Aula Areas e perimetros Resumo

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Fabrício Masaharu Oiwa da Costa
O que veremos?
 Áreas e Perímetros
 Retângulo
 Quadrado
 Paralelogramo
 Trapézio
 Losango
 Triângulo
 Triângulo Equilátero
 Círculo
 Área e Circunferência
 Coroa Circular
 Setor
 Segmento
Áreas e Perímetros
Qual o Perímetro do Retângulo ao lado?
5
7
5
7
𝑃 = 5 + 5 + 7 + 7
𝑃 = 2.5 + 2.7
𝑃 = 2. (5 + 7)
𝑃 = 2.12
𝑃 = 24
𝑃 = 2. (𝑏 + ℎ)
𝑃 = 2. 𝑏 + 2. ℎ
Áreas e Perímetros
5
7
Qual a área do Retângulo ao lado?
A= 5.7
A= 35
A= 𝑏. h
Perímetro é a medida do
contorno da figura. 
Área é o preenchimento 
superficial. 
Áreas e Perímetros
5
7
Qual a área da parte pintada em 
rosa?
Pode-se contar as unidades.
𝐴 = 20
𝐴 = 𝐴𝑟𝑒𝑡.𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝐴𝑟𝑒𝑡.𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝐴𝑟𝑒𝑡.𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 35
𝐴𝑟𝑒𝑡.𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 3.5 = 15
𝐴 = 35 − 15 = 20
Áreas e Perímetros
5
7
Qual a área e o Perímetro da parte 
pintada em rosa?
𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑡.𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 + 𝑃𝑟𝑒𝑡.𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝐴 = 𝐴𝑟𝑒𝑡.𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝐴𝑟𝑒𝑡.𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
Quadrado
6
6
Qual a área e o Perímetro da parte 
pintada em rosa?
𝑃 = 4. 𝑙
A = 𝑙2
𝑃 = 4.6 = 24
A = 62 = 36
Paralelogramo
Qual a Área e o Perímetro da parte 
pintada em rosa?
𝑎 = 32 + 42 = 25 = 5
𝑃 = 2. 𝑎 + 2. 𝑏
𝑃 = 2.5 + 2.4 = 10 + 10 = 20
𝑃 = 20
𝐴 = 𝑏. ℎ
𝐴 = 5.4
𝐴 = 20
h
b
a 4
2
Trapézio
ℎ
ℎ
ℎ
𝑏
𝐵 𝑏
𝐵
𝑏
𝐵
PROPRIEDADES:
• Base Maior - B
• Base Menor - b
• Distância entre Bases ou Altura - h
Trapézio
ℎ
𝑏
𝑏
NESTE CASO: 
• Base Maior - B = 8
• Base Menor – b = 2 
• Distância entre Bases ou Altura – h = 4
Logo, a área do trapézio é:
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
. ℎ
𝐴 =
2 + 8
2
. 4
𝐴 =
10
2
. 4 = 20
Repare que, caso uma das 
medidas não seja dada, é 
possível formar um triângulo 
retângulo
Losango
𝐴𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑜 =
𝐷. 𝑑
2
Fórmula da Área de um 
Losango
Determine a área de um losango cuja medida das
diagonais menor e maior são, respectivamente, 5 cm
e 10 cm.
𝐴𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑜 =
𝐷. 𝑑
2
𝐴𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑜 =
10.5
2
𝐴𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑜 =
50
2
𝐴𝑙𝑜𝑠𝑎𝑛𝑔𝑜 = 25 𝑐𝑚²
Triângulo
h
b
Qual a Área e o Perímetro da parte 
pintada em rosa?
𝑎 = ℎ2 + 𝑏2 = 32 + 42 = 5
𝑃 = 𝑏 + ℎ + 𝑎 = 3 + 4 + 5 = 12
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
=
3.4
2
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
= 6
a
h
h
b
b
Triângulo Equilátero
h
𝑙 𝑙
𝑙
60°
PROPRIEDADES:
• Todos lados 𝑙 iguais. 
