2. (15 pts.) Si σ = (i1i2 . . . ir) ∈ Sn es un ciclo de largo r y τ ∈ Sn, es una permutación cualquiera, entonces τστ−1 = (τ(i1)τ(i2) . . . τ(ir))...

A afirmação apresentada é verdadeira. Para demonstrar isso, vamos analisar a permutação τστ^(-1) e mostrar que ela é igual a (τ(i1)τ(i2) ... τ(ir)). Seja j um elemento qualquer. Vamos considerar três casos possíveis: 1) Se τ^(-1)(j) não pertence ao conjunto {i1, i2, ..., ir}, então τ^(-1)(j) = j. Nesse caso, temos que τ(i1i2...ir)τ^(-1)(j) = τ(i1i2...ir)j = j, que é igual a j. 2) Se τ^(-1)(j) = il-1, onde l pertence ao conjunto {2, ..., r}, então τ^(-1)(j) pertence ao conjunto {i1, i2, ..., ir}. Nesse caso, temos que τ(i1i2...ir)τ^(-1)(j) = τ(i1i2...ir)il-1 = τ(i1i2...ir-1)il = τ(i1i2...ir), que é igual a τ(i1)τ(i2)...τ(ir). 3) Se τ^(-1)(j) = ir, então τ^(-1)(j) pertence ao conjunto {i1, i2, ..., ir}. Nesse caso, temos que τ(i1i2...ir)τ^(-1)(j) = τ(i1i2...ir)ir = τ(i1i2...ir-1), que é igual a τ(i1)τ(i2)...τ(ir). Portanto, em todos os casos, temos que τστ^(-1) = (τ(i1)τ(i2)...τ(ir)).