Teorema de valor médio para integrais

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TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS 
Nos cursos de Cálculo, muitas das vezes, por se tratar de um conteúdo extenso 
para ser abordado num tempo muito reduzido ou por motivos diversos, a 
importância do Teorema do Valor Médio para Integrais, que chamaremos de 
TVMI, é ofuscada e com isso o desenvolvimento do conhecimento científico é 
prejudicado com a falta de aplicação deste; o que é uma incongruência histórica, 
uma vez que o Cálculo surgiu como resposta para problemas físicos reais: 
“Calcular a distância percorrida por um corpo em movimento, sua velocidade e 
aceleração; comprimentos de curvas; áreas; volumes; analisar os valores de 
máximo e mínimo de uma função; relacionar declividade de uma curva e taxa de 
variação, são alguns dos problemas, entre muitos outros, que levaram ao 
desenvolvimento do Cálculo (ZUIN, 2001, p. 14)”. 
Um teorema que precede o Teorema de Valor Médio para Integrais (TVMI), na 
verdade o TVMI é uma aplicação deste para integrais, é o Teorema do Valor Médio 
de Lagrange. 
O Teorema do Valor Médio-TVM de Lagrange[2] nos diz o seguinte: 
Se ƒ:[a, b] → é contínua e derivável no intervalo (a, b) então existe c ∈ (a, 
b) tal que 
onde ƒ´ é a derivada da função ƒ. 
Figura 1 – Interpretação geométrica do TVM 
Fonte: Do autor (2019) 
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Isto é, o TVM nos diz que existe pelo menos um ponto de abscissa c no intervalo 
(a, b) em que a reta tangente ao gráfico de ƒ em c tem a mesma inclinação que 
a reta secante que passa pelos pontos de abscissas a e b. 
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo tem-se que se ƒ for integrável em [a, b] 
e se F for uma primitiva de ƒ em [a, b], então, 
onde pelo TVM temos que existir c tal que, 
e com isso,
 
Geometricamente a expressão acima nos diz que existe um retângulo de base (b 
– a) e altura ƒ(c) de mesma área que a região delimitada pelas retas x = a, x 
= b e abaixo do gráfico da função ƒ. 
Figura 2– Retângulo de base (a, b) e altura ƒ(c) 
Fonte: Do autor (2019) 
Com isso afirmamos que
De fato, observa-
se que o conceito de média aritmética é dado por: 
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sejam os elementos x1, x2, … , xn de uma amostra com valores da variável X. 
Define-se a média aritmética de X por, 
Donde temos para a função ƒ, 
particionando o intervalo [a, 
b] em n partes iguais, obtém-se de onde segue que 
Daí, 
 
onde aplicando limite tem-se por definição: 
como queríamos 
mostrar. 
Barbosa (2004) traz uma abordagem acerca da quase que imprescindibilidade da 
contextualização do saber no Cálculo: 
A contextualização do saber é uma ferramenta indispensável para a questão da 
transposição didática, pois implica recorrer a contextos que tenham significado 
para o aluno, envolvendo-o não só intelectualmente, mas também afetivamente, 
sendo assim uma estratégia fundamental para a construção de significados. 
Sabemos que a falta de sentido da aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral 
origina-se, em parte, das dificuldades decorrentes dessa transposição. O aluno 
só compreende os vínculos do conteúdo estudado quando fica compreensível 
para ele essa passagem. Por isso, contextualizar no ensino de Cálculo vincularia 
os conhecimentos aos lugares onde foram criados e onde são aplicados, isto é, 
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incorporar vivências concretas ao que se vai aprender e incorporando o 
aprendizado a novas vivências (BARBOSA, 2004, p. 41). 
Partindo do pressuposto da importância da contextualização e da aplicação, a 
seguir traz-se alguns exemplos motivadores para efetivação do conhecimento 
abordado. 
A seguir tem-se alguns exemplos de aplicações do TVMI. 
2.1 APLICAÇÃO NA FÍSICA 
No início desse trabalho trouxemos um exemplo simples de valor médio de uma 
função, porém sem a ferramenta necessária para estudá-lo. O exemplo nos dizia 
o seguinte: observou-se através de termômetros numa cidade que em um dado 
dia das 3 às 12 horas da manhã a temperatura em graus °C e t horas é dada 
pela função ƒ(t) = t +12, 3 ≤ t ≤ 12, qual a temperatura média na cidade nesse 
intervalo de tempo? 
Solução. Aplicando o TVMI tem-se, 
[Exemplo 1] Algo 
muito comum na física é o movimento de partículas dado por funções. 
Imagine uma partícula cuja função deslocamento é expressa por ƒ(x) = x3 – 
9x2 + 27x – 26, onde x é o tempo medido em segundos e ƒ(x) = y a distância 
em metros. 
Daí, deseja-se obter a distância média a cada segundo percorrido dessa partícula 
no intervalo de tempo de 2 a 10 segundos. Observa-se que a velocidade 
instantânea da partícula em cada ponto é facilmente obtida através da derivada 
de ƒ(x) mas estamos interessados na distância média a cada segundo. 
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A figura abaixo nos mostra o comportamento dessa partícula. 
Figura 3 – Partícula se deslocando por f(x) 
Fonte: Do 
autor (2019) 
Vê-se que o resultado desejado é facilmente obtido com a aplicação direta na 
integral do TVMI abaixo: 
Donde se tem após simples aplicação de substituições: 
[Exemplo 2] Um importante resultado 
da física com inúmeras aplicações na engenharia e em várias outras ciências é a 
Lei do Resfriamento de Newton[3], a qual tem a forma da expressão T (t) 
= Tm + c.e-kt, onde T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm a temperatura 
do meio ambiente, t o tempo decorrido, c e k números reais. Esta equação nos 
diz que a temperatura de um corpo tende a se igualar à temperatura ambiente 
ao passar do tempo. 
Vejamos o seguinte exemplo. 
Num dado experimento observou-se com a ajuda de termômetro que a 
temperatura de um líquido ao sair de um aquecedor, t = 0 era de 81°C e um 
minuto depois a temperatura era de 79°C, sabendo que a temperatura da sala 
onde o líquido se encontra é controlada a 30°C: 
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a) Calcular a temperatura do líquido a 10 minutos. 
Solução: Observa-se que pela lei do resfriamento e do problema de valor inicial 
tem-se, 
e 
 
