Introdução à Probabilidade e Estatística

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
APLICADA À ENGENHARIA
PROBABILIDADE
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Olá!
A partir de agora iniciaremos o Estudo da Probabilidade, que será desenvolvido até o final deste curso.
Nesta aula, introduziremos inicialmente alguns conceitos básicos da Probabilidade. Em seguida será realizada
uma revisão sobre as Técnicas de Contagem, e na sequência, aprendermos a aplicar a Regra da Soma, da
Probabilidade Condicional e do Produto. Por fim, estudaremos o Teorema de Bayes.
Objetivos
Ao final desta aula você deverá ser capaz de:
1. Reconhecer os conceitos básicos de Probabilidade;
2. Calcular probabilidades a partir das Técnicas de Contagem;
3. Aplicar as Regras de Adição, Multiplicação e Probabilidade Condicional no cálculo de probabilidades;
4. Usar o Teorema de Bayes.
1 O que é Probabilidade?
Acredita-se que a história da Probabilidade tenha se iniciado na Idade Média em função das apostas efetuadas
em jogos de azar. Por isso, ao procurarmos explicações sobre o tema, invariavelmente, vamos nos deparar com
exemplos ligados a jogos com dados, roletas e cartas de baralho.
A Probabilidade lida essencialmente com as chances de ocorrência de diferentes resultados em eventos,
apresentando técnicas para o cálculo das mesmas.
Estamos acostumados a ler e escutar termos relacionados à Probabilidade utilizados de maneira informal. Frases
como “provavelmente o dólar continuará subindo nos próximos meses” ou “a probabilidade do candidato X se
reeleger é muito pequena” ou, ainda, “as chances de chover no próximo fim de semana são muito grandes” são
encontradas com frequência no nosso dia a dia.
Contudo, apesar de estarmos habituados a ouvir isso, é importante que sejam introduzidos inicialmente alguns
conceitos básicos formais para melhor entendimento e interpretação do assunto em questão. E é isso que
faremos agora!
2 Experimentos ou fenômenos aleatórios
Para compreender, vamos comparar estes dois eventos:
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I - O resultado do lançamento de uma moeda pode ser cara ou coroa.
II - Em uma pesquisa de intenção de voto, 43% dos eleitores preferem o Candidato A, 37% dos eleitores
preferem o Candidato B e 20% dos eleitores não sabem em quem vão votar.
O que esses dois experimentos têm em comum?
O fato de que o resultado não pode ser previsto com antecedência.
O resultado irá variar toda vez que lançarmos uma moeda ou extrairmos diferentes amostras para a pesquisa de
intenção de voto.
Aos fenômenos deste tipo damos o nome de experimentos ou fenômenos aleatórios.
2.1 Experimento
Experimento é todo processo de realizar observações e obter dados.
Experimento aleatório
Aquele em que, apesar de se conhecer todos os possíveis resultados , não se pode antecipar seu resultado.
Espaço amostral
Conjunto formado por todos os possíveis e diferentes resultados de um experimento aleatório.
EXEMPLO:
Lançamento de duas moedas.
O espaço amostral será: S = {CaCa, CaCo, CoCa, CoCo}, onde Ca = Cara e Co = Coroa.
3 Evento
Evento é subconjunto formado por um ou mais resultados (eventos elementares) do espaço amostral.
Ao se jogar duas moedas, consideramos que se trata de um evento dos resultados que têm exatamente apenas
uma cara: A = {CaCo, CoCa}
Vejamos alguns eventos:
Evento elementar
Um único resultado do espaço amostral, com uma única característica. Não pode ser particionado nem dividido.
Evento composto
Conjunto de eventos elementares, com duas ou mais características. Ou seja, no evento elementar se encontra
um único resultado e no evento composto mais de um resultado.
Complemento de um evento
Subconjunto formado pelos elementos do espaço amostral que não estão incluídos no evento.
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A interseção de dois eventos complementares é zero ou um conjunto vazio.
EXEMPLO:
O complemento de A é o conjunto B = {CaCa,CoCo}
Operações com eventos
1. A união dos eventos A e B gera um novo evento formado pela união dos elementos dos dois conjuntos;
2. A dos eventos A e B gera um novo evento formado pelos elementos comuns aos dois eventos;interseção 
3. A união do evento A com seu complemento é o próprio espaço amostral;
4. A interseção do evento A com seu complemento é um conjunto vazio.
Eventos mutuamente excludentes
Para entender esse conceito, pense no lançamento de uma moeda. O resultado só pode ser cara ou coroa, certo?
