Para determinar a equação reduzida do plano que passa pelos pontos A (2, 0, -1), B (-2, 6, 3) e C (0, 3, 4), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar dois vetores que estão no plano: Podemos usar os pontos A, B e C para formar dois vetores. Por exemplo: - Vetor AB = B - A = (-2 - 2, 6 - 0, 3 - (-1)) = (-4, 6, 4) - Vetor AC = C - A = (0 - 2, 3 - 0, 4 - (-1)) = (-2, 3, 5) 2. Calcular o produto vetorial: O produto vetorial dos vetores AB e AC nos dará um vetor normal ao plano. - \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \) Calculando o determinante: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 6 & 4 \\ -2 & 3 & 5 \end{vmatrix} \] O cálculo resulta em: \[ \vec{n} = \hat{i}(6 \cdot 5 - 4 \cdot 3) - \hat{j}(-4 \cdot 5 - 4 \cdot -2) + \hat{k}(-4 \cdot 3 - 6 \cdot -2) \] \[ = \hat{i}(30 - 12) - \hat{j}(-20 + 8) + \hat{k}(-12 + 12) \] \[ = \hat{i}(18) - \hat{j}(-12) + \hat{k}(0) \] \[ = (18, 12, 0) \] 3. Equação do plano: A equação do plano pode ser escrita na forma \( Ax + By + Cz + D = 0 \), onde \( (A, B, C) \) é o vetor normal. Usando o ponto A (2, 0, -1): \[ 18(x - 2) + 12(y - 0) + 0(z + 1) = 0 \] Simplificando: \[ 18x - 36 + 12y = 0 \implies 18x + 12y - 36 = 0 \] Dividindo por 6: \[ 3x + 2y - 6 = 0 \] Portanto, a equação reduzida do plano que passa pelos pontos A, B e C é: \[ 3x + 2y - 6 = 0 \]