Donde segue que a Lei do Resfriamento desse processo é dada por, 
Logo a temperatura do líquido em 10 minutos é 
b) Calcular o valor médio da temperatura 
do líquido no intervalo de 0 a 10 minutos. 
Solução: Observa-se que o resultado desejado é facilmente obtido através da 
aplicação direta do Teorema do Valor Médio para Integrais no intervalo desejado, 
donde tem-se: 
Donde 
obtêm-se o valor da temperatura média no intervalo de zero a dez minutos 
≅ 72°C. 
2.2 APLICAÇÃO NA BIOLOGIA E DEMOGRAFIA 
Algo muito importante em todas as ciências biológicas e/ou demográficas é o de 
crescimento populacional médio. O estudo do crescimentode bactérias pode ser 
uma tarefa muito difícil, uma vez que uma única bactéria pode se dividir 
formando uma nova bactéria, que se divide formando uma outra e o processo 
pode se estender até não haja mais condições favoráveis para que isso ocorra, 
por exemplo com o crescimento populacional chega um momento que não tem 
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mais nutrientes para manter a população e com isso vindo a se estabilizar e 
posteriormente ao declínio. A função que dá o famigerado crescimento 
exponencial é a função com esse mesmo nome, que é do tipo: ƒ(x) = a. bx, 
aqui a, b>0. É fácil perceber que esse crescimento vai depender do tempo que 
uma bactéria demora para se dividir e criar uma nova. Pode-se perceber com 
isso que conforme o número de bactérias aumenta, a sua velocidade em 
aumentar também aumenta, por exemplo, se a quantidade de bactérias duplicar, 
a velocidade de crescimento duplicará também e assim por diante. 
[Exemplo 3] Observou-se que o crescimento de uma determinada população de 
bactérias a cada hora num lugar ideal, com nutrientes abundantes, é dado pela 
fórmula em milhões, onde x representa horas, ƒ(x) = (1,6)x. Isto é exemplificado 
no quadro abaixo: 
Horas decorridas(x) Quantidade de Bactérias em milhões (1,6x) 
1 1,6 
2 2,56 
3 4,096 
4 6,5536 
5 10,48576 
Fonte: Do autor (2020) 
Pode-se perceber melhor o comportamento desse crescimento bacteriano 
através do gráfico de f(x) abaixo. 
Figura 4– Gráfico de ƒ(x) = 1,6x 
Fonte: Do autor (2020) 
Daí, um cientista deseja saber o crescimento médio dessa população no intervalo 
de 5 a 11 horas de decorrida a observação inicial. 
Isto é, o que se deseja é o resultado da integral definida, 
De onde segue pelo Teorema Fundamental do Cálculo e 
com o auxílio de uma tabela de integrais que é igual a, 
de onde segue,
 
Observa-se que o caso da aplicação na Demografia é análogo ao caso anterior. 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BARBOSA, M. A. O insucesso no ensino e aprendizagem na disciplina de 
Cálculo Diferencial e Integral. 2004. 101f. Dissertação de Mestrado em 
Educação – Pontifícia Universidade Católica do Paraná, Curitiba, 2004. 
SILVA, J. F.; BORGES NETO, H. Questões Básicas do Ensino do Cálculo. 
Artigo Científico. Laboratório de Pesquisa Multimeios da Faculdade de Educação 
da Universidade Federal do Ceará, 1994. Disponível 
em:<http://www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-questoes-
basicas-do-ensino-de-calculo.pdf>. Acesso em: 21 de mar. 2019. 
 
ZUIN, E. S. L. Cálculo: uma abordagem histórica. In: LAUDARES, J. B.; LACHINI, 
J. (Org.). Educação Matemática: a prática educativa sob o olhar de 
professores de Cálculo. Belo Horizonte: FUMARC, 2001. 
APÊNDICES – REFERÊNCIAS DE NOTA DE RODAPÉ 
2. Joseph Louis Lagrange (1736-1813), italiano, fez grandes contribuições para 
a teoria dos números e teoria das funções e para a matemática em geral. 
3. Isaac Newton, inglês, (1642-1726) não declarou sua lei na forma acima em 
1701. Preferencialmente ele notou depois de algumas manipulações matemáticas 
que a taxa de mudança de temperatura de um corpo é proporcional à diferença 
de temperatura entre o corpo e sua vizinhança. 
[1] Pós-Graduação em Metodologia do ensino da Matemática e da Física pela 
Faculdade Única de Ipatinga-FUNIP, pós-Graduação em matemática financeira e 
estatística pela Faculdade Única de Ipatinga-FUNIP e Graduado em Licenciatura 
Plena em Matemática pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia 
do Maranhão-IFMA. 
 
https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/teorema-do-valor-medio#_ftnref1