Um resultado impede a ocorrência de outro, pois ele não pode ser ao mesmo tempo cara e coroa.
Por isso, serão mutuamente excludentes , pois os doiseventos nos quais a interseção for vazia, DISJUNTOS
eventos não têm nenhum elemento em comum.
Eventos coletivamente exaustivos
Se a união dos eventos formarem o espaço amostral, onde cada evento pode ter elementos repetidos no outro
evento, a união deles é 1.
EXEMPLO:
Analisar os resultados do lançamento de uma moeda.
Solução: Como o espaço amostral do lançamento de uma moeda tem apenas dois eventos, os eventos
elementares Ca e Co são mutuamente excludentes, complementares e coletivamente exaustivos.
EXEMPLO 2:
A nota final do curso de Estatística pode ser conceito A, B ou C.
Analisar os resultados das notas.
Solução: O espaço amostral da nota final de Estatística será formado por três eventos elementares: A, B e C. Os
três conceitos são eventos mutuamente excludentes e eventos coletivamente exaustivos, pois quando agrupados
formam o espaço amostral de todos os conceitos. Não são eventos complementares, pois o complemento de A é a
união dos conceitos B e C.
Acho que este pode virar atividade. Se você fizer isso, mude “analisar” para “analise”, por favor.
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4 Visualização de um espaço amostral
Para facilitar a análise de cada situação em estudo, a visualização do espaço amostral pode ser feita através de
algumas representações como Árvore de Possibilidades, Tabela de Contingências, Diagrama de Venn, dentre
outras.
A Árvore de Possibilidades, por exemplo, é a representação gráfica dos eventos elementares de um espaço
amostral. Esta representação é muito útil para organizar os cálculos de experimentos com mais de uma etapa.
EXEMPLO:
Árvore de possibilidades do lançamento de uma moeda três vezes seguidas será:
5 Probabilidade
A Probabilidade de sucesso de um evento A, representada por P(A), é um número entre zero e um:
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Sabendo-se que a probabilidade P(A) está associada à proporção de sucessos do evento A:
Se P(A) = 0, o evento A nunca ocorrerá, pois é um evento impossível;
Se P(A) = 1, o evento A sempre ocorrerá, pois é um evento certo.
A soma das probabilidades de todos os resultados (eventos elementares de um espaço amostral) é sempre igual
a 1.
6 Técnicas de Contagem
Agora faremos uma breve revisão sobre Técnicas de Contagem que nos auxiliarão no cálculo de probabilidades.
Listar ou contar eventos elementares só é um procedimento simples para experimentos com espaço amostral
pequeno, como o lançamento de uma moeda 2 vezes seguidas. Para eventos mais numerosos precisamos de
outras técnicas.
As Técnicas de Contagem (também conhecidas como Análise Combinatória) determinam, sem enumeração
direta, o número de resultados possíveis de um espaço amostral.
EXEMPLO:
Determinar o número de resultados possíveis do lançamento de um dado 3 vezes
seguidas.
Solução: Para contar os resultados possíveis procedemos como segue:
• Cada lançamento do dado tem 6 resultados possíveis;
• Cada resultado dos 6 resultados do segundo lançamento poderá ser combinado com os 6 do primeiro 
Saiba mais
A probabilidade de um evento não ocorrer é igual a 1 menos a probabilidade do evento ocorrer.
•
•
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• Cada resultado dos 6 resultados do segundo lançamento poderá ser combinado com os 6 do primeiro 
lançamento, totalizando 36 resultados possíveis;
• Cada resultado dos 6 resultados do terceiro lançamento poderá ser combinado com os 36 do segundo 
lançamento, totalizando 216 resultados.
6 x 6 x 6 = 63 = 216
EXEMPLO:
A placa de um carro é formada primeiro por 3 letras e em sequência por 3 dígitos de 0 a 9.
Determinar o número de placas possíveis considerandoque podem ser usadas 22 letras em cada posição e o
primeiro dígito não pode ser zero.
