Geometria Analítica no plano

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MATEMÁTICA BÁSICA
Geometria Analítica no plano: coordenadas cartesianas, 
gráficos, interseção, linha reta, circunferência
Considere um plano e duas retas perpendiculares, sendo
uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será
denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical
será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os
pares ordenados de pontos do plano são indicados na
forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a
ordenada do ponto P.
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O sistema de Coordenadas Ortogonais é conhecido por
Sistema de Coordenadas Cartesianas e tal sistema
possui quatro regiões denominadas quadrantes.
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Distância entre dois pontos do plano 
cartesiano
Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, 
o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos catetos b 
e c, isto é, a2=b2+c2.
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Dados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a distância
entre P e Q, traçando as projeções destes
pontos sobre os eixos coordenados, obtendo
um triângulo retângulo e usando o Teorema de
Pitágoras.
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O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo
PQR, o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o
outro cateto, logo:
[d(P,Q)]2 = [d(P,R)]2 + [d(Q,R)]2
Como:
[d(P,R)]2 = | x1 - x2|
2 = (x1 - x2)
2
e
[d(Q,R)] 2 = | y1 - y2|
2 = (y1 - y2)
2
então
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Exemplos
A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é:
A distância entre a origem O=(0,0) e um 
ponto P=(x,y) é dada por:
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Ponto médio de um segmento
Aplicação: Dados os pares ordenados
P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), pode-se obter o
Ponto Médio M=(xm,ym) que está
localizado entre P e Q.
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O ponto médio é obtido com o uso da média
aritmética, entre a abscissas e as
ordenadas.
xm = (x1 + x2)/2, ym = (y1 + y2)/2
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Retas no plano cartesiano
Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos
P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) no plano cartesiano,
existe uma única reta que passa por esses
pontos. Para a determinação da equação de
uma reta existe a necessidade de duas
informações e dois conceitos importantes são: o
coeficiente angular da reta e o coeficiente linear
da reta.
Coeficiente angular de uma reta
Dados os pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com
x1≠x2, o coeficiente angular k da reta que passa
por estes pontos é o número real.
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Significado geométrico do coeficiente angular:
O coeficiente angular de uma reta é o valor da
tangente do ângulo α que a reta faz com o eixo
das abscissas.
Se o coeficiente angular é nulo, a reta é horizontal.
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Coeficiente linear de uma reta: é a ordenada
(altura) w do ponto (0,w) onde a reta cortou o
eixo das ordenadas.
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Pontos colineares
Chamam-se pontos colineares os pontos que 
pertencem a uma mesma reta.
Exercício: Sabendo que os pontos A(-3,-4), B(2,-
1) e C(7,2) são colineares, determine os valores 
das inclinações da reta que passa por A e B e 
que passa por B e C.
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Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela
não possui coeficiente linear e coeficiente angular.
Assim, a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do
ponto onde a reta cortou o eixo OX.
Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é
nulo e a equação desta reta é dada por y=b, ordenada
do ponto onde está reta corta o eixo OY.
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Equação reduzida da reta
Dado o coeficiente angular a e o coeficiente
linear b de uma reta, então poderemos obter a
equação da reta através de sua equação
reduzida dada por:
y=ax + b
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Reta que passa por um ponto e tem 
coeficiente angular dado
Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo)
e tem coeficiente angular a, é dada por:
y-y0=a(x-x0)
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Exemplos
Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem
coeficiente angular k=8, então a equação
da reta é y=8(x-1)+5.
Se uma reta passa pela origem e tem
coeficiente angular k= -1, então a sua
equação é dada por: y=-x.
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Equação geral da reta
Toda reta no plano cartesiano pode ser
escrita pela sua equação geral:
a x + b y + c = 0
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Exemplos
Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta -x+y-1=0.
Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y=0.
Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x+5=0.
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Retas paralelas
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Retas perpendiculares
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Circunferências no plano
Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma
circunferência com centro no ponto (a,b) de um
plano e tendo raio r, é o lugar geométrico de
todos os pontos (x,y) deste plano que estão
localizados à mesma distância r do centro (a,b).
