Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes, com ...

Vamos calcular a área entre as curvas y = x² e y = x. A área entre as curvas pode ser encontrada pela diferença entre as integrais das duas funções. A integral de y = x² menos a integral de y = x resulta na área entre as curvas. A integral de y = x² é (1/3)x³ e a integral de y = x é (1/2)x². Subtraindo a integral de y = x da integral de y = x², obtemos (1/3)x³ - (1/2)x². Para encontrar os pontos de interseção das curvas, igualamos as duas funções: x² = x, o que resulta em x = 0 e x = 1. A área entre as curvas é dada pela integral de (1/3)x³ - (1/2)x² de 0 a 1. Calculando a integral, obtemos 1/3 - 1/2 = -1/6. Portanto, a área entre as curvas é 1/6. Assim, a alternativa correta é: c) Somente a opção III está correta.