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RESOLUÇÃO: Álgebra linear e aplicações - Carlos A. Callioli, Hygino H. Domingues e Roberto C. F. Costa – 6ª Edição CARVALHO, Vinicius¹ 1 Graduando em Física no Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia do Sertão Pernambucano. 1ª Parte Capitulo 1,2,3 e 4 Questão 2 Determinar os valores de a e b que tornam o sistema: { 3x − 7y = a x + y = b 5x + 3y = 5a + 2b x + 2y = a + b − 1 compatível e determinado. Em seguida resolver o sistema. R: Primeiro usaremos a combinação linear para encontrar os valores de a e b, para isso vamos separar esse sistema, em dois sistemas de duas equações e definir valores para as variáveis x e y em função de a e b, para depois combina-las. (I) { 3x − 7y = a x + y = b 5x + 3y = 5a + 2b x + 2y = a + b − 1 (I) { (II) { 3x − 7y = a x + y = b (III) { 5x + 3y = 5a + 2b x + 2y = a + b − 1 Resolvendo o sistema (II) para x e y, temos; (II) { 3x − 7y = a x + y = b ~1 (II) { −10y = a − 3b x + y = b (II) { y = 1 10 (3b − a) x = b − y (II) { y = 1 10 (3b − a) x = b − (− 1 10 (a − 3b)) (II) { y = 1 10 (3b − a) x = 1 10 (a + 7b) Fazemos agora a mesma coisa para o sistema (III) (III) { 5x + 3y = 5a + 2b x + 2y = a + b − 1 (III) { 5x + 3y − 5a − 2b = 0 x + 2y − a − b = −1 ~2 (III) { −7y + 3b = 5 x + 2y − a − b = −1 (III) { y = 1 7 (3b + 5) x + 2( 1 7 (3b + 5)) − a − b = −1 (III) { y = 1 7 (3b + 5) x = 1 7 (7a + b + 3) Agora fazendo combinação linear entre (II) e (III), ficamos com; (IV){ y: 1 10 (3b − a) = 1 7 (3b + 5) x: 1 10 (a + 7b) = 1 7 (7a + b + 3) (IV) { 7(3b − a) = 10(3b + 5) 7(a + 7b) = 10(7a + b + 3) 2 CARVALHO, Vinicius (IV) { 21b − 7a = 30b − 50 7a + 49b = 70a + 10b + 30 (IV) { −9b − 7a = −50 39b − 63a = 30 (IV) { 9b + 7a = 50 39b − 63a = 30 ~3 (IV) { 9b + 7a = 50 120b = 480 (IV) { 39(4) − 63 = 30 b = 4 (IV) { b = 4 a = 2 Agora que sabemos os valores de a e b, substituímos em (I), e resolvemos para encontrar os valores de x e y: (I) { 3x − 7y = 2 x + y = 4 5x + 3y = 18 x + 2y = 5 ~4 (I) { 3x − 7y = 2 −y = −1 5x + 3y = 18 x + 2y = 5 (I) { 3x − 7(1) = 2 y = 1 5x + 3(1) = 18 x + 2(1) = 5 S: [3,1] 1 = multiplicamos a 2ª linha por (−3) e somamos a 1ª linha. 2 = multiplicamos a 2ª linha por (−5) e somamos a 1ª linha. 3 = multiplicamos a 1ª linha por (−9) e somamos a 2ª linha. 3 = multiplicamos a 2ª linha por (−1) e somamos a 4ª linha.
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