21) Determine a área da região R delimitada pelas curvas y = x3, x+ y = 2 e y = 0.

Para determinar a área da região R delimitada pelas curvas y = x³, x + y = 2 e y = 0, é necessário fazer uma integração dupla. Primeiro, é preciso encontrar os limites de integração em x e y. A curva y = x³ intersecta o eixo x em (0,0) e (1,1), enquanto a reta x + y = 2 intersecta o eixo x em (2,0) e o eixo y em (0,2). Portanto, os limites de integração são: 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 2 - x A área pode ser encontrada pela seguinte integral dupla: ∬R dA = ∫₀¹ ∫₀^(2-x) dy dx Resolvendo a integral, temos: ∬R dA = ∫₀¹ (2-x) dx ∬R dA = [2x - (x²/2)] de 0 a 1 ∬R dA = 1,5 unidades de área Portanto, a área da região R é de 1,5 unidades de área.