(Ita 2017) Considere a reta r : y 2x. Seja A (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é
a) 9/5
b) 12/5
c) 18/5
d) 21/5
e) 24/5

Question

(Ita 2017)  Considere a reta r : y 2x.  Seja A (3, 3)  o vértice de um quadrado ABCD,  cuja diagonal BD  está contida em r.  A área deste quadrad...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre o quadrado e a reta dada. A reta $ r: y = 2x $ tem um coeficiente angular de 2, o que significa que ela é inclinada.

1. **Identificar a posição do ponto A**: O ponto A(3, 3) é um dos vértices do quadrado.

2. **Encontrar a inclinação da diagonal BD**: Como a diagonal BD está contida na reta $ r $, a inclinação da diagonal também será 2.

3. **Determinar a distância entre os vértices**: A diagonal de um quadrado é dada pela fórmula $ d = a\sqrt{2} $, onde $ a $ é o lado do quadrado. A diagonal também pode ser calculada pela distância entre os pontos B e D.

4. **Calcular a área do quadrado**: A área $ A $ do quadrado é dada por $ A = a^2 $.

Para encontrar a área, precisamos determinar o comprimento do lado do quadrado. Como a diagonal está na reta, podemos usar a relação entre a diagonal e o lado do quadrado.

5. **Encontrar a relação entre a diagonal e a área**: A diagonal $ d $ pode ser expressa em termos do lado $ a $ como $ d = a\sqrt{2} $. Como a diagonal está na reta, podemos usar a fórmula da distância entre os pontos para encontrar $ a $.

Após realizar os cálculos, encontramos que a área do quadrado é $ \frac{18}{5} $.

Portanto, a alternativa correta é: **c) 18/5**.

Ed · Answer

Primeiramente, vamos encontrar as coordenadas dos outros vértices do quadrado ABCD. Sabemos que a diagonal BD está contida na reta r, então podemos encontrar outro ponto da diagonal BD que esteja na reta r. Vamos escolher o ponto B (x, y) = (a, 2a), onde a é um número real qualquer.

Como B está na diagonal BD, a distância entre A e B é igual à distância entre B e D. Como o quadrado ABCD tem lados iguais, a distância entre A e B é igual à raiz quadrada da área do quadrado. Assim, temos:

AB = BD = sqrt(2) * AB
sqrt((a - 3)^2 + (2a - 3)^2) = sqrt(2) * AB

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

(a - 3)^2 + (2a - 3)^2 = 2AB^2
5a^2 - 28a + 18 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos:

a = (28 ± sqrt(424)) / 10
a = (28 ± 4sqrt(26)) / 10

Como o quadrado ABCD tem lados iguais, podemos calcular a área do quadrado a partir do comprimento do lado AB:

AB = sqrt((a - 3)^2 + (2a - 3)^2)
AB = sqrt(5a^2 - 28a + 18)
AB = sqrt(50 - 28a)

Área do quadrado = AB^2 = 50 - 28a

Substituindo o valor de a, temos:

Área do quadrado = 50 - 28[(28 + 4sqrt(26)) / 10]
Área do quadrado = 50 - (28 + 4sqrt(26)) * 14 / 5
Área do quadrado = 50 - 98 - 56sqrt(26) / 5
Área do quadrado = (9 - 12sqrt(26)) / 5

Portanto, a área do quadrado ABCD é 9 - 12sqrt(26) / 5, que corresponde à alternativa (a).

Geometria Analítica

07 09 (Lista - Distância entre ponto e reta Questões de Revisão)

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

07 09 (Lista - Distância entre ponto e reta Questões de Revisão)

1. (Eear 2019) Considere os pontos A(2, 3) e B(4,1) e a reta r : 3x 4y 0.  Se A, rd e B, rd são, respectivamente, as distâncias de A e de B até a reta r, é correto afirmar que
a) A, r B, rd d
b) A, r B, rd d
c) A, r B, rd d
d) A, r B, rd 2d

2. (Ita 2017) Considere a reta r : y 2x. Seja A (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é
a) 9
b) 12
c) 18
d) 21
e) 24

3. (Ufpr 2017) Considere a reta r de equação y 2x 1.  Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P (4, 2)?
a) 1 y x 2
b) y 2x 10  
c) 1 y x 5 2  
d) y 2x 
e) 1 y x 4 2  

4. (Unisc 2016) A equação da reta r que passa pelo ponto (16,11) e que não intercepta a reta de equação x y 5 2  é
a) x y 8 2 
b) x y 11 2 
c) x y 3 2 
d) y x 8 
e) y x 3 

5. (Pucrj 2012) O perímetro do triângulo que tem lados sobre as retas y = 2, x = 2 e x + y = 2 é:
a) 3
b) 2 2
c) 2
d) 2 2
e) 4 2 2

6. (Espm 2018) Seja A o vértice da parábola de equação 2y x 4x 6.   A reta que passa pela origem O do plano cartesiano e pelo ponto A intercepta a parábola também num ponto B. Pode-se afirmar que:
a) OA AB
b) OA 2 AB 
c) AB 2 OA 
d) AB 3 OA 
e) OA 3 AB 

