Lista_1-_Controle_de_Processos (1)

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Centro de Tecnologia 
Departamento de Engenharia Química 
Prof. Jackson A. de Oliveira 
Lista de Exercícios - 01 
 
Assunto: Transformada de Laplace 
1) Obtenha a solução dos problemas de valor inicial abaixo utilizando Transf. de 
Laplace: 
a) 
d2y
dt2
+ 5 ∙
dy
dt
+ 4 ∙ y t = 2 
t 0
dy
y(0)=0 e 1
dt 
 
b) 
dy
dt
+ 4 ∙ y t + 3 ∙ y t ∙ dt
t
0
= 5 ∙ 1 + t y(0) = 0 
 
2) Obtenha a Transformada Inversa de Laplace para as equações: 
a)
 s
4
)2s2s(
1
)s(ŷ
2


 b) 
3s
1
)4s(
1
)s(ŷ 


 
 
Respostas: 
 
1) 
 (a) y t =
1
2
−
1
6
∙ e−4∙t −
1
3
∙ e−t 
 (b) y t =
5
3
−
5
3
∙ e−3∙t 
 
 
2) 
 (a) y t = 2 − 2 ∙ e−t ∙ cos t − 2 ∙ e−t ∙ sen t 
 (b) y t = −
1
64
∙ e−4∙t +
1
8
∙ t2 −
1
16
∙ t +
1
64
 
 
 
 
3) Um determinado sistema físico pode ser modelado através da seguinte equação 
diferencial ordinária: 
 
)t(y3
dt
)t(dy
4
dt
)t(yd
)t(u20
dt
)t(du
14
dt
)t(ud
2
2
2
2
2
 
 
onde u(t) e y(t) representam, respectivamente, os sinais de entrada e de saída do sistema. 
Admitindo que as condições iniciais são nulas para ambas as variáveis, a função de 
transferência G(s) = Y(s)/U(s) deste sistema é: 
 
(a) 
3s4s
2s14s20
2
2


 (b) 
20s14s2
3s4s
2
2


 
 
(c) 
3s4s
20s14s2
2
2


 (d) 
20s14s2
1s4s3
2
2


 (e) 
1s4s3
2s14s20
2
2


 
 
4) Encontre a função de transferência de um sistema cujas entradas e saídas estão 
relacionadas pela equação diferencial abaixo. Admita como nulos os termos das 
condições iniciais. 
d2y
dt2
+ 3
dy
dt
+ 2y = x +
dx
dt
 
 
(a) G s =
s+2
s2+2s+1
 (c) G s =
s+1
s2+3s+2
 (e) G s =
1
s+2
 
(b) G s =
s+1
(s+1)2
 (d) G s =
e−s
s+1
 
 
5) Um sinal v(t) é expresso, no domínio de Laplace, por: 
)3s()s20s9s(
)4s5s(180
)s(V
23
2


 
No domínio do tempo, quando t tente para infinito, o sinal v(t) tente para um valor 
estacionário, constante e igual a: 
(a) 240 (b) 180 (c) 60 (d) 12 (e) 9 
 
Assunto: Funções Perturbadoras 
1) Considere que a concentração de alimentação de um reagente A num reator é, 
inicialmente, 1 mol/L. Esta concentração é então aumentada em 20% do seu valor 
inicial, permanecendo por 1 hora. Em seguida, a concentração é reduzida em 20% do 
seu valor inicial, permanecendo também por 1 hora. Finalmente, a mesma é retornada 
para o seu valor de estado estacionário inicial, conforme pode ser visto na figura abaixo: 
 
 
 
Represente a Transformada de Laplace da perturbação aplicada na concentração de 
alimentação do processo, levando em conta a consideração de variável desvio. 
 
2) (PETROBRÁS/2006) Observe a representação gráfica abaixo. Assinale a opção que 
descreve a transformada da função mostrada. 
 
(a) X(s) 1 
(b) 
A
X(s)
s
 
(c) 
A
X(s)
s 1

 
 
(d) X(s) A 
(e) 
2 2
A
X(s)
s



 
 
3) Considere uma função f(t), descrita no domínio do tempo pelo gráfico abaixo: 
 
Qual das alternativas abaixo corresponde a Transformada de Laplace de f(t)? 
(a) s 2 s s 2 s
2 2
3 3 3 5
e e e e
s ss s
            (c) s 2 s
2
3 2
e e
ss
     
(b) s 2 s
2
1,5 2
e e
ss
     (d) s 2 s 2 s
2 2
3 3 2
e e e
ss s
        
 
 
4) Pede-se: 
 a) a Laplace da função com a trajetória de perturbação plotada abaixo. 
 b) plotar, no tempo, a expressão de Laplace dada por: 
 
u s =
1
s2
−
1
s2
e−2s +
1
s2
e−4s −
1
s2
e−6s −
3
s
e−6s −
1
s
e−8s 
 
5) Qual a Transformada de Laplace da seguinte função perturbadora: