Séries de Potência e Equações Diferenciais

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Dayane Perez Bravo 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Caro aluno, veremos nesta aula como utilizar séries de potência para 
desenvolver novas técnicas de resolução das equações diferenciais. Para isso, 
inicialmente vamos revisar sequência e séries de potência. 
Em seguida, vamos discutir os métodos para resolução em torno de um 
ponto ordinário e na sequência em torno de um ponto singular. Com isso, 
poderemos ver as equações de Bessel. 
TEMA 1 – REVISÃO DE SÉRIE DE POTÊNCIA 
Para entendermos o conceito de séries de potência, é necessário 
investigar o conceito de sequência infinita. Uma sequência numérica infinita é 
considerada uma função de valores discretos, cujo domínio são os números 
inteiros diferentes de zero. 
Geralmente, utilizamos para notação {𝑎𝑛} para indicar o termo geral da 
sequência. Por exemplo, 
{𝑎𝑛} = (−1)
𝑛+1
𝑛²
3𝑛 − 1
 
representa uma sequência, cujo termo geral é 𝑎𝑛. Repare que podemos 
escrever o n-ésimo elemento simplesmente substituindo no valor de 𝑛 o termo 
desejado. Veja que alguns elementos que podem ser calculados são: 
𝑎1 = (−1)
1+1
12
3.1 − 1
=
1
2
 
𝑎2 = (−1)
2+1
22
3.2 − 1
= −
4
5
 
𝑎3 = (−1)
3+1
32
3.3 − 1
=
9
8
 
𝑎4 = (−1)
4+1
42
4.3 − 1
= −
16
11
 
𝑎5 = (−1)
5+1
52
5.3 − 1
=
25
14
 
e assim sucessivamente. A série numérica infinita, por sua vez, é definida 
como sendo a soma dos termos de uma sequência numérica infinita. Nesse caso 
escrevemos: 
 
 
3 
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ 
Nem todas as séries que podem ser escritas são interessantes para o 
estudo de equações diferenciais, visto que algumas séries divergem. A 
convergência e a divergência da série indicam se a série se aproxima ou não, 
respectivamente, de um certo valor dado. Em outras palavras, dizemos que a 
série é convergente se 
lim
𝑘→∞
∑ 𝑎𝑛
𝑘
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ = 𝑆 
no qual S representa um número real finito. 
 O teste de convergência de uma série nem sempre é fácil de ser aplicado 
e foge do escopo destas aulas, mas um exemplo será visto para compreensão 
desse conceito. 
Exemplo: Sendo a seguinte série numérica infinita: 
∑
1
𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
=
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+
1
4.5
+ ⋯ 
vamos verificar se essa série converge. Para isso, verificamos seu termo 
geral 
𝑎𝑛 =
1
𝑛(𝑛 + 1)
 
O teste de convergência envolve uma soma infinita, o que evidencia a 
complexidade de sua validade, mas, nesse caso específico, podemos reescrever 
o termo geral da seguinte forma: 
𝑎𝑛 =
1
𝑛(𝑛 + 1)
=
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
 
Verifique ao fazer operações simples como as duas expressões são 
equivalentes. Nesse caso, podemos reescrever a série dada como: 
∑
1
𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
= ∑ (
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
)
∞
𝑛=1
= 
(1 −
1
2
) + (
1
2
−
1
3
) + (
1
3
−
1
4
) + ⋯ (
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
) 
 
 
4 
Repare que 𝑛 termos simplificam, restando: 
∑ (
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
)
∞
𝑛=1
= (1 −
1
2
) + (
1
2
−
1
3
) + (
1
3
−
1
4
) + ⋯ (
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
) 
= 1 −
𝑛
𝑛 + 1
 
Para testarmos a convergência, aplicamos o seguinte limite: 
lim
𝑛→∞
(1 −
𝑛
𝑛 + 1
) = 1 
Como esse limite converge para 𝑆 = 1, temos validada a convergência da 
série dada no exemplo. 
As séries de potência, que serão soluções de equações diferenciais nas 
partes seguintes, são séries que possuem o seguinte formato: 
∑ 𝑐𝑛𝑥
𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥
2 + 𝑐3𝑥
3 + ⋯ 
Os coeficientes 𝑐𝑛′𝑠 são os coeficientes da série, enquanto 𝑥 é a variável. 
Pode-se mostrar que a série 
∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ 
converge quando −1 < 𝑥 < 1 e diverge caso contrário. 
Uma série interessante que surge frequentemente é a série de Taylor, a 
qual é definida como: 
∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
, 𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑛 =
𝑓𝑛(𝑎)
𝑛!
 