Solução: o número de placas possíveis é obtido pela expressão:
22 x 22 x 22 x 9 x 10 x 10 = 9.583.200
6.1 Princípio Fundamental da Contagem
De um modo geral temos:
Se um evento é composto por 2 etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de
possibilidades na 1a etapa é m e na 2a etapa é n, então o número de possibilidades do evento ocorrer é dado por
m.n.
O produto dos números de possibilidades vale para qualquer número de etapas .independentes
EXEMPLO:
Se em um restaurante encontra-se no cardápio 3 tipos de saladas, 4 pratos quentes e 2 sobremesas, de quantas
maneiras diferentes é possível montar uma refeição completa?
Solução: 3 x 4 x 2 = 24 maneiras.
7 Permutação simples
A permutação simples nos dá o número de agrupamentos possíveis de se formar quando temos n elementos e 
serão usados em cada agrupamento.todos 
Na permutação, a ordem em que os objetos aparecem é importante, definem um novo e distinto objeto.
A ordem diferencia o elemento.
•
•
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Dessa forma,
ABC é diferente de e de e assim por diante.BAC CBA 
EXEMPLO:
Quantos números de 3 algarismos, em um mesmo número, podemos formar com os algarismossem repeti-los
1,2 e 3?
Solução: Resolvendo pela árvore de possibilidades:
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 3. 2. 1 = 6 possibilidades
Observe que a ordem dos algarismos é muito importante. Todos os números diferem entre si pela ordem de seus
algarismos, pois o número 123 é diferente de 213, que é diferente de 321 e assim sucessivamente.
EXEMPLO:
Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra
ANEL?
Solução:
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 4. 3. 2. 1 = 24 possibilidades
Concluímos que:
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Se temos n elementos distintos, então o número de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos
esses n elementos é dado por:
n.(n-1).(n-2). ... .3.2.1
Esses grupamentos , que diferem pela ordem, recebem o nome de eordenados permutações simples
indicamos por Pn o número de permutações simples de n elementos:
P n.(n-1).(n-2). ... .3.2.1
n= 
O valor obtido com Pn também é conhecido como Fatorial de n ou n Fatorial e é representado pelo n!
n! = P = n.(n - 1).(n - 2). ... .3.2.1
n
Resumindo:
N elementos à todos usados
A ordem define um novo elemento
Sem repetição
OBS: Fatorial de zero é um: 0! = 1
No EXCEL use a função FATORIAL (n)
8 Arranjo simples
O arranjo simples nos dá o número de agrupamentos possíveis de se formar quando temos n elementos e nem
todos serão usados em cada agrupamento.
No arranjo, a ordem em que os objetos aparecem é importante, definem um novo e distinto objeto.
A ordem diferencia o elemento, assim como na permutação.
Dessa forma,
ABC é diferente de e de e assim por diante.BAC CBA 
EXEMPLO:
Usando os algarismos 2, 3, 5, 7, 8 e 9, quantos números naturais de 4 algarismos distintos podemos formar?
Solução:
Há 6 possibilidades para o 1o algarismo.
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Há 5 possibilidades para o 2o algarismo.
Há 4 possibilidades para o 3o algarismo.
Há 3 possibilidades para o 4o algarismo.
No total, podemos formar 6.5.4.3 = 360 números.
Neste caso, fizemos arranjos de 6 elementos 4 a 4, e indicamos assim:
A = 6.5.4.3 = 360
6,4
EXEMPLO: Qual o número de arranjos de cinco objetos identificados pelas letras a, b, c, d e e tomados 3 a 3?
Solução:
O primeiro objeto pode ser qualquer um dos 5.
O segundo objeto será um dos 4 restantes.
O terceiro será um dos 3 restantes.
Pela fórmula da multiplicação há 60 (5 x 4 x 3) palavras distintas.
Arranjos simples A(n,p) de n objetos associados em grupos de p (p ≤ n) são os agrupamentos ordenados
diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados.
São calculados com a fórmula:
Usando a notação fatorial:
Aplicando esta fórmula no exemplo acima, A(5,3) = 5! / 2! = (5x4x3x2x1) / (2x1) = 5x4x3 = 60.
Quando n = p, temos:
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Concluímos que um arranjo é um subconjunto, um caso, da permutação.
Resumindo:
N elementos à NEM todos são usados
A ordem define um novo elemento
Sem repetição
No EXCEL, use a função PERMUT (n;p)
EXEMPLO: Usando os algarismos 1, 4, 7 e 9, quantos números naturais de 3 algarismos podemos formar com
algarismos distintos ou com algarismos repetidos?
