Em cada caso abaixo, está definida uma operação sobre Z × Z. Verifique se é associativa, se é comutativa, se existe neutro e determine os elemento...

Vamos analisar cada caso separadamente: (a) (a, b) ∗ (c, d) = (ac, 0) - Associatividade: A operação é associativa se, para quaisquer elementos (a, b), (c, d) e (e, f), temos [(a, b) ∗ (c, d)] ∗ (e, f) = (a, b) ∗ [(c, d) ∗ (e, f)]. Neste caso, temos [(a, b) ∗ (c, d)] ∗ (e, f) = [(ac, 0) ∗ (e, f)] = (ace, 0), e (a, b) ∗ [(c, d) ∗ (e, f)] = (a, b) ∗ [(ce, 0)] = (ace, 0). Portanto, a operação é associativa. - Comutatividade: A operação é comutativa se, para quaisquer elementos (a, b) e (c, d), temos (a, b) ∗ (c, d) = (c, d) ∗ (a, b). Neste caso, temos (a, b) ∗ (c, d) = (ac, 0) e (c, d) ∗ (a, b) = (ca, 0). Como ac = ca para quaisquer valores de a e c, a operação é comutativa. - Neutro: Um elemento neutro é aquele que, quando operado com qualquer outro elemento, resulta no próprio elemento. Neste caso, precisamos encontrar um elemento (e, f) tal que (a, b) ∗ (e, f) = (a, b) e (e, f) ∗ (a, b) = (a, b) para quaisquer valores de a e b. Observando a operação, podemos ver que (a, b) ∗ (1, 0) = (a, b), portanto, (1, 0) é o elemento neutro. - Elementos simetrizáveis: Um elemento (a, b) é simetrizável se existe um elemento (c, d) tal que (a, b) ∗ (c, d) = (1, 0) e (c, d) ∗ (a, b) = (1, 0). Neste caso, podemos ver que (a, b) ∗ (1/a, 0) = (1, 0) e (1/a, 0) ∗ (a, b) = (1, 0), portanto, todos os elementos (a, b) são simetrizáveis. (b) (a, b) 4 (c, d) = (a + c, c + d) - Associatividade: A operação é associativa se, para quaisquer elementos (a, b), (c, d) e (e, f), temos [(a, b) 4 (c, d)] 4 (e, f) = (a, b) 4 [(c, d) 4 (e, f)]. Neste caso, temos [(a, b) 4 (c, d)] 4 (e, f) = [(a + c, c + d)] 4 (e, f) = (a + c + e, c + d + f), e (a, b) 4 [(c, d) 4 (e, f)] = (a, b) 4 [(c + e, d + f)] = (a + c + e, d + f). Como (a + c + e, c + d + f) = (a + c + e, d + f) para quaisquer valores de a, b, c, d, e e f, a operação é associativa. - Comutatividade: A operação é comutativa se, para quaisquer elementos (a, b) e (c, d), temos (a, b) 4 (c, d) = (c, d) 4 (a, b). Neste caso, temos (a, b) 4 (c, d) = (a + c, c + d) e (c, d) 4 (a, b) = (c + a, d + b). Como (a + c, c + d) = (c + a, d + b) para quaisquer valores de a, b, c e d, a operação é comutativa. - Neutro: Um elemento neutro é aquele que, quando operado com qualquer outro elemento, resulta no próprio elemento. Neste caso, precisamos encontrar um elemento (e, f) tal que (a, b) 4 (e, f) = (a, b) e (e, f) 4 (a, b) = (a, b) para quaisquer valores de a e b. Observando a operação, podemos ver que (a, b) 4 (0, 0) = (a, b), portanto, (0, 0) é o elemento neutro. - Elementos simetrizáveis: Um elemento (a, b) é simetrizável se existe um elemento (c, d) tal que (a, b) 4 (c, d) = (0, 0) e (c, d) 4 (a, b) = (0, 0). Neste caso, podemos ver que (a, b) 4 (-a, -b) = (0, 0) e (-a, -b) 4 (a, b) = (0, 0), portanto, todos os elementos (a, b) são simetrizáveis. (c) (a, b) ⊥ (c, d) = (ac, ad + bc) - Associatividade: A operação é associativa se, para quaisquer elementos (a, b), (c, d) e (e, f), temos [(a, b) ⊥ (c, d)] ⊥ (e, f) = (a, b) ⊥ [(c, d) ⊥ (e, f)]. Neste caso, temos [(a, b) ⊥ (c, d)] ⊥ (e, f) = [(ac, ad + bc)] ⊥ (e, f) = (ace, aef + bcf + adf), e (a, b) ⊥ [(c, d) ⊥ (e, f)] = (a, b) ⊥ [(ce, cf + de)] = (ace, aef + bcf + adf). Como (ace, aef + bcf + adf) = (ace, aef + bcf + adf) para quaisquer valores de a, b, c, d, e e f, a operação é associativa. - Comutatividade: A operação é comutativa se, para quaisquer elementos (a, b) e (c, d), temos (a, b) ⊥ (c, d) = (c, d) ⊥ (a, b). Neste caso, temos (a, b) ⊥ (c, d) = (ac, ad + bc) e (c, d) ⊥ (a, b) = (ca, cb + da). Como (ac, ad + bc) = (ca, cb + da) para quaisquer valores de a, b, c e d, a operação não é comutativa. - Neutro: Um elemento neutro é aquele que, quando operado com qualquer outro elemento, resulta no próprio elemento. Neste caso, precisamos encontrar um elemento (e, f) tal que (a, b) ⊥ (e, f) = (a, b) e (e, f) ⊥ (a, b) = (a, b) para quaisquer valores de a e b. Observando a operação, podemos ver que (a, b) ⊥ (1, 0) = (a, b), portanto, (1, 0) é o elemento neutro. - Elementos simetrizáveis: Um elemento (a, b) é simetrizável se existe um elemento (c, d) tal que (a, b) ⊥ (c, d) = (1, 0) e (c, d) ⊥ (a, b) = (1, 0). Neste caso, podemos ver que (a, b) ⊥ (1/ac, -b/ac) = (1, 0) e (1/ac, -b/ac) ⊥ (a, b) = (1, 0), portanto, todos os elementos (a, b) são simetrizáveis. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.