Ou seja, 
∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑎)
𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)2
2!
+
𝑓′′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)3
3!
+
𝑓′′′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)4
4!
+
𝑓′′′′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)5
5!
+ ⋯ 
Se tomarmos 𝑎 = 0, obtemos um caso particular da série de Taylor 
conhecida como série de Maclaurin: 
 
 
5 
∑ 𝑎𝑛𝑥
𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +
𝑓′′(0)𝑥2
2!
+
𝑓′′′(0)𝑥3
3!
+
𝑓′′′′(0)𝑥4
4!
+
𝑓′′′′′(0)𝑥5
5!
+ ⋯ 
 
Exemplo 1: Vamos encontrar a série de Taylor para a função 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
em torno do ponto 𝑥 = 0. Como 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑒𝑥 e 𝑓𝑛(0) = 1 podemos 
escrever: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)2
2!
+
𝑓′′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)3
3!
+
𝑓′′′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)4
4!
+
𝑓′′′′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)5
5!
+ ⋯ 
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓′(0)(𝑥 − 0) +
𝑓′′(0)(𝑥 − 0)2
2!
+
𝑓′′′(0)(𝑥 − 0)3
3!
+
𝑓′′′′(0)(𝑥 − 0)4
4!
+
𝑓′′′′′(0)(𝑥 − 0)5
5!
+ ⋯ 
Como 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓(0) = 1 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓(0) = 1 
E sucessivamente, 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑓𝑛(0) = 1, então 
𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯ +
𝑥𝑛
𝑛!
 
 Exemplo 2: Vamos encontrar a série de Taylor para a função 
𝑓(𝑥) = sin 𝑥 
em torno do ponto 𝑥 = 0. Para isso, precisamos encontrar as derivadas 
de ordem 𝑛 da função dada. Veja que: 
𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑒 𝑓(0) = sin 0 = 0 
𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 𝑒 𝑓′(0) = cos 0 = 1 
𝑓′′(𝑥) = − sin 𝑥 𝑒 𝑓′′(0) = − sin 0 = 0 
𝑓′′′(𝑥) = − cos 𝑥 𝑒 𝑓′′′(0) = − cos 0 = −1 
𝑓4(𝑥) = sin 𝑥 𝑒 𝑓4(0) = 0 
 
 
6 
Veja que a partir da derivada de quarta ordem, todas as derivadas 
seguem um padrão que se repete a cada quatro ordens das derivadas. Nesse 
caso, veja que toda derivada de ordem par aplicada no ponto dado é zero. Nesse 
caso, podemos escrever a série de Taylor associada: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)2
2!
+
𝑓′′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)3
3!
+
𝑓′′′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)4
4!
+
𝑓′′′′′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)5
5!
+ ⋯ 
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓′(0)(𝑥 − 0) +
𝑓′′(0)(𝑥 − 0)2
2!
+
𝑓′′′(0)(𝑥 − 0)3
3!
+
𝑓′′′′(0)(𝑥 − 0)4
4!
+
𝑓′′′′′(0)(𝑥 − 0)5
5!
+ ⋯ 
𝑓(𝑥) = 𝑓′(0)𝑥 +
𝑓′′′(0)𝑥3
3!
+
𝑓′′′′′(0)𝑥5
5!
+ ⋯ 
𝑓(𝑥) = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
−
𝑥7
7!
+ ⋯ 
𝑓(𝑥) = 𝑛 = 0∞(−1)𝑛
𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
 
TEMA 2 – SOLUÇÃO EM SÉRIE: PONTO ORDINÁRIO 
Considere a equação homogênea 
²
( ) ( ) ( ) 0
²
d y dy
P x Q x R x y
dx dx
  
 
(1) 
onde x será a variável independente utilizada neste capítulo. 
Analisaremos inicialmente os casos em que P, Q e R são polinômios sem fatores 
comuns. 
 Dizemos que um ponto 0x é ordinário quando 0( ) 0P x  . Existe uma 
vizinhança de 0x onde ( ) 0P x  , pois P é contínuo. Portanto, nesse intervalo 
podemos reescrever a Equação (1) como 
'' ( ) ' ( ) 0y p x y q x y   (2) 
onde ( ) ( ) / ( )p x Q x P x e ( ) ( ) / ( )q x R x P x são funções contínuas. 
Para resolver a Equação (1) numa vizinhança do ponto 0x ordinário, 
procuraremos por soluções do tipo 
 
