Aula 02 - Equações diferenciais

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Aula 02 
Campo Escalar e Vetorial 
Integral de linha 
Teorema de Green: Definição
Professor. Sandro Gomes
Disciplina: Equações Diferenciais
Notável Mestre
Aula 02
Campos Escalares e Vetoriais
Campo Escalar
Um campo escalar é aquele em que todos os pontos representam grandezas isentas de direção e sentido. 
Seja D uma região no espaço e seja uma função escalar definida em D. Então, a cada ponto P ∈ D, associa uma única
grandeza escalar . A região D, juntamente com os valores de em cada um de seus pontos, é chamada campo escalar.
Dizemos também que define um campo escalar sobre D 
Alguns exemplos desse tipo de campo são: a distribuição de temperaturas máximas em um mapa, cotas de pontos notáveis em
um terreno, densidades populacionais em bairros de uma cidade, etc.
Seja D um sólido esférico no espaço. Se a temperatura em qualquer ponto P(x,y,z) de D é proporcional à distância de P à
origem, então a função escalar T(x,y,z) = define um campo escalar em D chamado de campo de
temperatura em D
f f
f ( p) f
f
k .√x2+y2+z2
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Campos Escalares e Vetoriais
Campo Vetorial
Num campo vetorial, cada ponto está associado a um vetor, que possui uma norma ou módulo, direção e sentido.
Seja D uma região no espaço e seja uma função vetorial definida em D. Então, a cada ponto P ∈ D, associa um único
vetor f(P). A região D, juntamente com os correspondentes vetores f(P), constitui um campo vetorial. Dizemos também que 
define um campo vetorial sobre D.
Alguns exemplos desse tipo de campo distribuição da velocidade de um fluido, a região no entorno de uma carga elétrica ou um
corpo com magnetismo, a direção da inclinação de um terreno indicando os divisores de águas, etc.
f⃗ f⃗
f⃗
Seja D a atmosfera terrestre. Se cada ponto P(x,y,z) de D associamos o vetor que dá a velocidade do vento em P
definimos um campo vetorial em D chamado de campo velocidade.
V⃗ (P)
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Campo Vetorial no 
Um campo vetorial em é uma função . . Neste caso, o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas 
componentes P e Q da seguinte forma: F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j = (P(x, y),Q(x, y)).
Observe que P e Q são campos escalares, ou seja, funções de duas variáveis.
Considere o campo vetorial em definido por F(x,y) = -yi + xj
ℝ2 F⃗ :D→ℝ2 , D∈ℝ2
ℝ2
ℝ2
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Campo Vetorial no 
Um campo vetorial em é uma função . . Neste caso, o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas 
componentes P e Q da seguinte forma: F(x, y,z) = P(x, y,z)i + Q(x, y,z)j + R(x,y,z)K= (P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x,y,z)).
Observe que P, Q e R são campos escalares, ou seja, funções de três variáveis.
Considere o campo vetorial em definido por F(x,y,z) = yi + zj+xk
ℝ3 F⃗ :D→ℝ3 , D∈ℝ3
ℝ3
ℝ3
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Vetor Gradiente 
 Seja f uma função de duas variáveis e seja um ponto do seu Domínio. Se as derivadas parciais existem neste ponto,
 então define-se o Vetor Gradiente da f no ponto denotado por , como:
(x0 , y 0) fxe fy
(x 0 , y0) ∇ f
∇ f (x0 , y0)=( fx (x0 , y0) , fy(x0 , y0))=(
∂ f
∂ x
(x0 , y0) ,
∂ f
∂y
(x0 , y0))
Importante notar que o Gradiente é uma função vetorial, isto é, para cada pode-se associar o vetor (x , y)∈D ∇ f (x , y)
Podemos generalizar o conceito de gradiente para funções com mais de duas variáveis . Seja e , então para qualquer ponto
 onde existam as derivadas parciais , podemos definir o Vetor Gradiente por:
D⊂ℝn f :D→ℝ
(x1 , x2 , x3 , ... , xn)∈D fx1 , f x2 , fx3 , f x 4 , ... , fxn
∇ f (x1 , x2 , x3 , ... , xn)=( fx1(x1 , x2 , x3 , ... , xn) , f x2(x1 , x2 , x3 , ... , xn) , f x3(x1 , x2 , x3 , ... , xn) , ... , f xn(x1 , x2 , x3 , ... , xn))
O Vetor Gradiente é um vetor normal a curva de nível de uma função. E como visto acima para calcular o vetor gradiente basta
calcular as derivadas parciais da função e colocá-la no vetor.
Curva de nível
Relembrando...
