RELATÓRIO 4 - Movimento de Queda Livre

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
ENGENHARIA DE ENERGIA 
 
 
 
 
 
 
 
MOVIMENTO DE QUEDA LIVRE 
 
Matheus Henrique Cavalheiro Garros RGA 20170614116702 
Mayara Francisca Reis de Souza RGA 20170614117772 
Thiago Alves Garcia RGA 20170614134792 
 
Prof. Dr. Fábio Alencar dos Santos 
 
 
 
 
 
Dourados – MS 
Julho de 2017 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 OBJETIVO.............................................................................................................................3 
2 RESUMO................................................................................................................................3 
3 INTRODUÇÃO TEÓRICA...................................................................................................3 
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL...............................................................................4 
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO............................................................................................6 
5.1 Esfera 1.................................................................................................................................6 
5.2 Esfera 2.................................................................................................................................7 
5.3 Esfera 3.................................................................................................................................7 
5.4 TABELAS 1 E 2...................................................................................................................8 
5.5 TABELAS 2 E 3...................................................................................................................9 
5.6 ANÁLISE DOS GRÁFICOS............................................................................................10 
5.6.1 GRÁFICO 1....................................................................................................................10 
5.6.2 GRÁFICO 2....................................................................................................................10 
5.6.3 GRÁFICO 3....................................................................................................................12 
5.6.4 GRÁFICO 4....................................................................................................................13 
5.6.5 GRÁFICO 5....................................................................................................................14 
5.7 GRÁFICOS ANEXADOS.................................................................................................15 
5.8 COMPARAÇÃO COM OS VALORES TEÓRICOS ....................................................20 
6 CONCLUSÃO......................................................................................................................21 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................21
3 
 
 
 
1 OBJETIVO 
O objetivo do experimento que será descrito neste relatório foi estudar e provar as 
características e propriedades do movimento em queda livre. Essas características e 
propriedades foram provadas através da queda de esferas de diferentes massas e diâmetros, 
aceleradas pela própria gravidade, e a utilização de um cronômetro automático que permitia 
obter os intervalos de tempo que essas levavam para percorrer determinada distância. 
 
2 RESUMO 
 Esse experimento teve como foco o estudo do Movimento de Queda Livre (MQL), suas 
propriedades e características. Esse estudo foi realizado com base em um arranjo experimental 
composto por esferas de metal de diferentes diâmetros, que eram colocadas em queda a partir 
de um eletroímã que ao ser desligado as soltava em direção ao solo. O tempo de queda dessas 
esferas foi medido por sensores que disparavam e paravam um cronômetro, e a distância 
percorrida pelas esferas foi obtida através da escala disponível na haste onde estavam os 
sensores. Desse modo se pode obter as grandezas diretas que permitiam obter indiretamente as 
velocidades e acelerações dessas esferas a partir das equações que regem o MQL. Também se 
usou as equações de propagações de erros para se chegar nos erros de medidas indiretas. A 
partir de todos esses fatos, foi possível validar as propriedades e características do MQL. 
 
3 INTRODUÇÃO TEÓRICA 
O experimento descrito neste relatório teve como objetivo estudar o movimento de 
queda livre. Para isso foram coletadas diversas medidas diretas de algumas grandezas para que 
fosse possível obter indiretamente as grandezas que fossem pertinentes. 
Como foram realizadas diversas medidas de uma mesma grandeza durante esse 
experimento, também foram aplicados os respectivos desvios para que fosse possível chegar 
nos valores mais prováveis dessas grandezas, através do cálculo do desvio de cada medida que 
possibilita obter o desvio padrão do valor médio das medidas. Com o valor do desvio padrão é 
possível decidir qual desvio ou erro usar, o desvio padrão ou o próprio erro associado ao 
instrumento de medida 
4 
 
 
 