 
7 
     0 1 0 0 0
0
... ...
n n
n n
n
y a a x x a x x a x x


         (3) 
onde essa série converge no intervalo 0x x   para um raio de 
convergência 0.  Para determinar os coeficientes na , desde que estejamos 
dentro do intervalo, devemos substituir na Equação (1) a série da Equação (3) e 
suas derivadas. Vejamos a seguinte equação diferencial: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑦 = 0 
(4) 
 Podemos determinar uma série de potência em torno de 𝑥0 = 0. Nesse 
caso, a série será dada por: 
2
0 1 2
0
... ...n nn n
n
y a a x a x a x a x


       (4) 
Para continuar com o procedimento, devemos calcular a primeira e a 
segunda derivada da Equação (4). Assim, utilizamos o resultado de 
1 1
1 2
1
' 2 ... ...n nn n
n
y a a x na x na x

 

      (5) 
2 2
2
2
'' 2 ... ( 1) ... ( 1)n nn n
n
y a n n a x n n a x

 

       (6) 
para substituir os valores de y e y’ na Equação Erro! Fonte de referência não 
encontrada.. Então obtemos 
2
2 0
( 1) 0n nn n
n n
n n a x a x
 

 
   
     
   
  (7) 
Observamos que os termos gerais dos somatórios são diferentes,portanto é necessário deslocar1 seus índices para que possamos agrupar o 
resultado da Equação (7). Para isso, basta substituirmos n por (n+2) na série 
proveniente da Equação (6) e fazer a soma começar em 0 em vez de 2. Dessa 
forma, a Equação (7) ficará 
2
0 0
( 2)( 1) 0n nn n
n n
n n a x a x
 

 
   
      
   
  (8) 
assim podemos agrupar os somatórios para obter 
 
1 Em Boyce&DiPrima (2010, p. 194) encontrar-se uma explicação de como deslocar o índice de 
somatórios. 
 
 
8 
 2
0
( 2)( 1) 0nn n
n
n n a a x



    (9) 
TEMA 3 – SOLUÇÕES EM SÉRIE: PONTO SINGULAR – PARTE I 
Se fizermos com que os coeficientes de x sejam nulos, temos que a 
Equação (9) vale para todo x. Assim, temos a relação de recorrência 
2( 2)( 1) 0; 0,1,2,...n nn n a a n     (10) 
Cujos coeficientes são determinados por meio do cálculo individual para 
0,1,2,...n  . 
Por exemplo, para os três primeiros índices pares, temos 
0 0
2 ; 0
2.1 2!
a a
a n     (11) 
02
4 ; 2
4.3 4!
aa
a n     (12) 
04
6 ; 4
6.5 6!
aa
a n     (13) 
e assim por diante. Podemos escrever tais resultados para 2n k como 
2 0
( 1)
; 1,2,3,...
(2 )!
k
n ka a a k
k

   (14) 
podemos prová-la por indução matemática, sabendo que ela é válida para 1,k  
supondo válida para um valor qualquer de k e para 1,k  temos 
1
2
2 2 0 0
( 1) ( 1)
(2 2)(2 1) (2 2)(2 1)(2 )! (2 2)!
k k
k
k
a
a a a
k k k k k k


 
    
    
 (15) 
ou seja, a Equação (14) vale para 1,k  portanto vale para todos os 
inteiros positivos k. 
Utilizaremos o mesmo raciocínio para os índices ímpares. Para os três 
primeiros índices ímpares, temos 
3 51 1 1 1
3 5 7; ;
2.3 3! 5.4 5! 7.6 7!
a aa a a a
a a a           (16) 
e assim por diante. Podemos escrever tais resultados para 2 1n k  como 
 
 
9 
2 1 1
( 1)
; 1,2,3,...
(2 1)!
k
n ka a a k
k


  

 (17) 
Agora, podemos utilizar os coeficientes que encontramos e substituí-los 
na Equação (4) para obter 
2 3 4 5 2 2 10 0 01 1 1
0 1
( 1) ( 1)
... ...
2! 3! 4! 5! (2 )! (2 1)!
n n
n na a aa a ay a a x x x x x x x
n n
          
