Determine se as funções f (x) = x, f (x) = x e f (x) = 4x − 3x são linearmente dependentes ou não dependentes. a. Linearmente independentes. b. ...

Para determinar se as funções f(x) = x, f(x) = x e f(x) = 4x - 3x são linearmente dependentes ou independentes, podemos utilizar o conceito de Wronskiano. O Wronskiano é dado por: W(f1, f2, ..., fn)(x) = | f1(x) f2(x) ... fn(x) | | f1'(x) f2'(x) ... fn'(x) | | ... ... ... | | f1^(n-1)(x) f2^(n-1)(x) ... fn^(n-1)(x) | Onde f1, f2, ..., fn são as funções dadas e f^(k)(x) representa a k-ésima derivada da função f(x). Se o Wronskiano for diferente de zero para todo x em um intervalo I, então as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Se o Wronskiano for igual a zero para todo x em um intervalo I, então as funções são linearmente dependentes nesse intervalo. Calculando o Wronskiano para as funções dadas, temos: W(f1, f2, f3)(x) = | x x 4x-3x | | 1 1 4-3 | | 0 0 1 | Calculando o determinante dessa matriz, temos: W(f1, f2, f3)(x) = x - x(4-3) = 0 Portanto, as funções são linearmente dependentes e a alternativa correta é a letra b) Linearmente independentes com Wronkiano igual a zero.