Comprueba que la función u(x, y) = ∫ x2y2 xy g(t) dt es solución de la ecuación xux − yuy = 0. 393 Comprueba que la función u(x, y) = ∫ x2y2 xy g...

Para verificar se a função u(x, y) = ∫ x^2y^2 xy g(t) dt é solução da equação xux - yuy = 0, precisamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x e y e substituí-las na equação. Vamos começar calculando a derivada parcial de u em relação a x. Para isso, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia: ∂u/∂x = ∂/∂x [∫ x^2y^2 xy g(t) dt] = x^2y^2 y g(x) + ∫ x^2y^2 y g(t) dt Agora, vamos calcular a derivada parcial de u em relação a y: ∂u/∂y = ∂/∂y [∫ x^2y^2 xy g(t) dt] = x^2y^2 x g(y) + ∫ x^2y^2 x g(t) dt Agora, substituímos as derivadas parciais na equação xux - yuy = 0: x(x^2y^2 y g(x) + ∫ x^2y^2 y g(t) dt) - y(x^2y^2 x g(y) + ∫ x^2y^2 x g(t) dt) = 0 Simplificando a expressão, temos: x^3y^3 g(x) + x∫ x^2y^2 y g(t) dt - x^3y^3 g(y) - y∫ x^2y^2 x g(t) dt = 0 Portanto, a função u(x, y) = ∫ x^2y^2 xy g(t) dt é solução da equação xux - yuy = 0.