 
(18) 
2 4 2 3 5 2 1
0 1
( 1) ( 1)
1 ... ... ... ...
2! 4! (2 )! 3! 5! (2 1)!
n n n nx x x x x x
a a x
n n
    
              
    
(19) 
2 2 1
0 1
0 0
( 1) ( 1)
(2 )! (2 1)!
n n n n
n n
x x
a a
n n
 
 
    
    
   
 
 
(20) 
Portanto, a Equação (20) representa a solução em série da Equação Erro! 
Fonte de referência não encontrada., convergente para todo x. Adicionalmente, a 
primeira e a segunda série da Equação (20) são as séries de Taylor em torno 
de 𝑥 = 0 para𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝑒𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, respectivamente. Assim, a Equação 
(20) é equivalente a 
𝑦 = 𝑎0 cos 𝑥 + 𝑎1𝑠𝑒𝑛𝑥 
Os valores de 𝑎0,𝑎1 são arbitrários e são definidos quando as condições 
iniciais são impostas, pois o cálculo de 𝑦 e 𝑦′ para𝑥 = 0 vai resultar nos valores 
de 𝑎0 e 𝑎1, respectivamente. Devemos nos atentar ao fato de que uma série de 
potências fornece apenas uma aproximação local numa vizinhança de um ponto 
inicial para a solução procurada. 
TEMA 4 – SOLUÇÕES EM SÉRIE: PONTO SINGULAR – PARTE II 
Considere a equação 
( ) '' ( ) ' ( ) 0,P x y Q x y R x y   (212) 
Dizemos que um ponto 𝑥0 é singular quando𝑃(𝑥0) = 0 e neste caso 
ou 𝑄(𝑥0) ou 𝑅(𝑥0) é diferente de zero. Vamos nos voltar para os casos de 
“singularidades fracas”, em que temos um ponto 𝑥0 singular regular. Essas 
singularidades se distinguem de acordo com as condições 
0
0
( )
lim( )
( )x x
Q x
x x
P x
 é finito (23) 
0
0
( )
lim( )²
( )x x
R x
x x
P x
 é finito (224) 
 
 
10 
De forma generalizada, para que𝑥0 seja um ponto singular regular, é 
necessário que as funções 
0
0
( )
( ) ;
( )
( )
( )²
( )
Q x
x x
P x
R x
x x
P x


 (235) 
tenham séries de Taylor convergentes na vizinhança de 𝑥0. 
Para solucionar a Equação (212) em torno de 0x singular regular, 
costumamos utilizar 
0 0x  . Caso contrário, a simples mudança 0x x t  faz com 
que o ponto singular regular esteja na origem. Dessa forma, quando 0x  , então 
( ) / ( ) ( )xQ x P x xp x e ² ( ) / ( ) ² ( )x R x P x x q x possuem limites finitos e são 
analíticas em 0x  . Portanto, suas expansões em séries de potência 
convergentes em uma vizinhança x  em torno da origem, com 0  , são 
dadas por 
0
0
( ) ;
² ( )
n
n
n
n
n
n
xp x p x
x q x q x








 (26) 
Essas funções podem ser obtidas da Equação (212) 
( ) '' ( ) ' ( ) 0,P x y Q x y R x y   
após multiplicá-la por ² / ( )x P x , obtendo assim 
0 1 0 1² '' ( ... ...) ' ( ... ...) 0
n n
n nx y x p p x p x y q q x q x y           (27) 
TEMA 5 – GENERALIZAÇÃO DOS MÉTODOS DE SEGUNDA ORDEM: 
VARIAÇÃO DE PARÂMETROS 
EXEMPLO: Seja a seguinte Equação Diferencial: 
2𝑡2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
− 𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 0 (28) 
 
Supondo que a solução é dada por uma série de potência, dizemos que 
 
 
11 
𝑦(𝑡) = ∑ 𝑎𝑛𝑡
𝑛+𝑟
∞
𝑛=0
 
Se for solução, podemos substituí-la na Equação 28 para verificar a solução. 
Veja que suas derivadas são dadas por: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= ∑ 𝑎𝑛(𝑛 + 𝑟)𝑡
𝑛+𝑟−1
∞
𝑛=0
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
= ∑ 𝑎𝑛(𝑛 + 𝑟)(𝑛 + 𝑟 − 1)𝑡
𝑛+𝑟−2
∞
𝑛=0
 
