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MasterZdran, 
Ano Lectivo 2007/2008 
Versão 1.0 
1/10 
Apontamentos 
de 
Álgebra Linear 
e 
Geometria Analitica 
 
(ISEL 2007/2008) 
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Ano Lectivo 2007/2008 
Versão 1.0 
2/10 
 
Nota: ................................................................................................................................. 3 
1. MATRIZES .............................................................................................................. 4 
1.1- Álgebra das Matrizes ........................................................................................ 4 
1.2- Operações elementares. Característica de uma Matriz..................................... 5 
1.3- Sistema de Equações Lineares.......................................................................... 6 
1.4- Inversa de uma Matriz Quadrada...................................................................... 6 
2. Determinantes........................................................................................................... 6 
2.1- Definição de Determinantes (Regra de Sarrus): ............................................... 6 
2.2- Propriedades dos Determinantes ...................................................................... 7 
2.3- Teorema de Laplace.......................................................................................... 7 
2.4- Aplicações dos Determinantes.......................................................................... 7 
2.4-1. Cálculo da Inversa de uma Matriz............................................................ 7 
2.4-2. Resolução de Sistemas de Equações Lineares (Possíveis e Determinados)
 8 
3. Espaços Vectoriais.................................................................................................... 8 
3.1- Combinação Linear/Dependência e Independência ......................................... 8 
3.2- Subespaços vectoriais ....................................................................................... 8 
3.3- Subespaços Gerados ......................................................................................... 8 
3.4- Base e dimensão ............................................................................................... 9 
3.5- Matriz Mudança de Base .................................................................................. 9 
4. Aplicações Lineares.................................................................................................. 9 
4.1- Núcleo e Imagem.............................................................................................. 9 
4.2- Caracterização de Aplicações:.......................................................................... 9 
4.3- Operações de Aplicações Lineares ................................................................... 9 
5. Vectores e Valores Próprios ................................................................................... 10 
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Ano Lectivo 2007/2008 
Versão 1.0 
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Nota: 
Estes apontamentos não pretendem de forma nenhuma substituir as sebentas ou recursos 
existentes, pretende somente simplificar/clarificar algumas questões. 
Sugiro e aconselho que analisem as demonstrações dos teoremas e vejam exercícios 
resolvidos como forma de compreender a síntese aqui descrita. 
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Ano Lectivo 2007/2008 
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1. MATRIZES 
1.1- Álgebra das Matrizes 
• Igualdade 
o ji,ij ba :ji, sse BA =∀= 
• Adição (Subtracção) 
o Matrizes do mesmo tipo 
ijijij cba; CBA; ji, =+=+∀ 
Ex.: 
 
 
• Multiplicação de matrizes 
o Matrizes do tipo nomonm CB*A = (só é possível neste caso, ou matrizes 
quadradas). 
Ex. (RGB Ruler Trick): 
A2,3 B3,3 C2,3
c6c5c4
c3c2c1
b9b8b7
b6b5b4
b3b2b1
a6a5a4
a3a2a1
* R
G
B
 
R
u
le
r
Tr
ic
k
=
A2,3 B3,3 C2,3
c6c5c4
c3c2c1
b9b8b7
b6b5b4
b3b2b1
a6a5a4
a3a2a1
* R
G
B
 
R
u
le
r
Tr
ic
k
=
A2,3 B3,3 C2,3
c6c5c4
c3c2c1
b9b8b7
b6b5b4
b3b2b1
a6a5a4
a3a2a1
* R
G
B
 
R
u
le
r
Tr
ic
k
=
 
 
 
 
A2,3 B3,3 C2,3
c6c5c4
c3c2c1
b9b8b7
b6b5b4
b3b2b1
a6a5a4
a3a2a1
*
=RG
B
 
R
u
le
r
Tr
ic
k
A2,3 B3,3 C2,3
c6c5c4
c3c2c1
b9b8b7
b6b5b4
b3b2b1
a6a5a4
a3a2a1
*
=RG
B
 
R
u
le
r
Tr
ic
k
R
G
B
 
R
u
le
r
Tr
ic
k
 
d c 
b a 
h g 
f e 
d+h c+g 
b+f a+e 
+ = 
c2 = a1*b2 + a2*b5 + a3*b8 
c5 = a4*b2 + a5*b5 + a6*b8 
c4 = a4*b1 + a5*b4 + a6*b7 
c1 = a1*b1 + a2*b4 + a3*b7 
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Versão 1.0 
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A2,3 B3,3 C2,3
c6c5c4
c3c2c1
b9b8b7
b6b5b4
b3b2b1
a6a5a4
a3a2a1
*
=RG
B
 