Solução:
Repetidos Isto é um caso de Arranjo com Repetição de 4 elementos 3 a 3 e indicamos assim:à
AR = 4.4.4=4 = 64
4,3
3
Distintos à 4 x 3 x 2 = 24
EXEMPLO: Quantos números de 3 algarismos, com repetição, podemos formar com os algarismos 5 e 8? 
Solução:
AR = 2.2.2=2
2,3
3
Assim, podemos generalizar à arranjo com repetição = AR =nn,p
p
Combinações
Quando a ordem dos objetos não é importante, estamos na contagem denominada combinação.
Neste caso a mudança de ordem não gera um novo elemento.
Assim, abc é igual a bac e cba.
ABC é igual a e . BAC CBA
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EXEMPLO: Ana, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Apenas 2 deles representarão a equipe em
uma apresentação. Quantas são as possibilidades de representação?
Solução:
As 5 pessoas formam um conjunto. Quantos subconjuntos de 2 pessoas podemos formar?
Neste caso, a ordem dos elementos não importa, pois Ana e Elisa é a mesma dupla que Elisa e Ana.
Então, os subconjuntos de 2 elementos são:
{A;E}, {A;R},{A;F},{A;G},{E;R},{E;F},{E;G},{R;F},{R;G},{F;G}
O número total de combinações é 10.
C = 105,2 
EXEMPLO: De um conjunto com 3 elementos {a;b;c}, quantos subconjuntos de 2 elementos podemos formar?
Solução:
{a;b}
{a;c}
{b;c}
O número total de combinações é 3.
C =3
3,2
Seu resultado também pode ser obtido com a seguinte fórmula:
Como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa. Só consideramos subconjuntos
distintos os que diferem pela natureza dos seus elementos.
Resumindo:
N elementos à NEM todos são usados
A ordem NÃO define um novo elemento
Sem repetição
No EXCEL, use a função COMBIN (n,p).
Propriedades da Combinação:
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EXEMPLO: Qual o número de combinações de 5 objetos identificados pelas letras
a,b,c,d,e tomados 3 a 3?
Solução: C(5,3) = 5! / (3! 2!) = (5x4x3x2x1) / (3x2x1x2x1) = 5x2 = 10 =
(5.4.3)/(3.2.1)
EXEMPLO: Quantas comissões de 3 pessoas podem-se formar com um grupo de 10 pessoas? 
Solução:
9 Obtenção de probabilidades de eventos
Dentre as diversas formas de obter a probabilidade de sucesso de um evento, apresentaremos a frequência
relativa e a probabilidade teórica.
A frequência relativa, também conhecida por Método Clássico ou Empírico, vem da experimentação. É preciso
realizar o experimento repetidas vezes e depois anotar o número de sucessos do evento procurado.
Frequência relativa
A frequência relativa que calculamos em uma tabela de frequências é o resultado da probabilidade buscada.
Se um experimento for repetido um número muito grande de vezes, podemos perceber uma tendência nos
resultados. Esta tendência se aproximará de um resultado teórico quanto maior for o número de repetições.
No arquivo , está registrado o lançamento de uma moeda 1500 vezes, que do ponto de vistafrequência relativa
estatístico ainda é um número pequeno de repetições, mas já é possível observar uma tendência nos resultados.
Frequência relativa Previsões de tempo, resultados eleitorais, mortalidade causada por doenças, entre outras,
são probabilidades calculadas usando-se frequências relativas de pesquisas estatísticas. Nesses casos, quanto
maior for o histórico de dados analisados, melhor será a previsão.
Depois de se repetir um experimento aleatório um número muito grande de vezes, a proporção de ocorrência
dos resultados tenderá para a probabilidade teórica. Isso é chamado de Lei dos Grandes Números.
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Ao aumentar o número de experimentos, a frequência relativa de cada evento, que aprendemos a calcular no
início do nosso curso, se aproximará do seu valor teórico, da sua probabilidade de ocorrer.
Essa probabilidade é calculada da seguinte forma:
Isso é exatamente o quevínhamos fazendo na estatística descritiva, em que um experimento era realizado e seus
resultados eram organizados em uma tabela de frequências.
