Calcule la integral ∫ e5x cos 2xdx

Para calcular a integral ∫ e^5x cos(2x) dx, podemos usar integração por partes. Vamos atribuir u = e^5x e dv = cos(2x) dx. Primeiro, vamos calcular du e v: du/dx = 5e^5x (derivada de e^5x em relação a x) v = ∫ cos(2x) dx = (1/2) sen(2x) (integral de cos(2x) em relação a x) Agora, podemos aplicar a fórmula de integração por partes: ∫ e^5x cos(2x) dx = uv - ∫ v du Substituindo os valores: ∫ e^5x cos(2x) dx = e^5x (1/2) sen(2x) - ∫ (1/2) sen(2x) (5e^5x) dx Simplificando: ∫ e^5x cos(2x) dx = (1/2) e^5x sen(2x) - (5/2) ∫ e^5x sen(2x) dx Agora, temos uma nova integral a ser calculada: ∫ e^5x sen(2x) dx. Podemos usar integração por partes novamente. Atribuindo u = e^5x e dv = sen(2x) dx, temos: du/dx = 5e^5x (derivada de e^5x em relação a x) v = - (1/2) cos(2x) (integral de sen(2x) em relação a x) Aplicando a fórmula de integração por partes novamente: ∫ e^5x sen(2x) dx = uv - ∫ v du Substituindo os valores: ∫ e^5x sen(2x) dx = - (1/2) e^5x cos(2x) - ∫ (- (1/2) cos(2x)) (5e^5x) dx Simplificando: ∫ e^5x sen(2x) dx = - (1/2) e^5x cos(2x) + (5/2) ∫ e^5x cos(2x) dx Agora, podemos substituir essa nova integral na expressão original: ∫ e^5x cos(2x) dx = (1/2) e^5x sen(2x) - (5/2) ((1/2) e^5x cos(2x) - (5/2) ∫ e^5x sen(2x) dx) Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor da integral.