R
u
le
r
Tr
ic
k
A2,3 B3,3 C2,3
c6c5c4
c3c2c1
b9b8b7
b6b5b4
b3b2b1
a6a5a4
a3a2a1
*
=RG
B
 
R
u
le
r
Tr
ic
k
R
G
B
 
R
u
le
r
Tr
ic
k
 
 
 
 
 
o A multiplicação não é comutativa (excepto se forem permutáveis 
A*B=B*A) 
• Potenciação (somente para matrizes n,n): 
o 



=
=
+ A*A A
IA
n1n
n
0
 
• Conceitos importantes: 
o Simétrica: AAT = 
o Anti-Simétrica (hemi-simétrica): AAT −= 
o Hermítica (hermitiana): ( ) ( ) AAAA TT ===* 
o Hemi-Hermítica (hemi-hermitiana, anti-Hermítica): ( ) ( ) AAAA TT −===* 
Nota 1: 
Estes dois últimos conceitos assumem que a matriz seja quadrada de ordem 
n e que seja do corpo dos números complexos. 
 
Nota 2: 
Uma matriz Hermítica tem: 
• Elementos diagonais, reais 
• Elementos opostos em relação à diagonal principal, conjugados 
Uma matriz hemi-Hermítica tem: 
• elementos diagonais nulos e/ou imaginário puros 
• Elementos opostos em relação à diagonal principal, com a mesma 
parte imaginária e parte real simétrica 
• Propriedades: 
o ( ) AA =** 
o ( ) *** BABA ±=± 
o ( ) *** ** ABBA = 
o ( ) ** AA αα = 
1.2- Operações elementares. Característica de uma Matriz. 
• Operações 
o Trocar de Linhas (O1) 
c3 = a1*b3 + a2*b6 + a3*b9 
c6 = a4*b3 + a5*b6 + a6*b9 
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o Multiplicação uma linha/coluna por um escalar diferente de zero 
(O2) 
o Somar a uma linha/coluna outra multiplicada por um escalar (O3) 
• Característica 
Após se obter uma matriz com as linhas em escada: 
o C(A)=número de linhas não nulas. 
1.3- Sistema de Equações Lineares 
Para a resolver qualquer sistema/matriz, esta tem que ter as linhas em escada. 
• Sistema Matricial: AX=B 
• Sistema Homogéneo: AX=0 (tem sempre solução) 
• Matriz Ampliada: A|B 
• Determinação (n = n.º de variáveis) 
o ( ) ( ) Impossível Sistema B|A CA C ⇒≠ 
o ( ) ( ) adoindetermin mas Possível, Sistema n B|A CA C ⇒<= 
o ( ) ( ) adoindetermin e Possível Sistema B|A CA C ⇒= 
o Grau de indeterminação: n - C(A) 
 
Trick or Treat: 
Na discussão dos sistemas de equações (na forma matricial), fazer as operações 
básicas das matrizes de forma que os escalares desconhecidos (os a, b, …, etc.), 
fiquem situados depois dos pivot’s das matrizes. Desta forma, na altura de verificar 
se a matriz é ou não determinada, só temos que verificar os casos do último pivot, 
que é o que tem as constantes desconhecidas. 
1.4- Inversa de uma Matriz Quadrada 
• A*B=B*A=I 
• Matriz regular (não é singular): C(A)=n 
• Se A é regular então admite inversa e esta é única 
 
 
2. Determinantes 
Só se verifica com matrizes quadradas 
2.1- Definição de Determinantes (Regra de Sarrus): 
dc
ba
Det(A) = a*d - b*c
dc
ba
Det(A) = a*d - b*c
 
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ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
D1 = a*e*i + b*g*f + d*c*h
Det(A) = D1-D2
D2=c*e*g + h*a*f + d*i*b
ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
D1 = a*e*i + b*g*f + d*c*h
Det(A) = D1-D2
D2=c*e*g + h*a*f + d*i*b
 
 
2.2- Propriedades dosDeterminantes 
• Se a Matriz A tem uma linha/coluna composta por zeros: Det(A)=0 
• Se a Matriz A tem duas linhas/colunas iguais ou proporcionais: Det(A)=0 
• Na troca de linhas/colunas de uma matriz: Det(A)= - Det(A) 
• Se matriz A é triangular: Det(A)=multiplicação da diagonal principal 
• *Det(A)αA)Det( n=*α , n= numero de linhas/colunas 
• )()( TADetADet = 
• Se matriz A é complexa: ( ) ( ) ( )ADetADetADet ==* 
• Det(A*B)=Det(A)*Det(B) 
• Matriz A é invertível se ( ) 0≠ADet 
• Se A é invertível: ( ) ( )ADetADet
11
=
−
 