Em seguida, calculávamos as frequências simples, relativa e acumulada. Para aquele evento que foi realizado, a
freq. relativa indica exatamente a probabilidade de ocorrência de cada resultado observado.
Probabilidade teórica de eventos
Quando os eventos de um experimento são , a probabilidade de cada evento pode serigualmente prováveis
obtida de um cálculo teórico: 1/m (m é o número total de ).eventos elementares
Quando um evento A contém r pontos ou eventos elementares a P(A) = r . 1/m = r/m
Esta relação vem do resultado da divisão do número de eventos que atendem à condição estabelecida pelo
número total de resultados possíveis do espaço amostral.
EXEMPLO: No lançamento de uma moeda, o espaço amostral tem apenas dois eventos elementares mutuamente
excludentes: “cara e coroa”. Estes são igualmente prováveis e não existem condições que estabeleçam
preferências ou dependências. A probabilidade de sair “cara” é então ½ = 50%.
EXEMPLO: Qual a probabilidade teórica de se obter 2 no lançamento de um dado? 
O espaço amostral tem 6 eventos elementares mutuamente excludentes {1,2,3,4,5,6}.
Como os 6 resultados são igualmente prováveis a probabilidade teórica é 1/6.
EXEMPLO: No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número maior do que 4? 
Espaço amostral A= {1,2,3,4,5,6}
n(A) = 6
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B={5,6} à número maior do que 4 à n(B)=2
EXEMPLO: Qual a probabilidade de sair um “2”, ao retirar, por acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas?
Em um baralho há 4 cartas “2”:
EXEMPLO: No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem
obtidas:
a) pelo menos 2 caras?
b) exatamente 2 caras?
Usando o diagrama de árvore temos:
O espaço amostral tem 8 eventos elementares.
O evento A = obter pelo menos 2 caras tem 4 eventos elementares.
P(A)=4/8 = ½ = 0,50=50%
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O evento B = obter exatamente 2 caras tem 3 eventos elementares.
P(B)=3/8 = 0,375 = 37,5%
10 Regra da soma, probabilidade condicional e regra da 
multiplicação
Regra da soma
Seja um Espaço amostral finito . Considere o evento formado por um simples resultado A={ai}.S={a1, a2 ..., an}
A cada evento simples está associada uma probabilidade pi que satisfaz às seguintes condições:
A probabilidade P(A) de um evento composto (com mais de um elemento) é então definida pela soma das
probabilidades dos pontos de A.
Aplicando as regras das operações de união e interseção de conjuntos, os eventos de um mesmo espaço amostral
podem ser combinados. Assim, a probabilidade de uma combinação de eventos pode ser obtida a partir das
probabilidades dos eventos como mostra a Regra da Soma de eventos abaixo:
Sejam dois eventos mutuamente excludentes A e B com probabilidades P(A) e P(B). A probabilidade P (A ou B)
de ocorrer A ou B é igual à soma das probabilidades dos eventos:
P(A ou B) =P(A B) = P(A) + P(B)
Se A e B são dois eventos quaisquer então:
EXEMPLO: Calcule a probabilidade de em um baralho selecionarmos ao acaso uma 
carta e ela ser de ouros OU uma figura?
P(ouros OU figura) = P(ouros)+ P (figura) – P(ouros ∩ figura) = 13/52 + 12/52 – 3/52
= 22/52
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EXEMPLO: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade
de que essa carta seja vermelha ou um Ás?
P(V ou A)= P(V) + P(A) – P(V A)∩
Em um baralho de 52 cartas, há 26 vermelhas, 4 ases, dos quais 2 são vermelhos.
EXEMPLO: Calcular a probabilidade de ocorrer apenas uma cara no lançamento de uma moeda 3 vezes seguidas. 
Analisando na árvore de possibilidades, apenas os eventos elementares E4, E6 e
E7 têm uma cara.
P(E4 ou E6 ou E7) = P(E4) + P(E6) + P(E7) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375 = 37,5%
EXEMPLO: Continuando com o lançamento de uma moeda 3 vezes seguidas, qual
a probabilidade de ocorrerem 2 ou mais “caras”?
Analisando na árvore de possibilidades, apenas os eventos elementares E1, E2, E3
e E5 têm uma “cara”.
P(E1 ou E2 ou E3 ou E5) = P(E1) + P(E2) + P(E3) + P(E5) = 1/8+1/8+1/8+1/8 =4/8=
0,5 = 50%
EXEMPLO: Dada a tabela de ocorrências abaixo, qual a probabilidade dos seguintes eventos ocorrerem?