• Altura h não é igual a 𝑙
• Todos os ângulos medem 60°
• 𝑃 = 3. 𝑙
𝑃 = 3.5 = 15
• 𝐴 = 𝑏. ℎ
• ℎ = 𝑙. 𝑠𝑒𝑛60° = 𝑙.
3
2
• 𝐴 = 𝑙. 𝑙.
3
2
= 𝑙2.
3
2
𝐴 = =
𝑙2. 3
4
=
52. 3
4
= 25.0,433 ≅ 10,83
Triângulo Equilátero
Polígonos Regulares (Que 
possuem todos os lados 
iguais) – Podem ser 
decompostos em 
triângulos equiláteros –
Para calcular suas áreas, 
basta calcular a área do 
triângulo e multiplicar 
pela quantidade de 
triângulos presentes. 
Circulo
 Principais elementos do Círculo
CordaDiâmetro
Raio
Arco
Área do Círculo
 A partir dessas aproximações, 
temos que:
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋. 𝑟
2
Qual a área de um Círculo que 
possui diâmetro de 12cm?
𝑟 =
𝐷
2
𝑟 =
12
2
𝐴 = 𝜋. 𝑟2
𝐴 = 𝜋. 62
𝐴 = 36𝜋 𝑐𝑚2
Ou
𝐴 ≅ 113,04𝑐𝑚2
(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜋 = 3,14)
Área do Círculo
 A partir dessas aproximações, temos que:
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋. 𝑟
2 = 𝜋.
𝐷
2
2
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋.
𝐷2
22
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋.
𝐷2
4
Qual a área de um Círculo que possui diâmetro de 12cm?
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋. 36
𝐴 = 36𝜋 𝑐𝑚2
Circunferência
 A Circunferência (C) seria o 
perímetro do círculo. 
Dado por: 
𝐶 = 2𝜋. 𝑟
Ou 
𝐶 = 2𝜋.
𝐷
2
𝐶 = 𝜋. 𝐷
Fonte: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/construcao-poligonos-circunscritos.htm
Circunferência
 A Circunferência (C) seria o 
perímetro do círculo. 
Dado por: 
𝐶 = 2𝜋. 𝑟
Ou 
𝐶 = 2𝜋.
𝐷
2
𝐶 = 𝜋. 𝐷
6cm
𝐶 = 2𝜋. 𝑟 = 2𝜋. 3 = 6𝜋
Ou 
𝐶 = 𝜋.𝐷 = 𝜋. 6 = 6𝜋 𝑐𝑚 𝑜𝑢 18,84𝑐𝑚
Coroa Circular
𝑟
𝑅
 Para calcular a área da Coroa Circular ou Anel 
Circular. 
