instrumento musical, ou de uma 
simples corda esticada. No entanto, anteriormente a isto, devemos compreender 
corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação: 
 a) É um número real que multiplica o vetor após a transformação. 
 b) É um número real que anula a transformação. 
 c) É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo. 
 d) É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação. 
 
7. O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento 
no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o 
produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no 
qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente 
ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os 
vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as opções a seguir: 
 
I- u x v = (1,8,-4). 
II- u x v = (0,8,4). 
III- u x v = (0,-8,4). 
IV- u x v = (0,8,-4). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção I está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção IV está correta. 
 
8. Seja uma transformação linear de R² em R², em relação as bases canônicas: 
 
 a) As opções II e III estão corretas. 
 b) As opções I e IV estão corretas. 
 c) As opções I e II estão corretas. 
 d) As opções III e IV estão corretas. 
 
9. Na construção civil é muito importante tomar cuidados com os chamados "estados 
limites". No projeto, usualmente devem ser considerados os estados limites últimos 
caracterizados por: 
a) perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo rígido; 
b) ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais; 
c) transformação da estrutura, no todo ou emparte, em sistema hipostático; 
d) instabilidade por deformação; 
e) instabilidade dinâmica. 
A figura a seguir mostra a representação de um deslocamento horizontal excessivo 
em uma parede de alvenaria: 
 
 a) T(x,y) = (kx,y), com k>1. 
 b) T(x,y) = (x,ky), com k>1. 
 c) T(x,y) = k(x,y), com k > 1. 
 d) T(x,y) = (-x,y). 
 
10. Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, 
permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as 
raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema 
clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a 
análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como 
também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados 
os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e 
de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações 
residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores 
da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F 
para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA: 
 
 a) F - F - V - F. 
 b) V - F - F - F. 
 c) V - V - F - V. 
 d) F - V - F - F.