1. Se consideran los vectores de R3: ~v1 = (1, 0, 0) t ~v2 = (−1, 1, 0)t ~v3 = (1,−1, 1)t y una transformación lineal f : R3 → R3 de la que se sab...

Para encontrar a matriz de f na base canônica, podemos usar as informações fornecidas. Sabemos que f(~v1) = ~v2 + ~v3 e que ~v2 e ~v3 são vetores próprios associados ao valor próprio 2. A matriz de f na base canônica é dada por: [ f(~v1) | f(~v2) | f(~v3) ] Como f(~v1) = ~v2 + ~v3, temos: [ ~v2 + ~v3 | f(~v2) | f(~v3) ] Agora, precisamos encontrar f(~v2) e f(~v3). Sabendo que ~v2 e ~v3 são vetores próprios associados ao valor próprio 2, podemos escrever: f(~v2) = 2 * ~v2 f(~v3) = 2 * ~v3 Substituindo na matriz, temos: [ ~v2 + ~v3 | 2 * ~v2 | 2 * ~v3 ] Agora, podemos escrever a matriz de f na base canônica: [ 0 1 1 ] [ 2 0 0 ] [ 0 2 0 ] Para descrever a imagem de f, precisamos encontrar quais vetores podem ser obtidos aplicando a transformação linear f. Neste caso, a imagem de f é o espaço gerado pelos vetores coluna da matriz de f. Portanto, a imagem de f é o espaço gerado pelos vetores (0, 2, 0) e (1, 0, 2). Para descrever o núcleo de f, precisamos encontrar quais vetores são mapeados para o vetor nulo (0, 0, 0) pela transformação linear f. Neste caso, o núcleo de f é o conjunto de vetores que satisfazem a equação f(~v) = (0, 0, 0). Para encontrar o núcleo, podemos resolver o sistema de equações lineares dado pela matriz de f multiplicada pelo vetor (~x, ~y, ~z) igual a (0, 0, 0). A solução desse sistema nos dará o núcleo de f. Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.