𝐴 = 𝐴𝐶𝑖𝑟𝑐.𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝐴𝐶𝑖𝑟𝑐.𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟
𝐴 = 𝜋. 𝑅2 − 𝜋. 𝑟²
𝐴 = 𝜋. (𝑅2 − 𝑟2)
 Para calcular o perímetro, somam-se os perímetros:
𝑃 = 2𝜋. 𝑟 + 2𝜋. 𝑅
𝑃 = 2𝜋. (𝑟 + 𝑅)
Coroa Circular
3
4
Exemplo:
𝐴 = 𝜋. (𝑅2 − 𝑟2)
𝐴 = 𝜋. (42 − 32)
𝐴 = 𝜋. (16 − 9)
𝐴 = 7𝜋
𝑃 = 2𝜋. (𝑟 + 𝑅)
Coroa Circular
3
4
Exemplo:
𝐴 = 𝜋. (𝑅2 − 𝑟2)
𝐴 = 𝜋. (42 − 32)
𝐴 = 𝜋. (16 − 9)
𝐴 = 7𝜋
𝑃 = 2𝜋. (𝑟 + 𝑅)
𝑃 = 2𝜋. 3 + 4
𝑃 = 14𝜋
Setor Circular
 Para calcular o arco 𝑙 conhecendo o 
ângulo 𝛼
𝑙 =
2𝜋. 𝑟. 𝛼
360°
𝑙 =
𝜋. 𝑟. 𝛼
180°
𝑙
𝛼
 Percebe-se que o Arco 𝑙 é uma parte da 
circunferência. Segue a relação:
2𝜋. 𝑟 → 360°
𝑙 → 𝛼
 Para calcular o ângulo 𝛼 conhecendo o 
arco 𝑙
𝛼 =
𝑙. 360°
2𝜋. 𝑟
𝛼 =
𝑙. 180°
𝜋. 𝑟
Setor Circular
𝑙 =
𝜋. 𝑟. 𝛼
180°
𝑙 =
𝜋. 10.60°
180°
𝑙 =
10𝜋
3
𝑐𝑚 𝑜𝑢 𝑙 ≅ 10,46 𝑐𝑚
𝑙
𝛼
 Exemplo: Qual é o arco formado pelo ângulo 
60° numa circunferência de raio 10cm?
Setor Circular
𝑙
𝛼
 Exemplo: 
 Numa circunferência de 5cm de raio, há uma 
arco de 3,14 cm. Qual o ângulo formado?
𝛼 =
𝑙. 180°
𝜋. 𝑟
𝛼 =
3,14.180°
3,14.5
𝛼 =
180°
5
= 36°
Setor Circular
𝑙
𝛼
 Área de um Setor Circular: 
Basta seguir a proporção com a área circular.
𝜋. 𝑟2 → 360°
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 → 𝛼
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝜋. 𝑟2. 𝛼
360°
, 𝛼 𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝑟2. 𝑙
2
, 𝛼 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠
Setor Circular
𝑙
60°
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝜋. 𝑟2. 𝛼
360°
, 𝛼 𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝑟2. 𝑙
2
, 𝛼 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠
6cm
Setor Circular
𝑙
60°
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝜋. 𝑟2. 𝛼
360°
, 𝛼 𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝜋. 62. 60°
360°
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝜋. 36
6
= 6𝜋 𝑐𝑚2
Ou 
𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 = 18,84 𝑐𝑚
2
6cm
Segmento Circular
 Por fim, retoma-se a ideia de Corda. 
Corda
Segmento Circular
 Por fim, retoma-se a ideia de Corda. 
𝛼
𝑅𝑅
𝐴 𝐵
𝑂
Segmento de 
Círculo relativo à 
corda AB
 Por fim, retoma-se a ideia de 
Corda. 
𝐴𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 − 𝐴∆𝑂𝐴𝐵
𝐴𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
𝛼𝑅2
2
−
𝑅2𝑠𝑒𝑛𝛼
2
𝐴𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
𝑅2
2
(𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝛼)
Segmento Circular 
Maior
Resumindo
Á𝒓𝒆𝒂 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋. 𝑟
2
𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒐𝒖 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂: 𝐶 = 2𝜋. 𝑟
𝑪𝒐𝒓𝒐𝒂 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 𝐴 = 𝐴𝐶𝑖𝑟𝑐.𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝐴𝐶𝑖𝑟𝑐.𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝐴 = 𝜋. (𝑅
2 − 𝑟2)
𝑨𝒓𝒄𝒐𝒔: 𝑙 =
𝜋. 𝑟. 𝛼
180°
𝑜𝑢 𝛼 =
𝑙. 180°
𝜋. 𝑟
𝑺𝒆𝒕𝒐𝒓 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝜋. 𝑟2. 𝛼
360°
𝑜𝑢 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =
𝑟2. 𝑙
2
𝑺𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓: 𝐴𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =
𝑅2
2
(𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝛼)