3) (1,0 ponto) Determine 0 > delta, de modo que satisfaça a definição de limites, sabendo que: 1) lim(x->1) [(x-1)/(x^2)] = -1/2 e epsilon = 0.2

Para determinar o valor de delta, podemos utilizar a definição de limite. Temos que: |f(x) - L| < epsilon, para todo x em um intervalo aberto em torno de a, exceto possivelmente em a. Substituindo os valores que temos na definição, temos: |(x-1)/(x^2) - (-1/2)| < 0.2 Simplificando a expressão, temos: |(2x-1)/(2x^2)| < 0.2 Multiplicando ambos os lados por 2x^2, temos: |2x-1| < 0.4x^2 Como queremos encontrar o valor de delta, podemos assumir que 0 < |x-1| < delta. Então, podemos substituir x por 1 + delta na expressão acima: |2(1+delta)-1| < 0.4(1+delta)^2 Simplificando a expressão, temos: |2delta| < 0.4(1+2delta+delta^2) |2delta| < 0.4 + 0.8delta + 0.4delta^2 0.4delta^2 + 0.8delta - 0.4 < 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: delta < (-0.8 + sqrt(0.8^2 + 4*0.4*0.4))/2*0.4 ou delta > (-0.8 - sqrt(0.8^2 + 4*0.4*0.4))/2*0.4 delta < 0.5 ou delta > -1.25 Como delta precisa ser positivo, temos que delta < 0.5. Portanto, podemos escolher delta = 0.5 como resposta.