Para obter indiretamente as grandezas que fossem necessárias ao experimento foram 
utilizadas as equações que descrevem o movimento em queda livre, que são a função horária 
dos espaços em queda livre, dada por 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2, e a função horária da velocidade 
em queda livre, dada por 𝑣 = 𝑣0 + 𝑔𝑡. Para esse experimento, é possível definir 𝑣0 como sendo 
zero. 
Como foram usadas as equações de propagação de erros, é possível aplica-las nessas 
funções, de modo a conseguir o valor mais provável das grandezas de que se tem interesse. 
Assim, para a função 𝑦𝑓 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
 𝑔𝑡², aplicando a propagação de erros para as 
operações, considerando a velocidade inicial como sendo zero e isolando a aceleração, se 
obtêm: 
𝑔 =
(𝑦𝑓−𝑦0)
[
1
2
(𝑡)2]
 ± 
1
[
1
2
(𝑡)2]²
{[
1
2
(𝑡)2]. (𝛿𝑦
𝑓
+ 𝛿𝑦
0
) + (𝑦
𝑓
−𝑦
0
) . [
1
2
(2𝑡𝛿𝑡)]} 
Essa equação fornece a aceleração gravitacional indiretamente e sua incerteza. Do 
mesmo modo é possível obter a velocidade, a partir da função horária da velocidade em queda 
livre. Considerando a velocidade inicial como zero para obter a velocidade indiretamente com 
sua incerteza, aplicando a propagação de erros nas operações necessárias, se tem: 
𝑣 = (𝑔. 𝑡) ± ( 𝑔𝛿𝑡 + 𝑡𝛿𝑔) 
 Uma ressalva importante é citar que o movimento em queda livre pode ser considerado 
como MRUV, como se pode notar a partir das funções que descrevem esse movimento, pois o 
MQL nada mais é do que um deslocamento na vertical com aceleração constante. O valor 
positivo da aceleração gravitacional depende do referencial adotado, podendo ser negativo caso 
se analisasse, por exemplo, um lançamento vertical. 
 
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 A etapa experimental se deu por meio do contato com instrumentos como o 
cronômetro automático, a balança mecânica, dois sensores e uma haste para testes de queda 
livre. Também foram utilizados alguns objetos simples, como três esferas. 
 Um dos principais instrumentos utilizados nesse instrumento foi haste com escala em 
centímetros (Figura 1), onde podem ser acoplados dois sensores ópticos. Antes da utilização da 
5 
 
 
 
haste é preciso ajusta-la a superfície, deixando o prumo totalmente paralelo a mesma. Para 
realizar o experimento, algumas esferas são presas ao eletroímã da haste e quando desligado 
caem em direção ao solo, ao passarem pelos sensores é possível saber o tempo que a esfera 
demora para percorrer a distância entre um e outro, e essa distância é mostrada na própria escala 
da haste. Essa escala possui um erro instrumental de ± 0,05 centímetros. 
(Figura 1) 
Caso a haste não esteja nivelada, as esferas não passarão corretamente pelos sensores. 
O tempo do deslocamento entre um sensor e outro é mostrado por um cronômetro automático 
(Figura 2), de erro instrumental iguala ± 0,001 s. A posição do sensor final foi trocada 5 vezes 
durante as quedas com cada esfera, e para cada nova posição, foram realizadas 5 quedas. A 
posição do sensor inicial se manteve a mesma durante todo o experimento. 
(Figura 2) 
 As esferas utilizadas no procedimento experimental, foram medidas em uma balança 
mecânica (Figura 3), para que fosse possível determinar suas massas. Foram realizadas 5 
medidas de cada esfera para que fosse possível determinar o valor mais provável dessa medida. 
A balança mecânica possui erro instrumental de ± 0,2 gramas. 
6 
 
 
 
 Também foi medido o diâmetro das esferas de metal, com o auxílio de um micrômetro 
(Figura 4). O diâmetro de cada esfera foi medido 5 vezes de modo a tentar se aproximar do 
valor mais provável dessa medida. O erro instrumental do micrômetro é de ±0,005 cm. 
 (Figura 3) (Figura 4) 
 Após realizado o experimento, os valores de tempo, posição final, massa e 
diâmetro, foram anotadas em um caderno, e organizados em tabelas. 
 
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 Após realizado todo o procedimento experimental, foram montadas tabelas (pág. 8 e 9) 
com todos os dados obtidos e grandezas que se pode chegar através de cálculos indiretos. Essas 
tabelas foram montadas com os valores já arredondados para seus respectivos algarismos 
significativos. 
 Como ao aplicar a propagação de erros alguns desvios para o tempo quadrático ficaram 
menores que a quantidade de algarismos significativos usada, esses desvios foram 
desconsiderados. 
 