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Exemplo 1 
Vetor Gradiente 
Vamos encontrar o vetor normal a curva de nível da função no ponto P(1,1).F (x , y)=x2+ y2
O Vetor Gradiente é um vetor normal a curva 
de nível de uma função
∇ f (x0 , y0)=(
∂ f
∂x
(x0 , y0) ,
∂ f
∂ y
(x0 , y0))
Então:
∇ f (x0 , y0)=(
∂ f
∂x
(x0 , y0) ,
∂ f
∂ y
(x0 , y0))
∇ f (x , y)=( ∂ f
∂ x
(x ,y ) , ∂ f
∂y
(x , y))
∂ f
∂x
(x , y )=2 x
∂ f
∂y
(x , y)=2y
∇ f (x , y)=(2 x ,2 y )
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Exemplo 1 
Vetor Gradiente Continuação 
F (x , y)=x2+ y2
∇ f (x , y)=( ∂ f
∂ x
(x ,y ) , ∂ f
∂y
(x , y))
∂ f
∂x
(x , y )=2 x
∂ f
∂y
(x , y)=2y
∇ f (x , y)=(2 x ,2 y )
Daí, o vetor normal a curva de nível da função no ponto P(1,1) é dado por:
 
∇ f (1 ,1)=(2,2)
Representação Gráfica
No ponto P(1,1), há a curva de nível , cujo
Vetor é normal a ela 
F (1,1)=x2+ y2=2
∇ f (1 ,1)=(2,2)
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Exemplo 2 
Vetor Gradiente 
Vamos encontrar o vetor normal a superfície de nível da função no ponto P(1,0,1).F (x , y , z )=
x2
2
+ y
2
3
+ z
2
2
Então:
∇ f (x0 , y0 , z0)=(
∂ f
∂ x
(x0 , y0 , z0) ,
∂ f
∂y
(x0 , y0 , z0) ,
∂ f
∂ z
(x0 , y0 , z0))
∇ f (x , y , z)=( ∂ f
∂ x
(x ,y , z) , ∂ f
∂y
(x , y , z) , ∂ f
∂ z
(x , y , z))
∂ f
∂x
(x , y , z)=x
∂ f
∂y
(x , y , z)=2
3
y ∇ f (x , y , z )=(x , 2
3
y , z)
∂ f
∂ z
(x , y , z)=z
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Exemplo 2 
Vetor Gradiente Continuação 
F (x , y , z )= x
2
2
+ y
2
3
+ z
2
2
∇ f (x , y , z)=( ∂ f
∂ x
(x ,y , z) , ∂ f
∂y
(x , y , z) , ∂ f
∂ z
(x , y , z))
∂ f
∂x
(x , y , z)=x
∂ f
∂y
(x , y , z)=2
3
y ∇ f (x , y , z )=(x , 2
3
y , z)
∂ f
∂ z
(x , y , z)=z
Daí, o vetor normal a superfície de nível da função no ponto (1,0,1) é dado por: ∇ f (1,0,1)=(1 ,0,1)
Portanto
F (1,0,1)= x
2
2
+ y
2
3
+ z
2
2
=1No ponto P(1,0,1), há a superfície de nível , cujo Vetor é normal a ela no
ponto P(1,0,1).
∇ f (1,0,1)=(1 ,0,1)
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Campo Gradiente 
 O gradiente de uma função escalar é um campo vetorial chamado campo gradiente.∇ f
∇ f (x , y)= ∂ f
∂x
i⃗ + ∂ f
∂ y
j⃗=2xy i⃗ +(x2−3y2) j⃗
f :ℜn→ℜ
O campo vetorial gradiente de , é o campo vetorial dado por:F (x , y)=x 2 y− y3
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Exercícios
Determine o campo gradiente da função escalar F (x , y , z )=x2+2 y2+ z3
Determine o campo gradiente da função escalar F(x , y , z )=x
2
y
3√z
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Integral de Linha de Campos 
Vetoriais
Podemos definir integrais de linhas de campos vetoriais. Tais integrais são usadas, por exemplo, para determinar o trabalho exercido ao mover 
uma partícula ao longo de uma curva lisa C.
Seja um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa C dada pela função vetorial , então a integral de linha de
 ao longo de C é dado por: 
F⃗ r⃗ (t) , a⩽t⩽b
F⃗
∫
C
F⃗dr=∫
a
b
F⃗(r (t )). r '(t)dt
F⃗(r(t))=F⃗(x (t) , y(t ))paracampos vetoriais noℝ2
F⃗(r(t))=F⃗(x (t) , y(t ) , z (t))para campos vetoriais noℝ3
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Integral de Linha de Campos 
Vetoriais
Considere um caminho liso C descrito por . E suponha que .
A integral de linha do campo vetorial pode ser escrita como
F⃗(x , y , z)=P(x , y , z) i⃗+Q(x , y , z) j⃗+R (x , y , z) k⃗
F⃗
∫
C
F⃗dr=∫
C
P(x , y , z)dx+Q(x , y , z)dy+R (x , y , z)dz
r⃗ (t)=x (t) i⃗ +y (t) j⃗+z(t) k⃗
Em que
∫
C
P(x, y , z)dx ,∫
C
Q(x , y , z)dy ,∫
C
R (x , y , z)dz
são chamadas integrais de linha ao longo do caminho C com relação a x, y e z, respectivamente.
