Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas. (a) lim x→+∞ x2tg ( 1 x ) , (b) lim x→0+ 3 √ x lnx. (a) lim x→+∞ x2tg ( 1 x ) (b) lim x→0...

(a) Para calcular o limite, podemos utilizar a regra de L'Hôpital. Derivando o numerador e o denominador, temos: lim x→+∞ x^2 tg(1/x) = lim x→+∞ (2x * -1/x^2) / (1 + tg^2(1/x)) = lim x→+∞ -2/x(1 + tg^2(1/x)) Como tg(1/x) está entre -1 e 1, temos que tg^2(1/x) está entre 0 e 1. Portanto, quando x tende ao infinito, o denominador tende a 1 e o numerador tende a -2/x. Logo, o limite é zero. (b) Podemos utilizar a regra de L'Hôpital novamente. Derivando o numerador e o denominador, temos: lim x→0+ 3√x ln(x) = lim x→0+ (ln(x) / x^1/3) / (1 / 3x^2/3) = lim x→0+ (3ln(x) / x^(4/3)) Aplicando a regra de L'Hôpital novamente, temos: lim x→0+ (3ln(x) / x^(4/3)) = lim x→0+ (3 / (4x^(1/3))) = +∞ Portanto, o limite não existe.