Demostrar que: (ii) Si H es subgrupo normal, para todo g ∈ G la clase de equivalencia a la que pertenece g es gH.

Para demonstrar que se H é um subgrupo normal de G, então para todo g ∈ G, a classe de equivalência à qual g pertence é gH, podemos usar a definição de classe de equivalência e a propriedade de subgrupo normal. Se H é um subgrupo normal de G, então para todo g ∈ G, temos que gH = Hg. Isso significa que todos os elementos de gH são da forma gh, onde h ∈ H. Agora, vamos mostrar que todos os elementos da forma gh são da classe de equivalência de g. Seja x um elemento qualquer de gH. Então, x = gh, onde h ∈ H. Podemos escrever x como x = g(hg⁻¹)g. Como H é um subgrupo normal, temos que hg⁻¹ ∈ H. Portanto, x = g(hg⁻¹)g ∈ gH. Isso mostra que todos os elementos de gH são da classe de equivalência de g. Portanto, a classe de equivalência à qual g pertence é gH. Assim, demonstramos que se H é um subgrupo normal de G, então para todo g ∈ G, a classe de equivalência à qual g pertence é gH.