AD2_MD2_Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
GABARITO
2o Semestre de 2020
Uma empresa tem o custo para produzir x bens dado por C(x) = 300 + 2, 7x. As suas receitas são
dadas por R(x) = 5x− 0, 003x2. Utilize estes dados nas questões 1 até 4.
Questão 1 [1,0 pts] Marque o item que representa a quantidade de dinheiro necessária para produzir
5 itens e a quantidade de receita ao produzir 5 itens:
a) C ′(x) e R′(x);
b) C ′(5) e R′(5);
c) C(x) e R(x);
d) C(5) e R(5).
RESPOSTA: d) Não precisa de justificativa.
Questão 2 [1,0 pts] Marque o item que melhor representa a razão custo por item, no momento que
se tem exatamente 5 itens produzidos:
a) C ′(x);
b) C ′(5);
c) C(x);
d) C(5).
RESPOSTA: b) Não precisa de justificativa.
Questão 3 [1,0 pts] Justifique sua resposta do item anterior. (Sugestão: O conceito de derivada
vem do limite de uma fração. Essa fração está dividindo duas grandezas, a grandeza da parte de cima
da fração tem uma unidade de grandeza e a de baixo tem outra. Assim a fração tem também uma
unidade de grandeza própria da divisão, como ocorre em km/h, reais/min, ... Qual seria a unidade de
grandeza dessa fração que será a mesma da nossa derivada? Como interpretar esses dados com sua
resposta do item anterior?)
RESPOSTA: Vamos analisar C ′(5). Por definição
C ′(5) = lim
x→5
C(x) − C(5)
x− 5
,
então, temos o limite de uma fração.
Mas o que vem a ser uma fração? Se temos 10 chocolates para 2 pessoas, temos a fração 102 = 5
representando que teremos 5 chocolates para cada 1 pessoa. No nosso caso a fração é C(x)−C(5)x−5 e divide
1
a variação do custo C(x) − C(5) pela variação x − 5 da quantidade de bens produzidos. Então... a
fração representará quanto varia o custo para produzir uma unidade de bem a mais. Como a variação
é dada em torno do x = 5, dizemos que ela só vale quando se tem exatamente 5 itens fabricados. Não
podeŕıamos, por exemplo, utilizar essa variação quando temos 10 itens fabricados.
Na prática, você como administrador, vai utilizar a derivada C ′(5) quando quiser avaliar a variação
de custo por item no momento que sua fábrica produziu exatamente 5 itens. Por outro lado, vai utilizar
C ′(10) quando quiser avaliar a variação de custo por item no momento que sua fábrica produziu
exatamente 10 itens.
Questão 4 [2,0 pts] Calcule as derivadas C ′(5) e R′(5).
RESPOSTA C ′(x) = 2, 7. Logo,
C ′(5) = 2, 7.
R′(x) = 5 − 0, 006x. Logo,
R′(x) = 5 − 0, 006 × 5 = 4, 97.
Questão 5 [2,0 pts] Leia a Aula 10 da apostila, na seção ”Aplicação: Poupança Nacional, Renda e
Consumo”, interprete a propensão marginal ao consumo em no mı́nimo 3 linhas diferentes do texto
da apostila.
RESPOSTA: A propensão marginal ao consumo (pmc) é a derivada da função C(x), onde C é
a função consumo global que depende da variável renda, a renda é denotada por x. Assim , a pmc
será C ′(x) que se interpreta (por um texto análogo ao da questão 1) como o aumento do consumo
que vem do aumento de uma unidade a mais na renda, no momento em que se tem a renda global
de exatamente x. Ou seja, com outras palavras, quando a renda é x, a pmc C ′(x) denotará quanto o
consumo aumenta ao se acrescentar uma unidade na renda.
Questão 6 [2,0 pts] Calcule, quando posśıvel, as primeiras e segundas derivadas das seguintes funções.
a) x
4−25x
x3−5x2 ,
b) x
6
x4+6x
.
RESPOSTA:(Meio ponto por derivada calculada corretamente)
a) Observe que
x4 − 25x
x3 − 5x2
=
(x3 − 25)x
(x2 − 5x)x
=
x3 − 25
x2 − 5x
.
Logo, (
x3 − 25
x2 − 5x
)′
=
(x3 − 25)′(x2 − 5x) − (x3 − 25)(x2 − 5x)′
(x2 − 5x)2
=
(3x2)(x2 − 5x) − (x3 − 25)(2x− 5)
(x2 − 5x)2
=
x4 − 10x3 + 50x− 125
(x2 − 5x)2
.
Já a derivada segunda fica sendo
2
(
x3 − 25
x2 − 5x
)′′
=
(x4 − 10x3 + 50x− 125)′(x2 − 5x)2 − (x4 − 10x3 + 50x− 125)((x2 − 5x)2)′
(x2 − 5x)4
=
(4x3 − 30x2 + 50)(x2 − 5x)2 − (x4 − 10x3 + 50x− 125)(2(x2 − 5x)(2x− 5))
(x2 − 5x)4
.
b) (
x6
x4 + 6x
)′
=
(
x5
x3 + 6
)′
=
(x5)′(x3 + 6) − (x5)(x3 + 6)′
(x3 + 6)2
=
5x4(x3 + 6) − (x5)(3x2)
(x3 + 6)2
=
(5x7 + 30x4) − 3x7
(x3 + 6)2
=
2x7 + 30x4
(x3 + 6)2
.
Já a derivada segunda (
x6
x4 + 6x
)′′
=
(
2x7 + 30x4
(x3 + 6)2
)′
=
(2x7 + 30x4)′(x3 + 6)2 − (2x7 + 30x4)((x3 + 6)2)′
(x3 + 6)4
=
(14x6 + 120x3)(x3 + 6)2 − (2x7 + 30x4)(2(x3 + 6)3x2)
(x3 + 6)4
.
Questão 7 [1,0 pts] Encontre os domı́nios de definição das derivadas calculadas na questão 5.
CANCELADA: Pontuação atribúıda a todos que entregaram a AD2.
Boa AD!!! “Se eu não puder fazer coisas grandiosas, eu posso fazer coisas
pequenas de forma grandiosa.” (Martin Luther King - Ĺıder e ativista norte
americano)
“Se fiz descobertas valiosas, foi mais por ter paciência do que qualquer outro
talento.” (Isaac Newton - Gênio que passou pela quarentena em 1665).
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