Sea K cuerpo con caracteŕıstica distinta de 2. y de 7. Estudiar si las siguientes formas lineales forman una base del espacio dual de K3 f1(x, y, ...

Para determinar si las formas lineales f1(x, y, z), f2(x, y, z) y f3(x, y, z) forman una base del espacio dual de K3, debemos verificar si son linealmente independientes y si generan todo el espacio dual. Para verificar la linealmente independencia, podemos formar una matriz con los coeficientes de las formas lineales y calcular su determinante. Si el determinante es diferente de cero, entonces las formas lineales son linealmente independientes. La matriz sería: | 2 -1 3 | | 3 -5 1 | | 4 7 1 | Calculando el determinante de esta matriz, obtenemos: 2(-5)(1) + (-1)(3)(1) + 3(3)(7) - 3(-5)(4) - 2(1)(7) - (-1)(4)(1) = -10 - 3 + 63 + 60 - 14 - 4 = 92 Como el determinante es diferente de cero (92 ≠ 0), podemos concluir que las formas lineales f1(x, y, z), f2(x, y, z) y f3(x, y, z) son linealmente independientes. Ahora, para verificar si generan todo el espacio dual, debemos comprobar si cualquier forma lineal en el espacio dual puede ser expresada como una combinación lineal de f1(x, y, z), f2(x, y, z) y f3(x, y, z). Dado que el espacio dual de K3 tiene dimensión 3, y las formas lineales f1(x, y, z), f2(x, y, z) y f3(x, y, z) son linealmente independientes, podemos concluir que forman una base del espacio dual de K3. Para encontrar las coordenadas de f(x, y, z) = x + y + z en esta base, podemos expresar f(x, y, z) como una combinación lineal de f1(x, y, z), f2(x, y, z) y f3(x, y, z) y resolver el sistema de ecuaciones resultante. (x + y + z) = a(2x - y + 3z) + b(3x - 5y + z) + c(4x + 7y + z) Igualando los coeficientes de cada término, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 2a + 3b + 4c = 1 -a - 5b + 7c = 1 3a + b + c = 1 Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos los valores de a, b y c, que serán las coordenadas de f(x, y, z) en la base formada por f1(x, y, z), f2(x, y, z) y f3(x, y, z).