1. (a) Demostrar que una matriz A es ortogonal si, y sólo si AtA = I. (b) Comprobar que las siguientes matrices son ortogonales: M = [ cosα − senα...

1. (a) Para demonstrar que uma matriz A é ortogonal se, e somente se, AtA = I, precisamos mostrar duas coisas: (i) se A é ortogonal, então AtA = I; e (ii) se AtA = I, então A é ortogonal. (i) Se A é ortogonal, então A^T = A^(-1) (a inversa de A é igual à sua transposta). Multiplicando A^T por A, temos: A^T * A = A^(-1) * A = I. Portanto, se A é ortogonal, então AtA = I. (ii) Agora, suponha que AtA = I. Vamos mostrar que A é ortogonal. Multiplicando ambos os lados da equação por A^(-1), temos: A^(-1) * AtA = A^(-1) * I. Simplificando, obtemos: A^(-1) * At = I. Portanto, A^(-1) é a inversa de A, o que significa que A é ortogonal. Assim, concluímos que uma matriz A é ortogonal se, e somente se, AtA = I. (b) Para verificar se as matrizes M e N são ortogonais, precisamos verificar se M^T * M = I e N^T * N = I. Para a matriz M: M^T * M = [cosα − senα] * [cosα − senα] [senα cosα] [senα cosα] = [cos^2α + sen^2α -cosαsenα + cosαsenα] [-cosαsenα + cosαsenα sen^2α + cos^2α] = [1 0] [0 1] Como M^T * M = I, a matriz M é ortogonal. Para a matriz N: N^T * N = [1 3] * [1 3] [2 −2] [2 −2] [12 1] [12 1] = [1*1 + 3*3 1*2 + 3*(-2) 1*12 + 3*1] [2*1 + (-2)*3 2*2 + (-2)*(-2) 2*12 + (-2)*1] [12*1 + 1*3 12*2 + 1*(-2) 12*12 + 1*1] = [10 -4 15] [-4 8 22] [15 22 145] Como N^T * N ≠ I, a matriz N não é ortogonal. 2. (a) O produto de duas matrizes ortogonais e do mesmo orden é uma matriz ortogonal. Para provar isso, suponha que A e B sejam matrizes ortogonais do mesmo orden. Então, temos que (AB)^T * (AB) = B^T * A^T * A * B = B^T * I * B = B^T * B = I. Portanto, o produto de duas matrizes ortogonais e do mesmo orden é uma matriz ortogonal. (b) A matriz identidade de qualquer orden é ortogonal. Isso ocorre porque I^T * I = I * I = I. Portanto, a matriz identidade é ortogonal. (c) A inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal. Se A é uma matriz ortogonal, então A^T * A = I. Multiplicando ambos os lados da equação por (A^T)^(-1), temos: (A^T)^(-1) * A^T * A = (A^T)^(-1) * I. Simplificando, obtemos: (A^T)^(-1) * I = (A^T)^(-1). Portanto, a inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal. 3. (a) A transposta de uma matriz ortogonal é ortogonal. Se A é uma matriz ortogonal, então A^T * A = I. Multiplicando ambos os lados da equação por (A^T)^(-1), temos: (A^T)^(-1) * A^T * A = (A^T)^(-1) * I. Simplificando, obtemos: (A^T)^(-1) * I = (A^T)^(-1). Portanto, a transposta de uma matriz ortogonal é ortogonal. (b) O determinante de uma matriz ortogonal é 1 ou -1. Isso ocorre porque o determinante de A^T * A é igual ao determinante de A^T multiplicado pelo determinante de A. Como A é ortogonal, temos que A^T * A = I, e o determinante de I é 1. Portanto, o determinante de A é igual ao determinante de A^T, que é igual a 1 ou -1. (c) Se λ é um valor próprio real de uma matriz ortogonal, então λ = 1 ou λ = -1. Isso ocorre porque os valores próprios de uma matriz ortogonal são os mesmos que os valores próprios de sua transposta. Como a transposta de uma matriz ortogonal é ortogonal, seus valores próprios são reais e têm módulo igual a 1. Portanto, se λ é um valor próprio real de uma matriz ortogonal, então λ = 1 ou λ = -1.