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A equação desta circunferência é dada por:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Disco circular é a região que contém a circunferência e
todos os pontos contidos no interior da circunferência.
Exemplo: A equação da circunferência com centro em
(2,3) e raio igual a 8 é:
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 82
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Coordenadas Polares
Em matemática, um sistema de coordenadas
polares é um sistema de coordenadas
bidimensional, no qual cada ponto de um plano
é determinado pela sua distância em relação a
um ponto fixo e do ângulo em relação a uma
direção fixa.
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Coordenadas Polares
Este ponto fixo, semelhante à origem de um sistema de coordenadas
cartesiano, é denominado "polo". O raio a partir do polo numa
determinada direção denomina-se "eixo polar". A distância entre o
polo e o ponto denomina-se "coordenada radial" ou "raio", e o
ângulo "coordenada angular", "ângulo polar" ou "azimute".
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Coordenadas Polares
Da definição anterior, auxiliada pela comparação
com o gráfico, podemos concluir as relações
entre o par (x, y) de coordenadas cartesianas e
o par (r, θ) de suas coordenadas polares. Assim
obtemos:
• x = r ⋅ cos θ 
• y = r ⋅ sin θ 
• r = (x 2 + y 2 )1/2
• θ = arctan ( y/x )
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Exercícios
Seja L a reta que passa pelos pontos P1(2,3) e 
P2(4,7). Encontre a inclinação de L.
Dada a reta que tem a equação 3x + 4y =7. 
Encontre a inclinação dessa reta.
O ponto (2,3) divide ao meio a porção de uma reta 
que é delimitada pelos eixos coordenados. 
Encontre a equação dessa reta.
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Exercícios
Dadas as retas L1 → 2x – 3y =12 e L2 → 4x + 3y =6, trace um esboço
de cada uma das retas. Encontre as coordenadas do ponto de
intersecção de L1 e L2.
Encontre a equação da reta que satisfaça as condições dadas: 
a) A inclinação é 4 e passa pelo ponto (2, -3). 
b) Passa pelos dois pontos (3,1) e (-5,4). 
c) Passa pelo ponto (-3,-4) e é paralela ao eixo y. 
d) Passa pelo ponto (1,-7) e é paralela ao eixo x. 
e) A intersecção com o eixo x ´3 -3 e com o eixo y é 4. 
f) Passa por (1,4) e é paralela à reta cuja equação é: 2x -5y +7=0
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Exercícios
Encontre o centro e o raio de cada uma das 
circunferências abaixo:
a) x2+y2-6x-8y+9=0
b) 2x2+2y2-2x+2y+7=0
c) 3x2+3y2+4y-7=0
d) x2+ y2-10x-10y+25=0
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Exercícios
Os coeficientes angular e linear da reta 
3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente:
a)2/3 e 4
b)3/2 e 12
c)-2/3 e-12
d)2/3 e -4
e)-3/2 e 4
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Exercícios
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Exercícios
• Dada a reta 6x+3y-30=0, encontre a
equação de uma reta que passe pelo
ponto (2,-3) e seja paralela a essa reta.
• Determine o valor de “m” para que as
retas 2x+3y-1 = 0 e mx+4y–3 = 0 sejam
paralelas.
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Exercícios
• Determine qual é o coeficiente linear da função
linear que passa pelos pontos (1,-2) e (5,2).
• Indique o valor de c para que as retas r: cx+y-
4=0 e s: 3x+3y-7=0 sejam paralelas.
• Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r:
2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3.
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Exercícios
Encontrar as equações das seguintes 
circunferências:
a) Centro em (2, -3) e raio igual a 4.
b) Centro em (4, -3) e raio igual a 5.
c) Centro em (0, 0) e raio igual a 8.
d) Centro em (-5, -12) e raio igual a 3.
e) Centro em (-1, 1) e raio igual a 2.
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