Estructuras Algebraicas I Pauta Control 3 1. (6 pts c/u) Considere el subgrupo G = 〈(1234)〉 de S4. Sea X = {1, 2, 3, 4} . Considere la función: • ...

Estructuras Algebraicas I
Pauta Control 3
1. (6 pts c/u) Considere el subgrupo G = 〈(1234)〉 de S4. Sea X = {1, 2, 3, 4} . Considere la
función:
• : G×X → X definida por σ • x = σ(x).
a) Demuestre que la función es una acción.
Demostración: Sea σ, τ ∈ G, x ∈ X entonces:
(τ ◦ σ) • x = (τ ◦ σ)(x)
= τ(σ(x))
= τ • (σ • x)
id • x = id(x) = x.
Luego, la función es una acción.
b) Determine todos los elementos de G.
Desarrollo: G = {(1234), (13)(24), (1432), id}.
c) Determine el estabilizador de 1 y 3.
Desarrollo:
Stab(1) = {σ ∈ G : σ • 1 = 1} = {id}.
Stab(3) = {σ ∈ G : σ • 3 = 3} = {id}.
d) Determine todas las órbitas distintas.
Desarrollo:
Orb(1) = {σ • 1 : σ ∈ G}
= {σ(1) : σ ∈ G}
= {2, 3, 4, 1}
= X
e) ¿Es una acción transitiva?
Desarrollo: La acción es transitiva porque hay solo una órbita.