5.1 Esfera 1 
 Para a esfera 1, com diâmetro e massa maior, foi possível notar que os resultados 
diferenciaram muito das outras duas, e isso pode ter sido causado justamente pelas medidas do 
seu diâmetro, que por serem maiores podem ter afetado os resultados obtidos através dos 
sensores, já que o correto seria ele iniciar a contagem e termina-la quando o centro de massa 
passasse pelos mesmos, mas isso não é possível, então a contagem terminou antes que isso 
ocorresse. 
 
7 
 
 
 
5.2 Esfera 2 
 A esfera 2 com diâmetro e massa média, teve resultados próximos ao que se desejava, 
mas também não foi possível chegar nos resultados precisos, possivelmente pelos mesmos 
motivos da esfera 1. 
 
5.3 Esfera 3 
 Para a esfera 3, com as menores medidas de diâmetro e massa se pode notar que os 
resultados foram muito próximos, muitos até idênticos aos obtidos com a esfera 2, provando 
que quando a resistência do ar pode ser desprezada, os corpos cairão com a mesma velocidade, 
o que poderia ser observado também pela esfera 1, caso fosse possível uma análise apenas do 
seu centro de massa. Como as esferas 2 e 3 eram relativamente menores, as medidas ficam mais 
precisas.
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5.6 ANÁLISE DOS GRÁFICOS 
 Com base nos dados recolhidos experimentalmente, foram criados gráficos em papel 
milimetrado e papel di-log, para que fosse possível realizar uma análise em cima dos mesmos. 
Os dados foram adaptados para a escala dos papéis, de modo a ocuparem a maior parte possível 
da folha. 
Também foram realizados o cálculo dos coeficientes das curvas presentes nos gráficos, 
além do Método dos Mínimos Quadrados. 
 
5.6.1 GRÁFICO 1 
 Neste gráfico foram colocados os pontos que representam os valores de posição final e 
tempo, ligando ponto a ponto, para as 3 esferas de metal. É possível concluir que as duas esferas 
com menor diâmetro (2 e 3) têm curvas bastante semelhantes, diferindo em apenas um ponto. 
Já a esfera 1, que é maior, tem curva de desenho semelhante, mas valores diferentes, o que faz 
reaparecer a questão de o diâmetro maior atrapalhar a leitura precisa por parte dos sensores. 
 
5.6.2 GRÁFICO 2 
 Para este gráfico, foram utilizados os valores das posições finais e tempos quadráticos, 
e foram calculados os coeficientes da curva ligando o primeiro ponto ao último, além da 
aplicação dos mínimos quadrados. As informações acerca desses valores foram organizadas em 
tabelas: 
TABELA 5 E 6: Dados para o cálculo do MMQ e coeficientes para a Esfera 1: 
Posição (Esfera 1) 𝑥𝑖 𝑥𝑖² 𝑦𝑖 (𝑥𝑖 . 𝑦𝑖) 
 1 0,102 0,010404 60 6,120 
2 0,082 0,006724 48 3,936 
3 0,057 0,003249 36 2,052 
4 0,036 0,001296 24 0,864 
5 0,016 0,000257 12 0,192 
Somatório 𝛴 = 0,293/ 𝛴² = 0,085849 𝛴 = 0,02193 𝛴 = 180 𝛴 = 13,164 
 
 
 
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TABELA 6: 
Esfera 1 Curva inicial MMQ 
Coeficiente Angular 441,1 549,6 
Coeficiente Linear 4,4 3,8 
Equação da Reta 𝑦 = 441,1𝑥 + 4,4 𝑦 = 549,6𝑥 + 3,8 
 
TABELAS 7 E 8: Dados para o cálculo do MMQ e coeficientes para a Esfera 2: 
Posição (Esfera 2) 𝑥𝑖 𝑥𝑖² 𝑦𝑖 (𝑥𝑖 . 𝑦𝑖) 
 1 0,113 0,012769 60 6,780 
2 0,089 0,007921 48 4,272 
3 0,066 0,004356 36 2,376 
4 0,043 0,001849 24 1,032 
5 0,020 0,000400 12 0,240 
Somatório 𝛴 = 0,331/ 𝛴² = 0,109561 𝛴 = 0,027295 𝛴 = 180 𝛴 = 14,926 
 
TABELA 8: 
Esfera 2 Curva inicial MMQ 
Coeficiente Angular 495,3 559,2 
Coeficiente Linear 2,5 -1 
Equação da Reta 𝑦 = 495,3𝑥 + 2,5 𝑦 = 559,2𝑥 − 1 
 