Integrais de Linha com Respeito a x, y e z
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Exercícios
Calcule , onde C é a hélice parametrizada por σ (t) = (sen t, cos t, t), 0 ≤ t ≤ 2π.∫
C
xdx+ydy+zdz
Observe, inicialmente, que:
Como,
I) F (σ (t)) = F (sen t,cos t, t) = (sen t,cos t, t);
II)σ’ (t) = (cos t,−sen t,1)
Então;
∫
C
xdx+ydy+zdz=∫
C
F⃗ dr , onde F⃗(x , y , z)=(x , y , z)
∫
C
xdx+ydy+zdz=∫
0
2π
(sent , cost , t) .(cost ,−sent ,1)dt
∫
0
2π
(sent . cost−cost . sent+ t)dt=∫
0
2π
t dt=[ t
2
2
]
0
2π
=2π 2
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Exercícios
Calcule a integral de linha do campo vetorial do ponto (0,0) ao (1,1) ao longo da seguinte curva: 
 
F(x , y)=(x2−2 y , x3+y )
i. o segmento de reta y=x
Note que uma parametrização para o segmento é: x (t)=t , y (t)=t
C(t)=(t , t) , 0⩽t⩽1
C'(t)=(1,1)
Portanto,
∫
C
F⃗ dr=∫
0
1
(t2−2t , t3+ t)(1,1)dt=∫
0
1
(t2−2 t+t3+ t)dt=∫
0
1
(t2+ t3−t)dt
∫
0
1
(t2+t3−t)dt=[ t
3
3
+ t
4
4
− t
2
2
]
t=0
t=1
= 1
4
+ 1
3
−1
2
= 1
12
Aula 02
Exercícios
Calcule a integral de linha do campo vetorial do ponto (0,0) ao (1,1) ao longo da seguinte curva: 
 
F(x , y)=(x2−2 y , x3+y )
i. o segmento de parábola y=x2
Note que uma parametrização para a parábola é: x (t)=t , y (t)=t2
C(t)=(t , t2) , 0⩽t⩽1
C'(t)=(1,2)
Portanto,
∫
C
F⃗ dr=∫
0
1
(t2−2t 2 , t3+ t2)(1,2 t)dt=∫
0
1
(2t4+2 t3−t2)dt
∫
0
1
(2 t 4+2t 3−t2)dt=[ 2 t
5
5
+ t
4
2
− t
3
3
]
t=0
t=1
=2
5
+ 1
2
−1
3
= 17
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Exercícios
Calcule , sendo C o segmento de reta de (0,1) a (1,2).∫
C
(x2−y )dx+(x+y2)dy
Calcule , sendo C o arco de parábola de (0,1) a (1,2).∫
C
(x2−y )dx+(x+y2)dy y=x
2+1
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Integral de Linha
 Aplicação 
As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas Ciências Exatas, como por exemplo, no cálculo do trabalho realizado por 
uma força variável sobre uma partícula, movendo-a de um ponto A a um ponto B no plano. Na Termodinâmica, uma integral de linha é utilizada,
por exemplo, para calcular o trabalho e o calor desenvolvido numa transformação qualquer. 
Se a cada ponto (x,y,z) do espaço associarmos uma força atuando em um objeto então:
∫
C
F⃗dr
Representa o trabalho total para deslocar o objeto ao longo de C.
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Exercícios
 Calcular o trabalho realizado ao se mover um objeto ao longo do segmento de reta de (1,1) a (2,4) sujeito a força F⃗=(y−x) i⃗ +(x2 y) j⃗
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Exercícios
 A força em um ponto (x,y,z) é .Determinar o trabalho realizado por , quando o seu ponto de aplicação
 desloca-se ao longo da curva de (0,0,0) a (2,4,8).
F⃗=y i⃗ +3 j⃗+x j⃗ F⃗=(x , y , z)
x=t , y=t 2 , z=t 3
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Teorema de Green
O Teorema de Green associa a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada no plano a uma integral dupla sobre a
região delimitada por essa curva.
Diz-se que a fronteira ∂D de uma região fechada D⊂R² est´a orientada positivamente se a região D fica à esquerda quando percorremos
a fronteira ∂D
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Teorema de Green
∮
C
F1dx+F2dy=∬
D
(
∂F2
∂ x
−
∂F1
∂ y
)dxdy
O Seja D ⊂ R² uma região fechada e limitada cuja fronteira C seja dada por uma curva fechada simples, orientada positivamente e parametrizada
por uma função de classe C1 por partes, de modo que seja percorrida apenas uma vez. Se F(x, y) = (F1(x, y),F2(x, y)) é um campo vetorial de
classe C1 em C, então
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