Hallar los extremos de f(x, y, z) = x + y + z sujetos a las restricciones x2 − y2 = 1, 2x+ z = 1.

Para encontrar os extremos de f(x, y, z) = x + y + z sujeito às restrições x^2 - y^2 = 1 e 2x + z = 1, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos denotar as restrições como g1(x, y, z) = x^2 - y^2 - 1 e g2(x, y, z) = 2x + z - 1. Primeiro, vamos calcular os gradientes de f, g1 e g2: ∇f = (1, 1, 1) ∇g1 = (2x, -2y, 0) ∇g2 = (2, 0, 1) Agora, vamos igualar os gradientes de f e g1 multiplicados por λ1 (multiplicador de Lagrange) e os gradientes de f e g2 multiplicados por λ2: ∇f = λ1∇g1 + λ2∇g2 Isso nos dá o seguinte sistema de equações: 1 = 2λ1x + 2λ2 1 = -2λ1y 1 = λ2 A partir da segunda equação, podemos ver que λ1 = 0, pois não há uma solução não trivial para y. Substituindo λ1 = 0 na primeira e terceira equações, obtemos: 1 = 2λ2 1 = λ2 Portanto, λ2 = 1/2 e substituindo esse valor na primeira equação, encontramos: 1 = 2(1/2)x + 2(1/2) 1 = x + 1 x = 0 Agora, podemos usar a restrição g2 para encontrar o valor de z: 2x + z = 1 2(0) + z = 1 z = 1 Finalmente, substituindo os valores de x e z na função f, obtemos: f(0, y, 1) = 0 + y + 1 f(0, y, 1) = y + 1 Portanto, os extremos ocorrem quando x = 0, y é qualquer número real e z = 1.