9. (Mackenzie 2017) A equação da mediatriz do segmento que une os pontos P (1, 2)  e Q (5, 4) é
a) 2x 3y 9 0 
b) 2x 3y 9 0 
c) 2x 3y 3 0 
d) 3x 2y 7 0 
e) 3x 2y 11 0 

10. (Famema 2017) Em um plano cartesiano, a parábola 2y x 4x 5    e a reta y x 5  se intersectam nos pontos P e Q. A distância entre esses dois pontos é
a) 2 3
b) 2
c) 3
d) 3 2
e) 4

Mais conteúdos dessa disciplina

Geometria Analítica

07 09 (Lista - Distância entre ponto e reta Questões de Revisão)

Respostas

Crie sua conta grátis para liberar essa resposta. 🤩

Ainda com dúvidas?

Essa pergunta também está no material:

07 09 (Lista - Distância entre ponto e reta Questões de Revisão)

1. (Eear 2019) Considere os pontos A(2, 3) e B(4,1) e a reta r : 3x 4y 0.  Se A, rd e B, rd são, respectivamente, as distâncias de A e de B até a reta r, é correto afirmar quea) A, r B, rd db) A, r B, rd dc) A, r B, rd dd) A, r B, rd 2d

2. (Ita 2017) Considere a reta r : y 2x. Seja A (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado éa) 9b) 12c) 18d) 21e) 24

3. (Ufpr 2017) Considere a reta r de equação y 2x 1.  Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P (4, 2)?a) 1 y x 2b) y 2x 10  c) 1 y x 5 2  d) y 2x e) 1 y x 4 2  

4. (Unisc 2016) A equação da reta r que passa pelo ponto (16,11) e que não intercepta a reta de equação x y 5 2  éa) x y 8 2 b) x y 11 2 c) x y 3 2 d) y x 8 e) y x 3 

5. (Pucrj 2012) O perímetro do triângulo que tem lados sobre as retas y = 2, x = 2 e x + y = 2 é:a) 3b) 2 2c) 2d) 2 2e) 4 2 2

6. (Espm 2018) Seja A o vértice da parábola de equação 2y x 4x 6.   A reta que passa pela origem O do plano cartesiano e pelo ponto A intercepta a parábola também num ponto B. Pode-se afirmar que:a) OA ABb) OA 2 AB c) AB 2 OA d) AB 3 OA e) OA 3 AB 

9. (Mackenzie 2017) A equação da mediatriz do segmento que une os pontos P (1, 2)  e Q (5, 4) éa) 2x 3y 9 0 b) 2x 3y 9 0 c) 2x 3y 3 0 d) 3x 2y 7 0 e) 3x 2y 11 0 

10. (Famema 2017) Em um plano cartesiano, a parábola 2y x 4x 5    e a reta y x 5  se intersectam nos pontos P e Q. A distância entre esses dois pontos éa) 2 3b) 2c) 3d) 3 2e) 4

Mais conteúdos dessa disciplina

1. (Eear 2019) Considere os pontos A(2, 3) e B(4,1) e a reta r : 3x 4y 0.  Se A, rd e B, rd são, respectivamente, as distâncias de A e de B até a reta r, é correto afirmar que
a) A, r B, rd d
b) A, r B, rd d
c) A, r B, rd d
d) A, r B, rd 2d

2. (Ita 2017) Considere a reta r : y 2x. Seja A (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é
a) 9
b) 12
c) 18
d) 21
e) 24

3. (Ufpr 2017) Considere a reta r de equação y 2x 1.  Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P (4, 2)?
a) 1 y x 2
b) y 2x 10  
c) 1 y x 5 2  
d) y 2x 
e) 1 y x 4 2  

4. (Unisc 2016) A equação da reta r que passa pelo ponto (16,11) e que não intercepta a reta de equação x y 5 2  é
a) x y 8 2 
b) x y 11 2 
c) x y 3 2 
d) y x 8 
e) y x 3 

5. (Pucrj 2012) O perímetro do triângulo que tem lados sobre as retas y = 2, x = 2 e x + y = 2 é:
a) 3
b) 2 2
c) 2
d) 2 2
e) 4 2 2

6. (Espm 2018) Seja A o vértice da parábola de equação 2y x 4x 6.   A reta que passa pela origem O do plano cartesiano e pelo ponto A intercepta a parábola também num ponto B. Pode-se afirmar que:
a) OA AB
b) OA 2 AB 
c) AB 2 OA 
d) AB 3 OA 
e) OA 3 AB 

9. (Mackenzie 2017) A equação da mediatriz do segmento que une os pontos P (1, 2)  e Q (5, 4) é
a) 2x 3y 9 0 
b) 2x 3y 9 0 
c) 2x 3y 3 0 
d) 3x 2y 7 0 
e) 3x 2y 11 0 

10. (Famema 2017) Em um plano cartesiano, a parábola 2y x 4x 5    e a reta y x 5  se intersectam nos pontos P e Q. A distância entre esses dois pontos é
a) 2 3
b) 2
c) 3
d) 3 2
e) 4