Substituindo na Equação 28, obtemos: 
2𝑡2 ∑ 𝑎𝑛(𝑛 + 𝑟)(𝑛 + 𝑟 − 1)𝑡
𝑛+𝑟−2
∞
𝑛=0
− 𝑡 ∑ 𝑎𝑛(𝑛 + 𝑟)𝑡
𝑛+𝑟−1
∞
𝑛=0
+ 1 ∑ 𝑎𝑛𝑡
𝑛+𝑟
∞
𝑛=0
= 0 
Organizando os termos temos que 
2 ∑ 𝑎𝑛(𝑛 + 𝑟)(𝑛 + 𝑟 − 1)𝑡
𝑛+𝑟
∞
𝑛=0
− ∑ 𝑎𝑛(𝑛 + 𝑟)𝑡
𝑛+𝑟
∞
𝑛=0
+ ∑ 𝑎𝑛𝑡
𝑛+𝑟
∞
𝑛=0
= 0 
Podemos evidenciar alguns termos, obtendo assim: 
∑ 𝑎𝑛𝑡
𝑛+𝑟
∞
𝑛=0
[∑ 2(𝑛 + 𝑟)(𝑛 + 𝑟 − 1)
∞
𝑛=0
− (𝑛 + 𝑟) + 1] = 0 
Como ∑ 𝑎𝑛𝑡
𝑛+𝑟∞
𝑛=0 ≠ 0 
∑ 2(𝑛 + 𝑟)(𝑛 + 𝑟 − 1)
∞
𝑛=0
− 𝑛 − 𝑟 + 1 = 0 
Para 𝑛 = 0 
2𝑟(𝑟 − 1) − 𝑟 + 1 = 0 
Veja que a maioria das escolhas de n simplificam a expressão, restando: 
𝑟(𝑟 + 1) + 𝑝0𝑟 + 𝑞0 = 0 
(𝑟 − 1)(2𝑟 − 1) = 0 
com raízes dadas por 𝑟1 = 1 e 𝑟2 = 1/2 . Pela equação de recorrência, 
conseguimos encontrar: 
𝑎𝑛 = −
𝑎𝑛−1
[(𝑟 + 𝑛) − 1][2(𝑟 + 𝑛) − 1]
 
 
 
12 
Substituindo 𝑟1 = 1 encontramos a primeira solução particular: 
𝑦1(𝑡) = 𝑡 [1 + ∑
(−1)𝑛2𝑛
(2𝑛 + 1)!
𝑡𝑛
∞
𝑛=1
] 
E substituindo 𝑟2 = 1/2 encontramos a segunda solução particular: 
𝑦2(𝑡) = 𝑡
1
2 [1 + ∑
(−1)𝑛2𝑛
(2𝑛)!
𝑡𝑛
∞
𝑛=0
] 
Portanto, a solução geral é a combinação linear de ambas as soluções 
particulares, pelo princípio da superposição de soluções discutida nas primeiras 
aulas. Nesse caso, 
𝒚(𝒕) = 𝑪𝟏 𝒕 [𝟏 + ∑
(−𝟏)𝒏𝟐𝒏
(𝟐𝒏 + 𝟏)!
𝒕𝒏 
∞
𝒏=𝟏
] + 𝑪𝟐𝒕
𝟏
𝟐 [𝟏 + ∑
(−𝟏)𝒏𝟐𝒏
(𝟐𝒏)!
𝒕𝒏
∞
𝒏=𝟎
] 
 
FINALIZANDO 
Com esta quarta aula, foi possível verificar a aplicação de séries de 
potência para resolução das equações diferenciais. Nas próximas aulas, 
veremos como resolver sistemas de equações diferenciais e como utilizar as 
séries de Fourier para resolver equações específicas. 
 
 
REFERÊNCIAS 
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e 
problemas de valores de contorno. 9. ed. São Paulo: LTC, 2010. 
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. 3. ed. v. 1. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2001. 
NAGLE, R. K. Equações diferenciais. 8. ed. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2012. 
NÓBREGA, D. D. Equações diferenciais ordinárias e algumas aplicações. 
Caicó: UFRN, 2016.