Comprueba que la función f(x, y) = (x2 + y2) arctan(y/x) verifica f ′′xy = f ′′yx.

Para verificar se a função f(x, y) = (x^2 + y^2) arctan(y/x) satisfaz f''xy = f''yx, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a x e y e verificar se elas são iguais. Começando com a derivada parcial de segunda ordem em relação a x (f''xy): 1. Calcule a primeira derivada parcial de f em relação a x: f'x = 2x arctan(y/x) + (x^2 + y^2) * (-y/x^2) / (1 + (y/x)^2) 2. Em seguida, calcule a derivada parcial de f'x em relação a y: (f'x)'y = 2x * (-x/(x^2 + y^2)) + (-y/x^2) / (1 + (y/x)^2) + (x^2 + y^2) * (2y/x^3) / (1 + (y/x)^2)^2 Agora, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a y e x (f''yx): 1. Calcule a primeira derivada parcial de f em relação a y: f'y = 2y arctan(y/x) + (x^2 + y^2) * (1/x) / (1 + (y/x)^2) 2. Em seguida, calcule a derivada parcial de f'y em relação a x: (f'y)'x = 2y * (-y/(x^2 + y^2)) + (1/x) / (1 + (y/x)^2) + (x^2 + y^2) * (-2yx/x^3) / (1 + (y/x)^2)^2 Se f''xy = f''yx, então as duas derivadas parciais de segunda ordem devem ser iguais. Portanto, você pode comparar as expressões obtidas para f''xy e f''yx e verificar se elas são idênticas. Se forem iguais, a função f(x, y) satisfaz f''xy = f''yx.