Seja ax+by+cz+d=0 a equação do plano que passa pelos pontos (4 ,−2 ,2 ) e(1 ,1 ,5) e é perpendicular ao plano 3 x−2 y+5 z−1=0. A razão d/b é:

Para resolver essa questão, precisamos seguir alguns passos: 1. Identificar a normal do plano dado: A equação do plano \(3x - 2y + 5z - 1 = 0\) tem como vetor normal \( \vec{n_1} = (3, -2, 5) \). 2. Encontrar o vetor diretor do plano que passa pelos pontos: Os pontos dados são \(A(4, -2, 2)\) e \(B(1, 1, 5)\). O vetor que vai de \(A\) a \(B\) é: \[ \vec{AB} = B - A = (1 - 4, 1 + 2, 5 - 2) = (-3, 3, 3) \] 3. Encontrar a normal do novo plano: Como o novo plano é perpendicular ao plano dado, sua normal \( \vec{n_2} \) será o produto vetorial entre \( \vec{n_1} \) e \( \vec{AB} \): \[ \vec{n_2} = \vec{n_1} \times \vec{AB} = (3, -2, 5) \times (-3, 3, 3) \] Calculando o produto vetorial: \[ \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 5 \\ -3 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}((-2) \cdot 3 - 5 \cdot 3) - \hat{j}(3 \cdot 3 - 5 \cdot (-3)) + \hat{k}(3 \cdot 3 - (-2) \cdot (-3)) \] \[ = \hat{i}(-6 - 15) - \hat{j}(9 + 15) + \hat{k}(9 - 6) \] \[ = \hat{i}(-21) - \hat{j}(24) + \hat{k}(3) \] \[ = (-21, -24, 3) \] 4. Escrever a equação do plano: A equação do plano pode ser escrita como: \[ -21x - 24y + 3z + d = 0 \] Para encontrar \(d\), substituímos um dos pontos, por exemplo, \(A(4, -2, 2)\): \[ -21(4) - 24(-2) + 3(2) + d = 0 \] \[ -84 + 48 + 6 + d = 0 \implies d = 30 \] 5. Encontrar a razão \(d/b\): A equação do plano é: \[ -21x - 24y + 3z + 30 = 0 \] Aqui, \(b = -24\) e \(d = 30\). Portanto, a razão \( \frac{d}{b} \) é: \[ \frac{30}{-24} = -\frac{5}{4} \] Assim, a razão \( \frac{d}{b} \) é \(-\frac{5}{4}\).