Estudo dirigindo 5 (2)

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Universidade Federal do Agreste de Pernambuco - UAG
Curso: Engenharia de Alimentos
Disciplina: Cálculo 1
Docente: Hudson Cavalcante
Discentes: Agnys Mikaelly de Lima Silva, Jessica Porfírio Severo, João Paulo Alves Marinho e Lindembergson Carlos Monteiro Moreno.
Estudo Dirigido 5 (DERIVADAS)
DERIVADAS
Derivada, em matemática, é a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. As derivadas são fundamentais para a solução de problemas de cálculo e equações diferenciais. Em geral, os cientistas observam sistemas em mudança (sistemas dinâmicos) para obter a taxa de mudança de alguma variável de interesse, incorporam essas informações em alguma equação diferencial e usam técnicas de integração para obter uma função que pode ser usada para prever o comportamento do original sistema sob diversas condições.
Geometricamente, a derivada de uma função pode ser interpretada como a inclinação do gráfico da função ou, mais precisamente, como inclinação da reta tangente em um ponto. Seu cálculo, na verdade, deriva da fórmula de inclinação para uma linha reta, exceto que um processo de limitação deve ser usado para curvas. A inclinação é frequentemente expressa como a “elevação” sobre o "período” ou, em termos cartesianos, a razão da mudança em y para a mudança em x . Para a reta mostrada na figura , a fórmula da inclinação é (y 1 - y 0) / (x 1- x0). Outra maneira de expressar esta fórmula é [ f (x 0 + h) - f (x0)] / h , se h for usado para x1-x0 e f ( x ) para y . Esta mudança na notação é útil para avançar da ideia da inclinação de uma reta para o conceito mais geral da derivada de uma função.
Dois pontos, como ( x 0, y0 ) e ( x1, y1 ), determinam a inclinação de uma linha reta.
Para uma curva, essa proporção depende de onde os pontos serão escolhidos, refletindo o fato de que as curvas não têm uma inclinação constante. Para encontrar a inclinação em um ponto desejado, a escolha do segundo ponto é necessário para calcular a razão representada porque, em geral, a razão representará apenas uma inclinação média entre os pontos, ao invés da inclinação real em qualquer ponto (ver figura). Para contornar essa dificuldade, um processo de Limite é usado, em que o segundo ponto não é fixo, mas especificado por uma variável, como h na relação da linha reta acima. Encontrar o limite, neste caso, é um processo de encontrar um número que a razão se aproxima quando h se aproxima de 0, de modo que a razão limite represente a inclinação real no ponto dado. Algumas manipulações devem ser feitas no quociente [ f ( x0 + h ) - f ( x0 )] / h para que ele possa ser reescrito de uma forma em que o limite quando h se aproxima de 0 pode ser visto mais diretamente. Considere, por exemplo, a parábola dada por x2. Ao encontrar a derivada de x2 quando x é 2, o quociente é [(2 + h)2 - 22] / h. Expandindo o numerador, o quociente se torna (4 + 4h + h2 - 4) / h = (4 h + h2) / h . Tanto o numerador quanto o denominador ainda se aproximam de 0, mas se h não for realmente zero, mas apenas muito próximo a ele, então h pode ser dividido, resultando em 4 + h , que é facilmente visto como se aproximando de 4 como h aproxima-se de 0.
A inclinação, ou taxa instantânea de mudança, para uma curva em um ponto particular (x0, f (x0)) pode ser determinada observando o limite da taxa média de mudança como um segundo ponto (x0 + h, f (x0 + h)) aproxima-se do ponto original.
Para resumir, a derivada de f (x) em x0, escrita como f ′ (x0), (df / dx) (x0), ou Df (x0), é definida como.
Se existir esse limite.
A diferenciação - isto é, calcular a derivada - raramente requer o uso da definição básica, mas pode ser realizada por meio do conhecimento das três derivadas básicas, do uso de quatro regras de operação e do conhecimento de como manipular funções.