A equação y’’ + 2y’+ 4y= 5sen3t, representa um oscilador forçado. Encontre uma solução síncrona no formato Acos Ωt + B sen Ωt, com Ω= 3, para a eq...

Para encontrar uma solução síncrona para a equação do oscilador y'' + 2y' + 4y = 5sen(3t), podemos assumir uma solução da forma Acos(Ωt) + Bsen(Ωt), onde Ω é a frequência angular. Vamos começar encontrando as derivadas de y em relação a t: y' = -AΩsen(Ωt) + BΩcos(Ωt) y'' = -AΩ²cos(Ωt) - BΩ²sen(Ωt) Substituindo essas derivadas na equação do oscilador, temos: -AΩ²cos(Ωt) - BΩ²sen(Ωt) + 2(-AΩsen(Ωt) + BΩcos(Ωt)) + 4(Acos(Ωt) + Bsen(Ωt)) = 5sen(3t) Agora, vamos agrupar os termos com as mesmas funções trigonométricas: (-AΩ² + 4A + 2BΩ)cos(Ωt) + (-BΩ² - 2AΩ + 4B)sen(Ωt) = 5sen(3t) Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de t, os coeficientes dos termos cos(Ωt) e sen(Ωt) devem ser iguais aos coeficientes correspondentes na função sen(3t). Assim, temos o seguinte sistema de equações: -AΩ² + 4A + 2BΩ = 0 -BΩ² - 2AΩ + 4B = 5 Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de A e B. No entanto, como Ω = 3, podemos simplificar o sistema substituindo Ω por 3: -9A + 4A + 6B = 0 -9B - 6A + 4B = 5 Simplificando ainda mais o sistema, temos: -5A + 6B = 0 -6A - 5B = 5 Podemos resolver esse sistema de equações utilizando o método da substituição ou o método da eliminação. A solução para esse sistema é A = -6/61 e B = -5/61. Portanto, a solução síncrona para a equação do oscilador y'' + 2y' + 4y = 5sen(3t), com Ω = 3, é y(t) = (-6/61)cos(3t) + (-5/61)sen(3t).