TABELAS 9 E 10: Dados para o cálculo do MMQ e coeficientes para a Esfera 3: 
Posição (Esfera 3) 𝑥𝑖 𝑥𝑖² 𝑦𝑖 (𝑥𝑖 . 𝑦𝑖) 
 1 0,113 0,012769 60 6,780 
2 0,089 0,007921 48 4,272 
3 0,066 0,004356 36 2,376 
4 0,043 0,001849 24 1,032 
5 0,021 0,000441 12 0,252 
Somatório 𝛴 = 0,332/ 𝛴² = 0,110224 𝛴 = 0,027336 𝛴 = 180 𝛴 = 14,938 
 
TABELA 10: 
Esfera 3 Curva inicial MMQ 
Coeficiente Angular 487,8 564,3 
Coeficiente Linear 3 -1,5 
Equação da Reta 𝑦 = 487,8𝑥 + 3 𝑦 = 564,3 − 1,5 
 
12 
 
 
 
 A partir desses dados é possível notar novamente a diferença da Esfera 1 com as outras 
esferas, que novamente tiveram curvas bastante próximas. O MMQ forneceu valores próximos 
dos obtidos experimentalmente, mas ainda não foram os mesmos, pois a inclinação da reta foi 
muito maior utilizando o Método dos Mínimos Quadrados. Também é importante ressaltar que 
o valor usado para realizar o cálculo da escala do papel, foi o maior valor obtido via MMQ, 
pois era maior que os dados experimentais. 
 Os valores de coeficientes obtidos a partir dessas curvas remetem a aceleração, pois 
relacionando os eixos desse gráfico, se tem centímetros por segundo ao quadrado. 
 
5.6.3 GRÁFICO 3 
 Para este gráfico foi utilizado o papel com escala logarítmica, e bastou adaptar os eixos 
e inserir os valores. Para esse gráfico também é possível obter os valores dos coeficientes das 
curvas que estão sobre o mesmo: 
 TABELA 11: Dados dos coeficientes referentes as esferas 1, 2 e 3 a partir do gráfico 3: 
 
É possível aplicar o logaritmo também para a função horária da posição em queda livre, 
assim se tem log (∆𝑦) = log (
1
2
 𝑔𝑡2), portanto, aplicando as propriedades do logaritmo 
log(∆𝑦) = log (
1
2
) + log(𝑔) + 2log (𝑡). A partir dessa equação é possível estimar os valores 
da aceleração da gravidade. Esses valores foram listados na tabela abaixo: 
 
 
 
Coeficientes Esfera 1 Esfera 2 Esfera 3 
Angular 1,7 1,9 1,9 
Linear 0,9 0,8 0,7 
Equação da 
reta 
log (𝑦) = 1,7log (𝑥) + 0,9 log (y) = 1,9(log𝑥) + 0,8 log (𝑦) = 1,9log(𝑥) + 0,7 
13 
 
 
 
TABELA 12: Valores estimados da aceleração gravitacional a partir do gráfico di-log 
para todas as esferas: 
Posição (cm) Aceleração gravitacional 
p/ Esfera 1 (cm/s²) 
Aceleração gravitacional 
p/ Esfera 2 (cm/s²) 
Aceleração gravitacional 
p/ Esfera 3 (cm/s²) 
60 1179 1063 1063 
48 1207 1074 1074 
36 1260 1090 1090 
24 1330 1109 1120 
12 1512 1157 1190 
 
A partir dos dados e da função horária com o logaritmo aplicado é possível notar a 
dependência da posição com o tempo quadrático, pois, a propriedade do log diz que o expoente 
multiplica o resultado do logaritmo, assim, o tempo aumentará seu valor, diferente da equação 
que se tinha antes, onde como os valores de tempo são menores que 1, ao elevá-los ao quadrado, 
eles se tornam ainda menores. 
 
