Considere a parábola p cuja equação é y = ax² em que a é um número real positivo.  Sabe-se que a reta y = x - a é tangente a p. Qual é o valor da c...

Para encontrar o valor da coordenada x do ponto de tangência, podemos igualar as equações da parábola e da reta, e resolver o sistema resultante. Substituindo y = x - a na equação da parábola, temos: x - a = ax² Reorganizando os termos, temos: ax² - x + a = 0 Para que a reta seja tangente à parábola, o discriminante dessa equação deve ser igual a zero: Δ = (-1)² - 4a² = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, temos: a² = 1/4 a = 1/2 (já que a é um número real positivo) Substituindo esse valor de a na equação da parábola, temos: y = (1/2)x² Agora, precisamos encontrar o valor de x para o qual a reta y = x - a é tangente a essa parábola. Para isso, podemos utilizar o fato de que o ponto de tangência é o ponto em que as duas curvas se encontram e têm a mesma inclinação. A inclinação da reta y = x - a é 1, já que sua derivada é 1. A inclinação da parábola y = (1/2)x² no ponto de tangência é dada pela derivada da função nesse ponto. Podemos encontrar esse valor derivando a função e substituindo o valor de x do ponto de tangência: y = (1/2)x² y' = x No ponto de tangência, as inclinações da reta e da parábola são iguais, então: 1 = y' = x Portanto, o valor da coordenada x do ponto de tangência é x = 1. Assim, a alternativa correta é a letra c: 1/2.