Resoluções Lista 2

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Resoluções Lista 2 
1) 
 
a) 0)1()1( 22  yyxxyx 
 
Dividindo toda a expressão por yx2 e desenvolvendo o quadrado da diferença, temos: 
0)1()1( 22  yyxxyx yx2  
 
0
)1(12
2
2




y
y
y
x
x
xx
, como o numerador tem uma 
quantidade maior de termos que o denominador, temos que separar esses termos para simplificarmos 
e depois integrá-los. 
 
0
)1(12
2
2




y
y
y
x
x
xx
 0
112
222
2
 y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
 
0
112
222
2
 y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
 0
2 2 

 
y
y
yxxx
x
x , agora podemos integrar. 
0
2 2 

 
y
y
yxxx
x
x   



  02 2
y
y
yxx
x
x
x  
 



  02 2
y
y
yxx
x
x
x  CyLny
x
xLnx 
1
2 
Resposta: CyLny
x
xLnx 
1
2 ou C
x
xLnxyLny 
1
2 
 
b) 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando tudo por x para eliminarmos o denominador, encontra-se: 

y
x
x
y



x  x
y
x
y  y  xxyy   0 xxyy 
0 xxyy , logo podemos integrar: 
   0xxyy  C
xy

22
22
, multiplicando tudo por 2 para eliminarmos o denominador, 
encontra-se: 
C
xy

22
22
2  Cyx 222  , como C2 é uma constante, podemos substituí-lo por K 
 Kyx  22 
 
c) 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando tudo por x para eliminarmos o denominador, encontra-se: 
0' xyy  0


xy
x
y
 x  0 xxyy  y  0

xx
y
y
, logo podemos integrar: 
  

0xx
y
y
 C
x
yLn 
2
2
, mudando 
2
2x
 de lado e deixando a equação em função de y , 
temos: 
C
x
yLn 
2
2
 
2
2x
CyLn   2
2x
C
ey

 , podemos desmembrar o expoente utilizando 
multiplicação de potência de mesma base. 
y
x
y '
y
x
y '
;0' xyy 3)0( y
Cyx 222 
2
2x
C
ey

  2
2
.
x
C eey

 . Como Ce é constante, podemos chamá-lo de K . 
2
2x
C
ey

  2
2
.
x
C eey

  2
2x
Key

 . Como foi dito que 3)0( y , substituímos 0x e 3y . 
2
2x
Key

  2
)0( 2
3

 Ke  03 Ke  K3 . Agora basta substituir o K pelo valor que foi encontrado 
na solução geral. 
2
2x
Key

  2
2
3
x
ey

 . 
 
Resposta: 2
2
3
x
ey

 
 
d) ;0' yxy 1)1( y 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando tudo por x para eliminarmos o denominador, encontra-se: 
0. 


y
x
y
x x  0 xyyx  xy  0



x
x
y
y
, logo podemos integrar: 
  



0
x
x
y
y
 CxLnyLn  , aplicando a propriedade de logaritmos e substituindo C por Ln|k|, 
temos que: 
kLnyxLn . , cancelamos o logaritmo em ambos os membros e colocamos a expressão em função de 
y. 
kyx . 
x
k
y  , como foi dito que 1)1( y , substituímos 1x e 1y . 
111.  kkkyx , obtém-se a solução particular: 
x
y
1
 . 
 
e) ;0' xyy 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando tudo por x para eliminarmos o denominador, encontra-se: 
;0' xyy  0


x
x
y
y x  0 xxyy , logo podemos integrar: 
   0xxyy  C
xy

22
22
, multiplicando tudo por 2 para eliminarmos o denominador, 
encontra-se: 
C
xy

22
22
2  Cyx 222  , como C2 é uma constante, podemos substituí-lo por K 
 Kyx  22 , como foi dito que 1)0( y , substituímos 0x e 1y . 
Kyx  22  K 22 )1()0(  K1 , como encontramos o valor de 1K , devemos agora voltar a 
equação geral Kyx  22 , substituir o valor de K por 1 e assim obter a solução particular: 
122  yx . 
 
f) 0'cos)1( 2  yyxxseny 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando tudo por x para eliminarmos o denominador, encontra-se: 
  x
x
y
yxxseny 


 0.cos)1( 2  0.cos)1( 2  yyxxxseny  senyx )1( 2  
1)0( y
Cyx 222 
 0
cos
)1( 2


y
seny
y
x
x
x
, logo podemos integrar e como gy
seny
y
cot
cos
 , já podemos também fazer 
essa substituição. 
  