5.6.4 GRÁFICO 4 
 O quarto gráfico foi construído tendo como base os valores obtidos de velocidade etempo. Foram desenhadas três curvas, cada uma representando uma das três esferas. A partir 
dessas curvas foram definidos os valores dos coeficientes angulares e lineares, organizados na 
tabela abaixo: 
TABELA 13: Coeficientes angulares e lineares obtidos a partir do gráfico 4 para as três 
esferas: 
 
 A partir do gráfico é possível notar que as esferas 2 e 3 tiveram curvas novamente 
parecidas, em contraste com a curva da esfera 1, embora todas as três tenham sido crescentes, 
Coeficientes Esfera 1 Esfera 2 Esfera 3 
Angular 954,1 993,0 973,5 
Linear 71,5 26,3 30,1 
Equação da reta 𝑦 = 954,1𝑥 + 71,5 𝑦 = 993,0𝑥 + 26,3 𝑦 = 973,5𝑥 + 30,1 
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devido a aceleração, que teoricamente deveria ser constante. É interessante ressaltar também 
que boa parte dos pontos se encontraram em cima da reta traçada do primeiro ao último ponto, 
demonstrando uma boa correspondência entre os dados experimentais. 
 O valor do coeficiente angular desse gráfico leva a um valor bastante próximo do valor 
teórico da aceleração gravitacional, pois a inclinação da curva desse gráfico é causada 
justamente por essa alteração, que caso não existisse, resultaria em uma inclinação nula, ou 
seja, um gráfico paralelo ao eixo x. 
 Embora o valor do coeficiente angular não seja semelhante aos valores obtidos 
experimentalmente para a aceleração gravitacional, esse valor é bastante próximo. 
 
5.6.5 GRÁFICO 5 
 O gráfico 5 teve suas curvas desenhadas tendo como base os valores das acelerações e 
tempos obtidos experimentalmente para todas as esferas. Para essas curvas foram obtidos 
apenas os valores referentes aos coeficientes angulares, pois o valor do coeficiente linear é 
obtido a partir do prolongamento da reta até que ela toque o eixo y, ou seja, até que x seja zero, 
mas o prolongamento dessas curvas não foi suportado pelas dimensões da folha utilizada. 
TABELA 14: Coeficientes angulares para as três esferas utilizando as curvas do gráfico 5: 
Coeficiente: Esfera 1 Esfera 2 Esfera 3 
Angular -1721,4 -547,7 -626,0 
 
 Os valores dos coeficientes angulares foram negativos porque trata-se de uma reta 
decrescente, dado que os valores da aceleração diminuíram conforme um maior intervalo de 
tempo foi utilizado. Esse fato permite perceber que quanto maior o tempo de queda, mais 
próximo se chega do valor real da aceleração gravitacional, devido a que os erros dos 
instrumentos utilizados durante o procedimento experimental se tornam mais insignificantes 
pois se tratariam de grandezas de valor maio
20 
 
 
 
5.8 COMPARAÇÃO COM OS VALORES TEÓRICOS 
 Após todo o processo de análise dos dados, os resultados foram comparados com o valor 
teórico da aceleração da gravidade, para ser possível obter uma margem de erro para esses 
valores: 
TABELA 15: Comparação dos resultados experimentais com os valores teóricos da 
aceleração gravitacional para todas as esferas: 
Posição final Erro percentual p/ esfera 1: Erro percentual p/ esfera 2: Erro percentual p/ esfera 3: 
60 -54% -18% -20% 
48 -36% -13% -14% 
36 -28% -11% -11% 
24 -23% -9% -9% 
12 -20% -8% -8% 
Erro da média: -32% -12% -12% 
 
 Se pode notar que a esfera média foi a que obteve os melhores resultados e com menor 
taxa de erro. O valor negativo da porcentagem se refere ao fato que de os valores obtidos 
experimentalmente foram maiores que os valores teóricos
21 
 
 
 
6 CONCLUSÃO 
 A partir de todas as conclusões e dados obtidos no decorrer a após o procedimento 
experimenta, se pode comprovar as características e propriedades do MQL (Movimento de 
Queda Livre). 
Embora os resultados do experimento não serem os esperados, eles foram bastante 
próximos, e os erros que ocorreram puderam ser associados a partes do arranjo experimental, 
como o diâmetro das esferas que impossibilita a leitura apenas do movimento do seu centro de 
massa. 
Outro fato importante a destacar, é a utilização das equações de propagação de erros 
aplicadas nas mais diferentes situações, como na função horária dos espaços em queda livre, 
que permite saber até onde os erros causados durante o procedimento experimental afetaram os 
resultados finais a que se tinha interesse em obter. 
 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
AULA 7: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS. Disponível: 
<https://docs.wixstatic.com/ugd/52cd07_7e6c685c1330434ba8a797d0c15663fc.pdf>. Data de 
acesso: 09/07/2017.