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Solução:
Probabilidade condicional
A probabilidade de que aconteça o Evento X tendo acontecido, ou sabendo que aconteceu o Evento Y, é obtida a
partir do novo espaço amostral definido pelo evento Y.
A probabilidade P(X/Y) é denominada probabilidade condicional de X dado Y, ou probabilidade de ocorrer X,
tendo ocorrido Y.
A probabilidade condicional P(X/Y) entre os eventos X e Y pode ser obtida como resultado da divisão da
probabilidade conjunta P(X e Y) pela probabilidade do evento Y:
P(X/Y) = P(X e Y) / P(Y)
A base de referência muda do espaço amostral S para Y.
Observe que a P(X) = P(X∩S) / P(S) = P(X) / 1 = P(X) = P(X/S)
Regra da multiplicação
Troque S por Y e teremos a probabilidade condicional.
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P(X/Y) = número de casos favoráveis a X interseção com Y, dividido pelo número de casos favoráveis a Y:
EXEMPLO: Em um baralho tiramos uma carta preta. Qual a probabilidade de que esta carta seja um Ás? 
Solução:
Lê-se da seguinte forma: dado que saiu 1 carta preta, qual a chance dela ser um Ás?
P(Ás/Preta) = P(Ás ∩ Preta) / P(Preta) = (2/52) / (26/52) = 2/26 = 7,69%
EXEMPLO: Dada a tabela de ocorrências abaixo, qual a probabilidade dos seguintes eventos ocorrerem? 
Solução:
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Regra da multiplicação
A partir da definição de probabilidade condicional, pode-se enunciar o teorema do produto:
A probabilidade de de dois eventos A e B do é igual aoocorrência simultânea mesmo espaço amostral 
produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro.
Apresentando de outra forma a probabilidade condicional, temos:
P(X e Y) = P(X/Y) . P(Y)
Um Evento X é considerado independente de outro Evento Y se a probabilidade de X é igual à probabilidade
condicional de X dado Y, isto é, se P(X/Y) = P(X).
Para eventos independentes então:
P(X e Y) = P(X) . P(Y)
EXEMPLO: No lançamento de uma moeda honesta 10 vezes seguidas, ocorreram 10 “coroas”. Se a moeda for 
lançada mais uma vez, qual a probabilidade de que seja “cara”?
A probabilidade do evento X = ser “cara” continua sendo 50%, pois são eventos
independentes.
EXEMPLO: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição. 
Qual a probabilidade de ambas serem boas?
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A= {a primeira peça é boa}
B= {a segunda peça é boa}
EXEMPLO: Qual a probabilidade de ocorrerem 3 “caras” no lançamento de 3 moedas?
A probabilidade de cada lançamento é 0,50. São eventos independentes. A probabilidade de ocorrerem 3 “caras”
é:
P(X e Y e Z) = P(X) . P(Y) . P(Z) = 0,5 . 0,5 . 0,5 = 0,125
Se usar a árvore de possibilidades encontramos 1/8 =0,125 ou
= 8 possibilidades 3 “caras” é apenas uma das 8 possibilidades 1 em 8 1/8 = 0,125à à
11 Teorema de Bayes
Agora que já estudamos a probabilidade condicional, podemos utilizar o Teorema de Bayes, uma importante
ferramenta que relaciona a probabilidade condicional à sua inversa. É também conhecido como o Teorema da
.Probabilidade a Posteriori
O Teorema de Bayes diz que:
Sejam os eventos A1, A2, A3, ..., An , formados a partir da partição de um espaço amostral. Seja B contido nesse
espaço amostral. E sejam conhecidas P(Ai) e P(B/Ai), i=1, 2, 3, ..., n. Então:
Onde:
P(Aj/B) é chamada de Probabilidade Posteriori
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P(Aj) é chamada de Probabilidade a Priori
P(B/Aj) é a Probabilidade Condicional
Σ P(Ai) . P(B/Ai) é a Probabilidade Total
Vemos assim que o Teorema de Bayes estabelece a razão entre uma das parcelas da probabilidade com a
probabilidade total.
A melhor forma de entendê-lo é partirmos de um exemplo prático.
