Questão 2: (a) (6 pontos) Encontre a equação da superfı́cie cilı́ndrica com curva diretriz x+2y2 = 2 no plano z = 0 e com reta geratriz r : (0, 1...

(a) Para encontrar a equação da superfície cilíndrica com curva diretriz x + 2y^2 = 2 no plano z = 0 e com reta geratriz r: (0, 1, 0) + t(1, 1, 1), t ∈ R, podemos substituir as coordenadas x e y da curva diretriz na equação da reta geratriz e igualar às coordenadas x, y e z da superfície cilíndrica. Substituindo x = 0 e y = 1 na equação da reta geratriz, temos: r: (0, 1, 0) + t(1, 1, 1) = (t, 1 + t, t) Igualando as coordenadas x, y e z da reta geratriz à curva diretriz, temos: t = x 1 + t = 2y^2 1 + t = 2(1/2x)^2 1 + t = x^2 Agora, substituindo t por x na equação da reta geratriz, temos: 1 + x = x^2 Portanto, a equação da superfície cilíndrica é x^2 - x - 1 = 0. (b) Para mostrar que a equação z^2 - x^2 = xy + xz é de uma superfície cônica com vértice na origem, podemos completar o quadrado para obter a forma canônica da equação. z^2 - x^2 - xz = xy (z - x/2)^2 - (x/2)^2 - xz = xy (z - x/2)^2 - (x^2/4) - xz = xy (z - x/2)^2 - (x^2/4) - xz - xy = 0 Agora, podemos identificar a equação como a equação de uma superfície cônica, com vértice na origem. (c) Para determinar a equação da superfície S em coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas, gerada pela revolução da curva C: x^2 + z^2 = 2z no plano xz ao redor do eixo z, podemos substituir as coordenadas x e z da curva C nas equações correspondentes. Em coordenadas retangulares, a equação da superfície S é x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 0. Em coordenadas cilíndricas, a equação da superfície S é r^2 + z^2 - 2z = 0. Em coordenadas esféricas, a equação da superfície S é ρ^2 - 2ρcos(θ) = 0. A quádrica formada pela superfície S é um parabolóide circular.