0cot
)1( 2
ygyx
x
x
, na primeira integral devemos utilizar o método da substituição. 
 CsenyLnxLn 1
2
1 2 , multiplica-se por 2 para eliminar o denominador. 
 CsenyLnxLn 2212  . Aplicando as propriedades de logaritmos e substituindo C2 por KLn
, obtém-se: 
 KLnysenxLn  22 )1( , eliminando os logaritmos temos: Kysenx  22 )1( . 
 
g) 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando tudo por x para eliminarmos o denominador, encontra-se: 
0).1( 2 


 xy
x
y
x  0.).1( 2  xxyyx )1.( 2xy   0
)1( 2





x
xx
y
y
, integrando ambos os 
membros e aplicando o método da substituição na segunda integral, temos: 
 



0
)1( 2x
xx
y
y
 CxLnyLn  21
2
1
, multiplicando tudo por 2 para eliminarmos o 
denominador, encontra-se: CxLnyLn 21.2 2  
Aplicando as propriedades de logaritmos e substituindo C2 por KLn , obtém-se: 
KLn
x
y
Ln 
 )1( 2
2
  K
x
y

 2
2
1
 )1.( 22 xKy   )1( 2xKy  , como K é uma constante, 
podemos retirá-la de dentro da raiz. 
Resposta: )1(. 2xKy  
 
h) 0
4


 y
y
x
xx x 4  0
4



 y
y
x
x
x
,logo podemos integrar: 
 



0
4 y
y
x
x
x
, aplicando o método da substituição na primeira integral, encontraremos: 
 
 



 0
)4(
2
1 y
y
x
u
u
)1(   



0
)4(
2
1 y
y
x
u
u
 
  



04 2
1
2
1
y
y
uuuu 
CyLn
uu

2
3
2
1
.4
2
3
2
1
 CyLn
u
u 
3
2.8
2
3
2
1
 
Multiplicamos por 3 o resultado para eliminarmos o denominador e desfazemos a substituição de u. 
 
CyLnxx 33)4(24.24 3  , observando o segundo resultado, verificamos que o expoente de 
dentro do radical, possui o grau maior que o índice do radical, logo podemos extrair um fator de 
dentro do mesmo! Aproveitamos e fazemos a conversão de 3C por K. 
0')1( 2  xyyx
ux
x
u
uxxu
ãoSubstituiç





1
44
:
KyLnxxx  34).4.(24.24 , aplicando a distributiva, encontramos: 
KyLnxxxx  34..24.84.24 , reduzimos os termos semelhantes: 
KyLnxxx  34..24.16 , e finalmente colocamos o fator comum em evidência. 
KyLnxx  3)8.(4.2 
 
i) 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando tudo por x para eliminarmos o denominador, encontra-se: 
0cos 


xy
x
y
 x  0cos  xxyy  y 0cos 

xx
y
y
, integrando ambos os membros, 
temos: 
 

0cos xx
y
y
 CsenxyLn  , mudando senx de lado e deixando a equação em função de y 
, temos: 
CsenxyLn   senxCyLn   senxCey  , podemos desmembrar o expoente utilizando 
multiplicação de potência de mesma base. Como Ce é constante, podemos chamá-lo de K e invertendo 
senxe , pois o expoente é negativo, encontramos: 
senxCey   senxC eey  .  
senxe
K
y  . 
 
m) 0')()( 22  yyxyxyx 
 
Primeiro, observamos que x é fator comum no primeiro parêntese e y é fator comum no segundo 
parênteses, por isso devemos colocar cada um desses termos em evidência. 
 0')()( 22  yyxyxyx  0')1()1( 22  yxyyx 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando tudo por x para eliminarmos o denominador, temos: 
 0')1()1( 22  yxyyx   x
x
y
xyyx 


 0)1()1( 22  0)1()1( 22  yxyxyx , 
observamos agora que )1( 2y não é integrável com x , enquanto que )1( 2x não é integrável com y
, logo temos que dividir tudo pelo produto entre eles. 
 0)1()1( 22  yxyxyx  )1)(1(0)1()1( 2222 xyyxyxyx  
 0
)1()1( 22




y
y
y
x
x
x
, logo a expressão obtida pode ser integrada, utilizando o método da 
substituição. 
  


0
)1()1( 22
y
y
y
x
x
x
, integrando a expressão teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
0cos'  xyy
xx
u
xxux
x
u
xu 





2
221 2 
Substituindo o valor encontrado na segunda integral, temos: 
2
2
1
2
1
2
1
2
1
)1(
xLnuLn
u
u
x
x
x



 
, de maneira análoga com a 
derivada em y. 
  


0
)1()1( 22
y
y
y
x
x
x
 CyLnxLn  22 1
2
1
1
2
1
, multiplicando toda a expressão por 
2para eliminar os denominadores. 
 )2(1
2
1
1
2
1 22  CyLnxLn  CyLnxLn 211 22  , aplicando a propriedade de 
logaritmos, temos: 
 
 CyLnxLn 211 22   KLn
y
x
Ln 


2
2
1
1
, eliminando os logaritmos, temos: 
 K
y
x



2
2
1
1
, logo: )1()1( 22 yKx  .