Suponha que a previsão do tempo para o próximo feriado seja anunciada em um jornal:
60% (ou 0,6) de probabilidade de chover;
30% (ou 0,3) de probabilidade de formação de neblina;
10%(ou 0,1) de probabilidade de fazer sol.
E que estudos tenham sido feitos a respeito do número de acidentes nas estradas em diversas condições
climáticas:
30% (0,3) de chance de ocorrer acidentes em dias de chuva;
20% (ou 0,2) de chance de ocorrer acidentes em dias com formação de neblina;
10% (ou 0,1) de chance de ocorrer acidentes em dias de sol.
Você está programando uma viagem e resolve verificar qual a maior probabilidade de ocorrer acidentes nas
estradas e, claro, lembra do Teorema de Bayes.
Primeiro você calcula a probabilidade total. Para isso, multiplica a probabilidade a priori de cada situação pela
probabilidade condicional:
Chuva: 0,6 x 0,1 = 0,06
Neblina: 0,3 x 0,1 = 0,06
Sol: 0,4 a x 0,1 = 0,04
Somando os resultados você conclui que a probabilidade total é 0,25.
Dessa forma, passa a calcular a probabilidade posteriori de cada evento:
Chuva: 0,18/0,25 = 0,72 ou 72%
Neblina: 0,06/0,25 = 0,24 ou 24%
Sol: 0,01/0,25 = 0,04 ou 4%
Nesse caso, os resultados encontrados para a probabilidade de ocorrência de acidentes em cada situação já era
mais ou menos esperado, pois sabemos que o perigo em dias de chuva é muito maior do que em dias de sol, e a
probabilidade de chover nesse final de semana era maior do que as outras duas opções. Contudo, vamos avaliar
uma outra situação em que também é possível utilizar o Teorema de Bayes.
Exemplo:
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Imagine agora que você é o engenheiro responsável por uma linha de produção e está avaliando o desempenho
de 3 máquinas:
Máquina X, responsável por 50% da produção, fornece 1% das peças com defeito.
Máquina Y, responsável por 40% da produção, fornece 2% das peças com defeito.
Máquina Z, responsável por 10% da produção, fornece 3% das peças com defeito.
A empresa comprou uma máquina nova para substituir uma das 3 antigas e você precisa dizer qual delas deve
ser substituída.
Na mesma hora, você lembra do Teorema de Bayes e corre para sua mesa:
Primeiro calcula a probabilidade total:
Em seguida, calcula a probabilidade posteriori de cada evento:
Máquina X; 0,005/0,0016 = 0,3125 ou 31,25%
Máquina Y: 0,008/0,016 = 0,5000 ou 50,00%
Máquina Z: 0,003/0,016 = 0,1875 ou 18,75%
Note que a Máquina Y, que deverá ser substituída, não era uma opção óbvia. Mas, graças ao Bayes você garantiu
o seu emprego.
Próximos passos
Na próxima aula, você estudará sobre os seguintes assuntos:
• Variáveis aleatórias e suas funções de distribuição;
• Cálculo da esperança matemática;
• Cálculo da variância de variáveis aleatórias.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Conheceu os conceitos básicos da Probabilidade;
• Revisou as Técnicas de Contagem;
• Aprendeu quando utilizar a Regra da Soma, da Probabilidade Condicional e a da Multiplicação;
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• Aprendeu quando utilizar a Regra da Soma, da Probabilidade Condicional e a da Multiplicação;
• Verificou importância do Teorema de Bayes.
Referências
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MC CLAVE, James; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. . Ney Jersey:Satistics For Business and Economics
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TOLEDO, Geraldo; OVALE, Ivo. . São Paulo: Atlas, 1985.Estatística Básica
TRIOLA, Mario F. . Rio de Janeiro: LTC, 2013.Introdução à Estatística
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	Olá!
	1 O que é Probabilidade?
	2 Experimentos ou fenômenos aleatórios
	2.1 Experimento
	3 Evento
	4 Visualização de um espaço amostral
	5 Probabilidade
	6 Técnicas de Contagem
	6.1 Princípio Fundamental da Contagem
	7 Permutação simples
	8 Arranjo simples
	9 Obtenção de probabilidades de eventos
	10 Regra da soma, probabilidade condicional e regra da multiplicação
	11 Teorema de Bayes
	Próximos passos
	CONCLUSÃO
	Referências