2.3- Teorema de Laplace 
• ( ) ( )( )jiAaADet jiij |det*1*)( +−=∑ 
• ( )jiA | =complemento da matriz eliminando a linha i e a coluna j 
 
Trick or Treat: 
- Escolher a linha com mais zeros. 
- Aplicar condensação para obter mais zeros 
 
2.4- Aplicações dos Determinantes 
2.4-1. Cálculo da Inversa de uma Matriz 
 
• Matriz complementar de A=Â 
• Matriz Adjunta: adj(A) 
• ( ) ( )TÂAadj = 
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• Inversa: 
o se ( ) 0det ≠A 
o )(*)det(
11 Aadj
A
A =− 
2.4-2. Resolução de Sistemas de Equações Lineares (Possíveis e 
Determinados) 
Regra de Cramer 
• Matriz A de ordem n 
• Matriz B (coluna) 
• Matriz RPn (Resultado Parcial) resulta em n matrizes substituindo de cada 
Coluna da Matriz pela Coluna da Matriz B. 
• ( ) ( )( )A
RPn
zyx
det
det
,...,, = 
3. Espaços Vectoriais 
3.1- Combinação Linear/Dependência e Independência 
• Combinação Linear: ( )∑
=
=
n
i
ii uv
1
*α 
• Se todos 0=iα , então v é linearmente independente 
• Caso contrário é linearmente dependente 
 
Trick or Treat: 
Formas de resolver exercícios: 
Só para quando a matriz é possível e determinado, ou estudar os caso para quando 
existe grau de indeterminação. 
• v é combinação linear de nu : achar quais são os iα . 
• Verificar dependência: 0=v , verificar que os iα são zero. 
 
3.2- Subespaços vectoriais 
• E∈0 (vector nulo pertence ao espaço) 
• Vector é combinação linear no espaço 
 
3.3- Subespaços Gerados 
• Denotação: < nv .> =L( nv ) 
• O sistema Matricial tem que ser possível, ou estudar o grau de indeterminação 
• Combinação Linear: ( )∑
=
=
n
i
ii uv
1
*α 
• Determinar subespaço gerado pelos vectores u: 
o Obtém-se os valores (possíveis) do vector v. 
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3.4- Base e dimensão 
• Espaço vectorial finitamente gerado 
• Conjunto de vectores linearmente independentes 
• Base é o conjunto dos geradores de E linearmente independentes 
• Característica da Matriz indica a dimensão da Base 
• Dim(E) = numero de vectores da Base 
• Resolução: 
o Cada coluna da matriz é um vector da base 
o Cada um destes vectores = coluna identidade da Base 
o Substitui-se os valores dos x, y, z, … na expressão da base 
o Põe-se em evidência as variáveis (x, y, z, …) e obtém-se os vectores 
independentes. 
3.5- Matriz Mudança de Base 
• A Matriz obtém-se achando os escalares dos vectores linearmente independentes 
• Acha-se o Vector coluna e multiplica-se pela Matriz: determinamos as 
coordenadas 
• Neste vector volta-se a aplicar o método usado no inicio para achar a segunda 
base. 
• Aconselha-se a ver exemplos e demonstrações. 
 
 
4. Aplicações Lineares 
• ( ) ( ) ( )yfxfyxfEvx +=+∈∀ :, 
• ( ) ( )xfxfExF *:, ααα =∈∀∈∀ 
4.1- Núcleo e Imagem 
• ( ) ( ){ }0: =∈= xfExfNuc 
• ( ) ( ){ } ( )EfExxff =∈= :Im 
 
4.2- Caracterização de Aplicações: 
• Monoformismo se é injectiva ( Nuc ( f ) = 0 ) 
• Epimorfismo se é sobrejectiva ( Im( f ) = E’, sse C( f ) = dim ( E’ ) ) 
• Isomorfismo se é injectiva ( Nuc( f ) = 0 e C( f ) = dim( E ) = dim ( E’ ) ) 
• Endomorfismo se E’=E 
• Automorfismos se é um endomorfismo bijectivo 
 
4.3- Operações de Aplicações Lineares 
• ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ 
• ( )( ) ( )xfxf ** αα = 
• ( )( ) ( )( )xgfxgf =o 
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5. Vectores e Valores Próprios 
• 0≠v 
• ( ) vvf *α= (subespaço próprio) 
• O conjunto dos valores próprios chama-se espectro.